左 平，魏大盛，王延榮

（1北京航空航天大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院，北京100191；2先進(jìn)航空發(fā)動機協(xié)同創(chuàng)新中心，北京100191）

粉末高溫合金是現(xiàn)代航空發(fā)動機渦輪盤的主要材料之一，具有拉伸強度高、抗疲勞性能好、可塑性高等優(yōu)點。但同時也存在韌性低、對缺陷敏感、蠕變性能差等缺點。即使很小的缺陷都可能成為粉末合金結(jié)構(gòu)件上裂紋的萌生點。研究粉末高溫合金裂紋擴(kuò)展規(guī)律，對于延長結(jié)構(gòu)件的使用壽命、提高結(jié)構(gòu)的安全性具有指導(dǎo)意義。裂紋閉合效應(yīng)是影響粉末高溫合金裂紋擴(kuò)展規(guī)律的重要因素之一，以往針對粉末高溫合金裂紋擴(kuò)展規(guī)律的研究對其考慮較少，而引入裂紋閉合效應(yīng)來解釋粉末高溫合金的裂紋擴(kuò)展規(guī)律和提高裂紋擴(kuò)展壽命的預(yù)測精度是很有必要的。

Elber［1］發(fā)現(xiàn)了裂紋閉合效應(yīng)，認(rèn)為裂紋閉合后裂紋表面?zhèn)鬟f的壓應(yīng)力對于裂紋的擴(kuò)展沒有貢獻(xiàn)，即裂紋閉合后外載荷對于裂紋體將不會造成損傷。之后許多研究者對二維裂紋閉合［2－5］效應(yīng)進(jìn)行了研究，提出了影響裂紋閉合效應(yīng)的主要參數(shù)，并在此基礎(chǔ)上對三維裂紋閉合效應(yīng)［6］進(jìn)行了研究。Newman等［7，8］將裂紋閉合效應(yīng)引入小裂紋計算模型中，解釋了小裂紋擴(kuò)展規(guī)律，并建立了小裂紋擴(kuò)展壽命預(yù)測模型。過去幾十年，裂紋閉合效應(yīng)對裂紋擴(kuò)展的影響，尤其是對小裂紋擴(kuò)展的影響一直是疲勞斷裂領(lǐng)域研究的熱點之一。限于實驗技術(shù)的局限性，目前國內(nèi)對于裂紋閉合效應(yīng)的研究大多基于數(shù)值模擬計算，缺乏實驗數(shù)據(jù)支持。鑒于此，本工作基于FGH95高溫合金的實驗數(shù)據(jù)，分析了其CT試樣裂紋面上的應(yīng)力變化，探討了影響裂紋閉合效應(yīng)的主要因素，其中包括材料的本構(gòu)模型，網(wǎng)格密度以及應(yīng)力比。在此基礎(chǔ)建立考慮閉合效應(yīng)的裂紋擴(kuò)展壽命預(yù)測模型，提高了裂紋擴(kuò)展壽命的預(yù)測精度。

1 裂紋閉合效應(yīng)的數(shù)值模擬模型

1.1 數(shù)值方法

根據(jù)裂紋閉合效應(yīng)的誘因，將裂紋閉合現(xiàn)象分為五類：塑性誘發(fā)閉合，粗糙度誘發(fā)閉合，氧化誘發(fā)閉合，相變誘發(fā)閉合和黏性流體誘發(fā)閉合。本工作主要研究塑性誘發(fā)閉合。圖1為裂紋尖端塑性區(qū)的示意圖。a為實際裂紋長度。前塑性區(qū)是在載荷最大時裂紋尖端附近材料屈服形成的，其半徑rp可以通過式（1）進(jìn)行估算。

圖1 裂紋尖端塑性區(qū)Fig.1 Plastic zone around the crack tip

式中：σs為材料的屈服應(yīng)力；Kmax為最大應(yīng)力強度因子；α為修正系數(shù)，對于平面應(yīng)力狀態(tài)和平面應(yīng)變狀態(tài)，α分別為1和3。

反向塑性區(qū)是裂紋尖端附近的材料在最小載荷時屈服而形成的，而塑性尾跡是裂紋擴(kuò)展后殘留在裂紋面上的塑性區(qū)，一般認(rèn)為反向塑性區(qū)和塑性尾跡中的殘余壓應(yīng)力是誘發(fā)裂紋閉合的根本原因，因此，模擬反向塑性區(qū)以及塑性尾跡的準(zhǔn)確性及精度對于裂紋閉合效應(yīng)至關(guān)重要。

