許 濤，王美令，張兆豐，韓清凱

（大連理工大學(xué)機械工程學(xué)院，遼寧大連 116024）

基于拉格朗日方程的積油轉(zhuǎn)子系統(tǒng)力學(xué)建模和數(shù)值仿真*

許 濤，王美令，張兆豐，韓清凱

（大連理工大學(xué)機械工程學(xué)院，遼寧大連 116024）

提出一種基于雙支撐轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的力學(xué)簡化模型，分析了含有旋轉(zhuǎn)腔體積油故障的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)特性。首先，將轉(zhuǎn)子腔體中積油簡化為集中質(zhì)量油團，采用拉格朗日方程，建立了該系統(tǒng)的動力學(xué)方程，基于方程解析，分析了不同轉(zhuǎn)速下系統(tǒng)的位移頻率響應(yīng)變化。結(jié)果表明，積油轉(zhuǎn)子在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)轉(zhuǎn)速超過系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速時，會出現(xiàn)共振鎖頻現(xiàn)象。

積油轉(zhuǎn)子；拉格朗日方程；數(shù)值仿真

0 引言

旋轉(zhuǎn)機械作為國家航空、動力、化工、能源領(lǐng)域中重要的機械裝置，在國民經(jīng)濟和國家安全方面，都占有極其重要的作用，大部分的旋轉(zhuǎn)機械如汽輪機、壓縮機、航空發(fā)動機等裝置內(nèi)部均有腔體盤鼓結(jié)構(gòu)，由于裝置不合理的密封措施或者軸承安裝等裝配上的問題，常常導(dǎo)致腔體進油或者潤滑油泄漏，流入腔體的積油所導(dǎo)致的裝置運行故障時有發(fā)生[1-3]，而由實驗觀察到，即使微量的腔體積油，也會對腔體的運轉(zhuǎn)產(chǎn)生極大的影響。帶有微量積油的腔體可以稱之為含液轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，即在旋轉(zhuǎn)部件空腔內(nèi)積存有微量液體的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，若腔體內(nèi)進入一定量的液體，則旋轉(zhuǎn)的液體與轉(zhuǎn)子之間的相互作用會使得轉(zhuǎn)子在一定的轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)出現(xiàn)運動失穩(wěn)，即積油自身出現(xiàn)嚴(yán)重的自激振動[4]。

自從Wolf[5]在1968年首次提出積油轉(zhuǎn)子存在自激不穩(wěn)定區(qū)域后，國內(nèi)外眾多學(xué)者對積液轉(zhuǎn)子開展了試驗和理論方面探索研究工作。Hendricks[6]，Holm[7]，Jorgense[8]分別報道了懸臂、對稱支撐、彈性支撐條件下帶有部分充液的剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性和渦動性，Yoshizumi[9]建立了忽略轉(zhuǎn)子不平衡、重力和陀螺效應(yīng)的彈支充液轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的耦合動力學(xué)模型。國內(nèi)復(fù)旦大學(xué)的張文和陶明德[10]基于梁模型和流體二維流動模型，推導(dǎo)了充液轉(zhuǎn)子的攝動方程，得到了充液轉(zhuǎn)子失穩(wěn)判別的解析表達式，浙江大學(xué)的祝長生[11-12]對部分充液的柔性轉(zhuǎn)子，剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動和穩(wěn)定性進行了較為全面的研究，從實驗和理論方面分析了充液轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不穩(wěn)定產(chǎn)生的過程，失穩(wěn)過程中系統(tǒng)的動力特性以及流體粘度、充液兩對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動和穩(wěn)定性的影響。

本文針對含有旋轉(zhuǎn)腔體積油故障的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，提出一種雙支撐轉(zhuǎn)子系統(tǒng)力學(xué)簡化模型，將積油簡化為集中質(zhì)量油團，通過拉格朗日方程，建立系統(tǒng)動力學(xué)方程。由數(shù)值仿真，分析了積油轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中轉(zhuǎn)速對積油系統(tǒng)振動響應(yīng)的影響，以及積油轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的共振鎖頻現(xiàn)象。

