趙熙強(qiáng)，李 琳

（中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266100）

n＋1階Pascal矩陣Pn與n＋1階Pascal函數(shù)矩陣Pn［x］分別定義為［1］：

其中：i，j＝1，2，…，n＋1，文獻(xiàn) ［1-6］討論了Pn與Pn［x］的性質(zhì)及應(yīng)用，文獻(xiàn)［1］研究了Pn［x］的逆，文獻(xiàn)［2-3］分別研究了Pn與Pn［x］的分解問題，文獻(xiàn)［4］利用Pn給出了兩類Stirling矩陣的分解，文獻(xiàn)［5-6］研究了Pn與Fibonacci矩陣之間的關(guān)系，并通過矩陣展開式得到了一些組合恒等式，而在文獻(xiàn)［7-11］中，分別給出并研究了Pn［x］不同的推廣形式。本文將在以上研究的基礎(chǔ)上對Pascal函數(shù)矩陣再作進(jìn)一步的推廣并討論其代數(shù)性質(zhì)及應(yīng)用。

1 定義及性質(zhì)

定義1.1 設(shè)f（t）為t的n階可導(dǎo)函數(shù)，n＋1階下三角矩陣Pn［f（t）］定義為

由此可見，定義1.1是文獻(xiàn)［7-11］中Pascal函數(shù)矩陣的推廣形式，下面將給出Pn［f（t）］的一些性質(zhì)。

定理1.1Pn［f（t）］Pn［g（t）］＝Pn［f（t）g（t）］。

證明 由于Pn［f（t）］與Pn［g（t）］均為下三角矩陣，所以 當(dāng)i＜j時， （Pn［f（t）］Pn［g（t）］）i，j＝（Pn［f（t）g（t）］）i，j＝0；當(dāng)i≥j時，由矩陣乘法規(guī)則，得

結(jié)論成立。

推論1.2 若（f（t）－1）（k）存在，其中k＝0，1，…，n，則

證明 由定理1.1，Pn［f（t）］Pn［f（t）－1］＝Pn［f（t）f（t）－1］＝Pn［1］＝In＋1，

其中：In＋1為n＋1階單位矩陣，因此結(jié)論成立。

｛an｝，｛bn｝為2個任意序列，由推論1.2可得以下反演關(guān)系：

將f（t）＝et代入上式，并令t＝0，得

上式中r＝1時，即得到著名的二項式反演公式：

定理1.3a，b為2個任意實數(shù)，f（t），g（t）為2個n階可導(dǎo)函數(shù)，則

證明 （aPn［f（t）］＋bPn［g（t）］）i，j＝a（Pn［f（t）］）i，j＋b（Pn［g（t）］）i，j＝af（i－j）（t）l（i，j）＋bg（i－j）（t）l（i，j）＝（af（t）＋bg（t））（i－j）l（i，j）＝（Pn［af（t）＋bg（t）］）i，j。結(jié)論成立。

定理1.4n為正整數(shù)，Pn［f（t）］定義如（1）式，則

其中：Mn為n＋1階矩陣，除（Mn）n＋1，1＝l（n＋1，1）外，其余元素為0。

比較上式2邊的對應(yīng)元素，可得以下推論。

推論1.5

將f（t）代入（3）式和（4）式，并令t＝0，得

在數(shù)碼時代的實際生活中，因為以馬賽克形式的超文本存在，加上賽博格化賦予其生命，照片能夠輕易地與其他媒介交互融合，社會性使用爆炸式拓寬了。里奇詳細(xì)列舉說：

當(dāng)m＝1時，有

2 Pn［f（t）］的展開式

設(shè)n＋1階方陣Mk除（k＋i，i）（i＝1，2，…，n＋1－k）處的值為l（k＋i，i）外，其余值均為0，（k＝1，2，…，n），由文獻(xiàn)［9］，Mk滿足以下性質(zhì)