1.1.1 裂紋擴(kuò)展的數(shù)值方案

裂紋擴(kuò)展方式采用節(jié)點釋放法，初始狀態(tài)下，裂紋面上相對應(yīng)的節(jié)點是粘連在一起的，在一個循環(huán)載荷周期的最小載荷處釋放節(jié)點，裂紋便向前擴(kuò)展一個網(wǎng)格單元長度，在最小載荷處釋放節(jié)點有利于計算的收斂。釋放節(jié)點后需經(jīng)歷一個完整的循環(huán)后再釋放下一個節(jié)點，圖2給出了節(jié)點釋放的示意圖。

圖2 載荷歷程與節(jié)點釋放示意圖Fig.2 Load history and node release scheme

1.1.2 裂紋面的接觸方式

為了避免裂紋面上的節(jié)點在裂紋閉合時發(fā)生相互滲透，需要采取一些措施來避免這種現(xiàn)象的發(fā)生。一般是在裂紋面相對應(yīng)的節(jié)點間添加彈簧單元，彈簧單元是一個可變剛度的單元。在裂紋閉合時，彈簧單元的剛度為一個很大的值，阻止了裂紋面上節(jié)點滲透；當(dāng)裂紋張開時，彈簧單元的剛度又變?yōu)榱?，這樣就不會影響裂紋面的性質(zhì)。這種方法缺點在于操作比較復(fù)雜，且計算時由于節(jié)點間彈簧單元剛度的突變，容易造成計算結(jié)果的發(fā)散。后來又發(fā)展了許多裂紋面的接觸方法，如節(jié)點位移限制法［9］，剛性面法［10］等，本工作采用剛性面法。

1.1.3 裂紋張開－閉合的判據(jù)

合理選擇裂紋張開或閉合的判據(jù)是研究裂紋閉合效應(yīng)的重點之一，數(shù)值上的判據(jù)主要有節(jié)點位移法［11］，節(jié)點應(yīng)力法［12］等。節(jié)點位移法是通過監(jiān)測裂紋尖端后節(jié)點的位移值來判斷裂紋閉合與否，當(dāng)裂紋面上相對應(yīng)節(jié)點之間的距離小于某個值（工程上定義一個小量）時，認(rèn)為裂紋閉合。這種方法的缺點是計算結(jié)果不穩(wěn)定，容易出現(xiàn)波動。節(jié)點應(yīng)力法則是通過監(jiān)測裂紋尖端后的節(jié)點應(yīng)力變化來判斷裂紋閉合與否，當(dāng)裂紋尖端后節(jié)點應(yīng)力由壓縮應(yīng)力變?yōu)槔鞈?yīng)力時認(rèn)為裂紋張開，反之，則閉合，這種方法應(yīng)用最為廣泛，且計算結(jié)果更容易收斂。

1.2 計算模型

選取FGH95粉末高溫合金的CT試樣作為計算模型，如圖3所示，試樣的厚度為10mm。

圖3 CT試樣模型Fig.3 CT specimen model

考慮結(jié)構(gòu)的對稱性，取一半進(jìn)行建模分析，有限元模型如圖4（a）所示，單元為四邊形平面應(yīng)力單元，并對裂紋尖端進(jìn)行網(wǎng)格局部細(xì)化，如圖4（b）所示。

圖4 CT試樣的有限元模型（a）整體網(wǎng)格模型；（b）裂紋尖端網(wǎng)格模型Fig.4 Mesh model for CT specimens（a）overall model；（b）crack tip mesh model

FGH95粉末高溫合金在430，600℃的材料屬性如表1所示。選取430℃下的材料參數(shù)，載荷為三角波循環(huán)載荷，幅值為2.5kN，頻率為1Hz，應(yīng)力比R＝0，施加在圖4（a）中的參考點上（RP），邊界條件施加在剛性面參考點上（RP1）。

表1 FGH95粉末高溫合金材料屬性Table1 Material property of FGH95powder metallurgy superalloy

2 計算結(jié)果與討論

2.1 裂紋尖端應(yīng)力變化

在循環(huán)載荷作用下，由于應(yīng)力集中裂紋尖端會出現(xiàn)局部塑性變形，卸載后仍會有殘余應(yīng)力。裂紋長度（靜止裂紋）a為14.42mm，裂紋尖端單元尺寸為7.776μm，在最小載荷和最大載荷狀態(tài)下，垂直于裂紋方向（X方向）的應(yīng)力在裂紋面的變化如圖5所示。