1 積油轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的力學(xué)建模

1.1 動力學(xué)模型建立

將少量漏入的積液轉(zhuǎn)換為集中質(zhì)量油團建立的四自由度轉(zhuǎn)子系統(tǒng)力學(xué)模型如圖1所示，剛性軸左右各有兩個彈性支撐軸承，軸和圓盤一起旋轉(zhuǎn)帶動圓盤中簡化的油團一起運動，圖1中黑色球體表示簡化的油團。不考慮軸的質(zhì)量，設(shè)圓盤質(zhì)量為M，油團質(zhì)量為m，轉(zhuǎn)子兩端由軸承B1和B2支撐，并將支撐軸承簡化為水平豎直剛度形式，如圖1中的K1X，K1Y，K2X，K1Y所示，油團旋轉(zhuǎn)過程中的位移由Cξηz*坐標(biāo)系內(nèi)的軸向位移zB和角位移α共同決定，設(shè)定轉(zhuǎn)子系統(tǒng)轉(zhuǎn)速為Ω。系統(tǒng)基本結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

圖1 積油轉(zhuǎn)子系統(tǒng)力學(xué)模型

表1 系統(tǒng)基本結(jié)構(gòu)參數(shù)

在該模型中引入地面固定坐標(biāo)系OXYZ和旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系Cξηz*，其中OXYZ坐標(biāo)系中O為坐標(biāo)原點，Z軸為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)軸線，即左右兩支撐軸承的初始中心線，該坐標(biāo)系固定于地面，坐標(biāo)系Cξηz*為隨轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，其中C為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的幾何中心。設(shè)定運轉(zhuǎn)過程中不存在軸向位移，當(dāng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)速Ω=0時，默認(rèn)C點和O點重合，則C點在OXYZ坐標(biāo)系的位移向量

1.2 坐標(biāo)系建立

由于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)過程中復(fù)雜的變形形式，不僅需要考慮到其旋轉(zhuǎn)過程中的平動位移，還應(yīng)考慮整個裝置在運行過程中的轉(zhuǎn)動位移，為了準(zhǔn)確刻畫其運動形式，引入以下坐標(biāo)系，如圖2所示。

圖2 力學(xué)模型多維坐標(biāo)系

（1）依據(jù)轉(zhuǎn)子幾何中心C點建立坐標(biāo)系CX′Y′Z′，該坐標(biāo)系在系統(tǒng)轉(zhuǎn)速為0時和坐標(biāo)系OXYZ重合，在旋轉(zhuǎn)過程中和坐標(biāo)系OXYZ各坐標(biāo)軸平行。

（2）設(shè)定轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在CX′Y′Z′坐標(biāo)系內(nèi)沿X′軸角度位移大小為φX′，原坐標(biāo)系沿X′軸旋轉(zhuǎn)角度 φX′得到CX′yz坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化向量為R1。

（3）設(shè)定轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在CX′yz坐標(biāo)系內(nèi)沿y軸角度位移大小為φy，原坐標(biāo)系沿y軸旋轉(zhuǎn)角度φy得到Cxyz?坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化向量為R2。

（4）由于該轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為定轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)，設(shè)定旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系Cξηz?，該坐標(biāo)系為固定坐標(biāo)系Cxyz?旋轉(zhuǎn)角度θ得到，其中θ=Ωt，其值隨著系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)而增大。

已知C點為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的幾何中心，G點為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的質(zhì)心，由于系統(tǒng)會不可避免存在制造誤差和不平衡受力，幾何中心和質(zhì)心往往不重合，故設(shè)C點和G點在Cξηz?坐標(biāo)系內(nèi)距離偏差為ε，角度偏差為β，同時，由于偏心的原因，轉(zhuǎn)子的極慣性軸和Cξηz?坐標(biāo)系的η軸也存在一定的角度偏差，設(shè)該角度為 χ，旋轉(zhuǎn)得到Gp1p2p3極慣性矩坐標(biāo)系，如圖3所示。