定 理 2.1Pn［f（t）］＝f（t）In＋1＋f（1）（t）M1＋f（2）（t）M2＋ … ＋f（n）（t）Mn。

證明

f（t）In＋1＋f（1）（t）M1＋f（2）（t）M2＋ … ＋f（n）（t）Mn， 結(jié)論成立。

令M1＝M，由（5）式，得

推論2.2

（1）M與Pn［f（t）］的乘積可交換；

（2）（Pn［f（t）］－f（t）In＋1）n＋1＝0；

（3）（Pn［f（t）］－f（t）In＋1）n＝n?。╢（1）（t））nMn；

（4）（Pn［f（t）］－f（t）In＋1－f（1）（t）M）n－1＝0，（n≥3）。

將f（t），l（i，j）代入（6）式，并令t＝0，即得文獻(xiàn)［11］中的定理2.5。

3 Pn［f（t）］的2個推廣

定義3.1 設(shè)f（t），g（t），h（t）為t的n階可導(dǎo)函數(shù)＝｛an｝n≥0＝｛bn｝n≥0為2個任意序列，分別定義矩陣如下：

由定義3.1可得以下引理與定理。

引理3.1

引理3.1的結(jié)論可由矩陣乘法運算得到，可請讀者自行驗證。

定理3.2

證明 定理3.2可由引理3.1和定理1.1得到，現(xiàn)以證明結(jié)論（1）和（3）為例，其它結(jié)論的證明類似，可由讀者自己證明。

證明（1）：

證明（3）：

定義3.2 設(shè)f（t）為t的n階可導(dǎo)函數(shù)，y為任意實數(shù)，n＋1階矩陣Pn［f（t），y］定義為

定理3.3 設(shè)f（t），g（t）為t的n階可導(dǎo)函數(shù)，y，z為任意實數(shù)，m為正整數(shù)，則

其中：（1）和（3）的證明分別同定理1.1和定理2.1，（2）由（1）歸納得到，（4）、（5）可由（3）得到，（5）還可由定理1.4中的方法來證明。

4 結(jié)語

本文對Pascal函數(shù)矩陣作了進(jìn)一步的推廣，研究了其代數(shù)性質(zhì)及其在尋找組合恒等式與反演關(guān)系方面的應(yīng)用，給出了推廣的Pascal函數(shù)矩陣Pn［f（t）］的展開式，相信其在矩陣分解方面會有重要的應(yīng)用，最后給出了Pn［f（t）］的2個推廣及若干定理。

［1］CallG S，Velleman D J.Pascal′s matrices［J］.Amer Math Monthly，1993，100：372-376.

［2］Brawer R，Pirovno M.The linear algebra of the Pascal matrix［J］.Linear Algebra Appl，1992，174：13-23.

［3］Zhang Z Z.The linear algebra of the generalized Pascal matrix［J］.Linear Algebra Appl，1997，250：51-60.

［4］CheonGi-Sang，Kim Jin-Soo.Stirling matrix via Pascal matrix［J］.Linear Algebra Appl，2001，329：49-59.

［5］LeeGwang-Yeon，Kim Jin-Soo，Cho Seong-Hoon.Some combina-torial identities via Fibonacci numbers［J］.Discrete Appl.Math，2003，130：527-534.

［6］Zhang Z Z，Wang X.A factorization of the symmetric Pascal matrix involving the Fibonacci matrix ［J］.Discrete Appl Math，2007，155：2371-2376.

［7］Bayat M，Teimoori H.The linear algebra of the generalized Pascal functional matrix［J］.Linear Algebra Appl，1999，295：81-89.

［8］Zhao X.Q，Wang T.M.The algebraic properties of the generalized Pascal functional matrices associated with the exponential families［J］.Linear Algebra Appl，2000，318：45-52.

［9］譚明術(shù)，王天明.具有二項式型多項式下三角矩陣的性質(zhì) ［J］.數(shù)學(xué)研究與評論，2005，25（1）：183-190.

［10］Yang Y Z，Micek C.Generalized Pascal functional matrix and its applications［J］.Linear Algebra Appl，2007，423：230-245.

［11］Stefan，S.A generalization of the pascal matrix and its properties［J］. Factauniversitatis-series：Mathematics and Informatics，2011，26：17-27.

［12］Yang S L.Some identities involving the binomial sequences［J］.Discrete Math，2008，308：51-58.