從圖5（a）可以看到，在裂紋尖端附近出現(xiàn)了一個壓應(yīng)力區(qū)，即反向塑性區(qū)，越靠近裂紋尖端位置壓應(yīng)力越大，并在裂紋尖端處達(dá)到最大值。圖5（b）中，裂紋尖端后部處于自由狀態(tài)，不受約束，裂紋尖端及附近部分區(qū)域仍存在殘余壓縮應(yīng)力，隨著裂紋的擴(kuò)展這一區(qū)域便會在裂紋面上形成塑性尾跡，正是由于反向塑形區(qū)以及塑形尾跡的存在，才導(dǎo)致了裂紋閉合效應(yīng)的發(fā)生。在裂紋面上，隨著離裂紋尖端距離的增加，應(yīng)力逐漸降低，最后趨于穩(wěn)定。

圖5 裂紋面上沿X方向的應(yīng)力分布（a）最小載荷；（b）最大載荷Fig.5 The stress distribution of X－direction in crack surface（a）minimum load；（b）maximum load

2.2 本構(gòu)模型的影響

選取理想彈塑性模型和多線性隨動強化模型進(jìn)行對比計算研究，F(xiàn)GH95高溫合金的兩種本構(gòu)模型的應(yīng)力－應(yīng)變曲線如圖6所示。

圖6 FGH95高溫合金的應(yīng)力－應(yīng)變曲線Fig.6 Stress－strain curves for FGH95superalloy

兩種本構(gòu)模型下，裂紋尖端在不同單元尺寸下的裂紋閉合效應(yīng)隨裂紋長度的變化關(guān)系如圖7所示。橫坐標(biāo)表示用裂紋尖端塑性區(qū)尺寸（rp）對裂紋擴(kuò)展長度（a）進(jìn)行無量綱化，縱坐標(biāo)表示用最大應(yīng)力強度因子（Kmax）對裂紋張開應(yīng)力強度因子（Kop）無量綱化。從圖7可知，隨裂紋擴(kuò)展裂紋閉合效應(yīng)趨于穩(wěn)定。理想彈塑性模型下，網(wǎng)格尺寸對裂紋閉合效應(yīng)的影響比較明顯，計算結(jié)果之間比較分散。隨著裂紋尖端單元尺寸減小，裂紋閉合效應(yīng)逐漸降低，原因在于裂紋尖端網(wǎng)格單元越小，用于判斷裂紋閉合的節(jié)點離裂紋尖端就越近，其相應(yīng)的力學(xué)狀態(tài)與裂紋尖端的差別就越小，越能反映裂紋尖端實際的力學(xué)狀態(tài)。多線性隨動強化模型中，網(wǎng)格尺寸對裂紋閉合效應(yīng)的影響相對較小，計算結(jié)果比較集中，原因在于多線性強化模型更能反映FGH95材料本身的特性，所以計算結(jié)果會更精確。

圖7 不同本構(gòu)模型下Kop／Kmax隨a／rp的變化關(guān)系（a）理想彈塑性模型；（b）多線性隨動強化模型Fig.7 Kop／Kmaxversus a／rpwith different constitutive models（a）elastic－perfectly plastic model；（b）multi－linear kinematic hardening model

研究發(fā)現(xiàn)，Kop／Kmax與a／rp之間可以用函數(shù)關(guān)系式描述：

通過計算得到常數(shù)c1，c2后，便可進(jìn)一步得到式（2）的漸近線為c1π／2，并用此作為裂紋閉合效應(yīng)的穩(wěn)定值。

使用函數(shù)關(guān)系式的意義在于：通過這種方法得到的閉合效應(yīng)值比任意給定一個裂紋長度得到的裂紋閉合效應(yīng)更為合理。另外，當(dāng)裂紋尖端單元較小時，為了得到穩(wěn)定的裂紋閉合效應(yīng)值，需要經(jīng)過很多次循環(huán)來實現(xiàn)裂紋的擴(kuò)展，這需要消耗大量的計算時間，利用這個關(guān)系式可以提高計算效率。