圖3 極慣性矩坐標(biāo)系

表2 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換及其轉(zhuǎn)換向量

表2中R1，R2，R3，R4轉(zhuǎn)換矩陣表達式如下

1.3 基于拉格朗日能量求解的動力學(xué)方程

本積油轉(zhuǎn)子系統(tǒng)力學(xué)模型中，不考慮廣義力項，則系統(tǒng)的拉格朗日方程為如下形式：

其中，方程廣義坐標(biāo)向量qi為：

系統(tǒng)動能為：

其中，r˙G-O為轉(zhuǎn)子質(zhì)心的速度向量；r˙B-O為油團的速度向量；Ωp表示的為轉(zhuǎn)子角速度向量轉(zhuǎn)換到極慣性矩坐標(biāo)系內(nèi)的角速度向量；J表示的為轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動慣量矩陣。

系統(tǒng)勢能求解公式如下[14]：

其中，KXZ，KYZ分別表示的是系統(tǒng)在XZ平面的剛度矩陣和在YZ平面的剛度矩陣。

設(shè)油團在圓盤軌道內(nèi)的運動阻尼為cB，考慮瑞利阻尼函數(shù)，則表達式中阻尼能量為

考慮系統(tǒng)整體阻尼因素的存在，將系統(tǒng)阻尼考慮為瑞利阻尼，即比例阻尼，其求解公式如下

λ和η可由如下公式求得[13]：

其中，ξ1, ξ2為阻尼系數(shù)，ω1, ω2為轉(zhuǎn)子的一、二階臨界轉(zhuǎn)速。

將方程（4），（5），（6）帶入方程（2）中，并加入系統(tǒng)整體阻尼，得到該積油轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的四自由度動力學(xué)方程和耦合方程

由方程（9）可得系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩形式如下

2 積油轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的數(shù)值仿真分析

基于系統(tǒng)動力學(xué)方程，利用Runge-Kutta數(shù)值法對該二階多元微分方程進行求解，通過Matlab數(shù)值仿真，采用時域、頻域、三維譜圖曲線分析了積油轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在不同轉(zhuǎn)速下的響應(yīng)形式[15]。

已知積油系統(tǒng)一階固有頻率為33.4 Hz，設(shè)置仿真參數(shù)中積油質(zhì)量為1.85 g，體積為2 ml，仿真測點為系統(tǒng)的幾何中心C點，設(shè)置仿真分析條件如下：采樣頻率為750 Hz，F(xiàn)FT分析取總采樣數(shù)據(jù)點的后數(shù)據(jù)量，三維譜圖取每組800個數(shù)據(jù)點作為一組進行分析。

（1）轉(zhuǎn)速Ω=10 Hz

仿真測點振動響應(yīng)分析的時域圖如圖4(a)所示，頻域圖如圖4(b)所示。

圖4 轉(zhuǎn)速為10 Hz時系統(tǒng)振動響應(yīng)

由圖4可看出，仿真測點的時頻曲線達到穩(wěn)定值，頻譜圖只出現(xiàn)了單一的工頻，沒有倍頻成分。

（2）轉(zhuǎn)速Ω=20 Hz

仿真測點振動響應(yīng)分析的時域圖如圖5(a)所示，頻域圖如圖5(b)所示。

由圖5可以看出當(dāng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)速上升到20 Hz后，系統(tǒng)的時域波形出現(xiàn)了波形疊加，整體振幅略高與轉(zhuǎn)速為10 Hz時的振幅，同時，系統(tǒng)出現(xiàn)了多階頻率，各頻率成分的幅值變化較大，但頻率成分仍以工頻成分占主導(dǎo)。

（3）轉(zhuǎn)速Ω=40 Hz

仿真測點振動響應(yīng)分析的時域圖如圖6(a)所示，頻域圖如圖6(b)所示。

圖6中，系統(tǒng)的時域波形呈周期性變化趨勢，波形疊加較明顯，最大幅值較圖4、圖5成倍上升，值得注意的特征是，雖然系統(tǒng)轉(zhuǎn)速已經(jīng)越過臨界轉(zhuǎn)速，但是系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速時激起的共振仍然在系統(tǒng)振動中占主導(dǎo)成分，同時，由于此時轉(zhuǎn)速接近臨界轉(zhuǎn)速，振動幅值仍大于10 Hz、20 Hz時測點最大振幅。

圖5 轉(zhuǎn)速為20 Hz時系統(tǒng)振動響應(yīng)