2.3 網(wǎng)格密度的影響

運用2.2中提出的漸近線方法研究網(wǎng)格密度對裂紋閉合效應(yīng)的影響。引進(jìn)無量綱量

式中η為裂紋尖端塑性區(qū)內(nèi)沿裂紋面上的網(wǎng)格數(shù)。圖8為Kop／Kmax隨η變化的關(guān)系圖。

圖8 Kop／Kmax隨η變化圖Fig.8 Kop／Kmaxversusη

從圖8可知，隨裂紋尖端塑性區(qū)內(nèi)的網(wǎng)格數(shù)增加，裂紋閉合效應(yīng)逐漸減小，當(dāng)裂紋尖端塑性區(qū)內(nèi)網(wǎng)格數(shù)達(dá)到20時，裂紋閉合效應(yīng)趨于穩(wěn)定。值得注意的是：裂紋尖端的網(wǎng)格密度不是越高越好，一方面，裂紋尖端網(wǎng)格密度越高，單元的應(yīng)變畸變就越大，計算就越不容易收斂，且需要耗費很大的計算成本。另一方面，當(dāng)網(wǎng)格尺寸小于或與晶粒尺寸相當(dāng)時，有限元得到的應(yīng)力應(yīng)變結(jié)果可能就不能真實地反映裂紋尖端實際的應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)，誤差反而會越來越大。

2.4 應(yīng)力比的影響

在CT試樣中載荷的應(yīng)力比與裂紋尖端的應(yīng)力比是不相同的，由于獲取裂紋尖端應(yīng)力比較困難，選取載荷應(yīng)力比（下稱應(yīng)力比）作為研究對象。在裂紋閉合效應(yīng)的研究中，應(yīng)力比一般較小或為負(fù)值，原因在于應(yīng)力比的增大會對裂紋張開／閉合的判斷帶來困難。圖9給出了不同應(yīng)力比R下Kop／Kmax隨η的變化關(guān)系圖。

圖9 不同應(yīng)力比R下Kop／Kmax隨η變化圖Fig.9 Kop／Kmaxversusηwith different stress ratio R

從圖9可知，隨應(yīng)力比的增大，無量綱量Kop／Kmax逐漸減小，這說明應(yīng)力比增加裂紋閉合效應(yīng)逐漸減小。當(dāng)R＝0.5時，Kop／Kmax＝0。研究表明，在最大應(yīng)力不變的情況下，隨著應(yīng)力比的增大，σmin也不斷增加，增加的σmin會抵消掉裂紋面上的部分殘余壓應(yīng)力，使得促使裂紋閉合的殘余壓應(yīng)力減小，即裂紋張開／閉合應(yīng)力減小。當(dāng)載荷譜中的最小載荷與裂紋面上的殘余應(yīng)力剛好抵消，即σop＝σmin時，裂紋處于完全張開狀態(tài)，此時就不存在裂紋閉合效應(yīng)。應(yīng)力比是決定裂紋閉合效應(yīng)存在的關(guān)鍵因素之一，通過圖9便可以大致估算出FGH95材料CT試樣裂紋閉合效應(yīng)存在的應(yīng)力比范圍。

但值得注意的是，上述的數(shù)值分析方法中仍存在一些不足之處，例如采用節(jié)點釋放的方式雖然能夠模擬裂紋擴(kuò)展，但該方法沒有明確的物理意義，在理論上缺乏依據(jù)；運用的本構(gòu)模型不能考慮裂紋尖端的棘輪效應(yīng)和應(yīng)力松弛現(xiàn)象，完善這些不足之處將是今后工作的方向之一。

3 裂紋擴(kuò)展壽命分析

考慮裂紋閉合效應(yīng)后，Paris公式［13］變?yōu)椋?/p>

式中：Keff為有效應(yīng)力強度因子；C，m為材料常數(shù)；N為循環(huán)數(shù)；U為閉合比。

將式（5）帶入式（4），得到：

積分后得到：

式中：a0，ac分別代表起始裂紋和終止裂紋。

圖10給出了600℃、6.5kN載荷下FGH95合金CT試樣Kmax與裂紋長度a的變化關(guān)系圖。

圖10 Kmax隨裂紋長度a的變化關(guān)系圖Fig.10 Kmaxversus crack length a

對Kmax與a的關(guān)系進(jìn)行三次多項式擬合可得：

根據(jù)文獻(xiàn)［14］中材料常數(shù)C，m分別為8.0544×10－13，2.848，選取初始裂紋長度a0為14.68mm，計算從初始裂紋度擴(kuò)展到不同終止裂紋時的循環(huán)壽命（循環(huán)數(shù)）。