圖6 轉(zhuǎn)速為40 Hz時系統(tǒng)振動響應(yīng)

（4）轉(zhuǎn)速Ω=60 Hz

仿真測點振動響應(yīng)分析的時域圖如圖7(a)所示，頻域圖如圖7(b)所示。

由圖7可以看出，當(dāng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)速上升到60 Hz時，系統(tǒng)時域波形仍然為疊加波形，波形平均幅值較40 Hz時下降較多，但仍高于低轉(zhuǎn)速時的系統(tǒng)振幅，頻譜圖中仍有多種頻率成分存在，其中臨界轉(zhuǎn)速仍占主導(dǎo)成分，由臨界轉(zhuǎn)速激發(fā)的共振幅值較40 Hz時也出現(xiàn)下降趨勢，但高于由系統(tǒng)工頻激發(fā)的振動幅值。

（5）位移頻率三維譜圖

考慮以上過臨界轉(zhuǎn)速后，系統(tǒng)頻譜中始終存在的臨界成分，為了從更大范圍研究此臨界成分，對該轉(zhuǎn)子系統(tǒng)由5 Hz到75 Hz繪制了位移頻率三維譜圖，如圖8所示。

由圖8積油轉(zhuǎn)子系統(tǒng)x軸方向的三維譜圖可以看出，當(dāng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)速低于臨界轉(zhuǎn)速時，系統(tǒng)以工頻振動為主導(dǎo)成分，振動幅值較小，到達臨界轉(zhuǎn)速時系統(tǒng)振動幅值達到最大，之后系統(tǒng)的工頻振動恢復(fù)到較低幅值，但系統(tǒng)的臨界共振并沒有隨著轉(zhuǎn)速的改變而消失，而是在臨界轉(zhuǎn)速處長時間維持在高振幅狀態(tài)，此種振動形式即為積油轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的共振鎖頻現(xiàn)象。

3 結(jié)論

本文以旋轉(zhuǎn)機械中常見的積油故障為主要研究對象，通過模型簡化建立了積油轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)模型，并由數(shù)值仿真，分析研究了轉(zhuǎn)速對積油轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動響應(yīng)的影響。仿真結(jié)果表明，積油轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在不同轉(zhuǎn)速下的響應(yīng)變化較為復(fù)雜，在轉(zhuǎn)速低于系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速時，系統(tǒng)的振動以工頻振動為主，當(dāng)轉(zhuǎn)速超過系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速后，系統(tǒng)表現(xiàn)出獨特的共振鎖頻現(xiàn)象，最大振幅始終維持在臨界轉(zhuǎn)速處，并伴有一定幅值的工頻振動。本結(jié)論驗證了文獻[4]中的實驗和分析結(jié)果，并為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)積油故障的辨識和處理提供了一定的理論支撐。

圖7 轉(zhuǎn)速為60 Hz時系統(tǒng)振動響應(yīng)

圖8 積油轉(zhuǎn)子系統(tǒng)x軸方向三維譜圖

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Mechanical Modeling and Numerical Simulation of Oil Leakage Rotor System Based on the Lagrange Equation

XU Tao，WANG Mei-ling，ZHANG Zhao-feng，HAN Qing-kai
（School of Mechanical Engineering，Dalian University of Technology，Dalian 116024，China）

On account of the operation faults caused by the oil leakage in rotor cavity，to explore its dynamic characteristics，a double-support simplified rotor model has been proposed.In the model，leak oil is transformed into a concentrated mass oil-block.Then the dynamic equation is deduced by the Lagrange equation，based on the numerical simulation，vibration responses caused by the rotating speed are investigated.Result shows that frequency-locking phenomenon will appear when the rotating speed exceeds the first critical speed.

oil leakage rotor；Lagrange equation；numerical simulation

TH123

A

1009－9492(2015)10－0055－06

10.3969/j.issn.1009-9492.2015.10.014

許 濤，男，1989年生，河南信陽人，碩士研究生。研究領(lǐng)域：轉(zhuǎn)子動力學(xué)，故障診斷。

(編輯：向 飛)

*國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃（973計劃）資助項目（編號：2012CB026000）；國家自然科學(xué)基金資助項目（編號：51175070）

2015－05－28