圖11 不同壽命預(yù)測模型下的N隨a的變化圖Fig.11 N versus a with different life predict models

圖11給出了裂紋擴(kuò)展長度a與循環(huán)數(shù)N 的關(guān)系。不考慮裂紋閉合效應(yīng)壽命預(yù)測模型的預(yù)測結(jié)果偏于保守，隨著裂紋長度的增加，預(yù)測壽命的誤差不斷增加，最大誤差達(dá)到35.81%?？紤]閉合效應(yīng)模型得到的曲線與實驗曲線更接近，預(yù)測壽命值與實驗值相比略微偏大，最大誤差為7.43%。計算表明，考慮裂紋閉合效應(yīng)之后，預(yù)測壽命的精度提高，并可在一定條件下適當(dāng)延長工程結(jié)構(gòu)的使用期限，提高經(jīng)濟(jì)性。

4 結(jié)論

（1）理想彈塑性模型下的裂紋閉合效應(yīng)對網(wǎng)格單元的敏感性比多線性隨動強化模型高，裂紋閉合效應(yīng)隨裂紋的擴(kuò)展逐漸趨于穩(wěn)定。

（2）隨裂紋尖端網(wǎng)格密度的增加，裂紋閉合效應(yīng)逐漸減小，當(dāng)裂紋尖端塑性區(qū)內(nèi)網(wǎng)格數(shù)達(dá)到20時，裂紋閉合效應(yīng)趨于穩(wěn)定。

（3）隨著應(yīng)力比R的增加裂紋閉合效應(yīng)減小，研究表明，當(dāng)R＝0.5時，F(xiàn)GH95材料CT試樣已經(jīng)不存在裂紋閉合效應(yīng)。

（4）傳統(tǒng)的壽命預(yù)測模型偏于保守，考慮裂紋閉合效應(yīng)后的壽命預(yù)測模型計算精度提高。雖然只是在FGH95材料CT試樣上驗證了準(zhǔn)確性，但是這種分析過程可運用于復(fù)雜的工程結(jié)構(gòu)。

［1］ELBER W.Fatigue crack closure under cyclic tension［J］.Engineering Fracture Mechanics，1970，2（1）：37－45.

［2］GONZALEZ－HERRERA A，ZAPATERO J.Influence of minimum element size to determine crack closure stress by the finite element method［J］.Engineering Fracture Mechanics，2004，72（3）：337－355.

［3］SOLANKI K，DANIEWICZS R，NEWMAN J C.Finite element analysis of plasticity－induced fatigue crack closure：an overview［J］.Engineering Fracture Mechanics，2005，71（2）：149－171.

［4］JIANG Yan－yao，F(xiàn)ENG Miao－lin，DING Fei.A reexamination of plasticity－induced crack closure in fatigue crack propagation［J］.International Journal of Plasticity，2004，21（9）：1720－1740.

［5］陳勇，宋迎東，高德平.FGH95粉末高溫合金裂紋閉合數(shù)值模擬［J］.材料科學(xué)與工程學(xué)報，2004，22（3）：347－350.CHEN Yong，SONG Ying－dong，GAO De－ping.Numerical simulation of crack closure in FGH95powder metallurgy superalloys［J］.Journal of Materials Science ＆ Engineering，2004，22（3）：347－350.

［6］HOU C Y.Three－dimensional finite element analysis of fatigue crack closure behavior in surface flaws［J］.International Journal of Fatigue，2004，26（11）：1225－1239.

［7］NEWMAN J C，WU X R，ZHAO W，et al.Small crack growth and fatigue life prediction for high－strength aluminum alloys：part I－experimental and fracture mechanics analysis［J］.Fatigue and Fracture of Engineering Materials and Structures，1998，21（11）：1289－1306.

［8］NEWMAN J C，WU X R，SWAIN M H，et al.Small crack growth and fatigue life prediction for high－strength aluminum alloys：part II－crack closure and fatigue analysis［J］.Fatigue and Fracture of Engineering Materials and Structures，2000，23（1）：59－72.

［9］SOLANKI K，DANIEWICZ S R，NEWMAN J C.A new methodology for computing crack opening values from finite element analyses［J］.Engineering Fracture Mechanics，2003，71（7）：1165－1175.

［10］陳亞龍，楊曉光.帶保載平面應(yīng)變塑性誘發(fā)裂紋閉合效應(yīng)［J］.航空動力學(xué)報，2010，25（9）：2030－2035.CHEN Ya－long，YANG Xiao－guang.Plasticity－induced fatigue crack closure under plane strain condition with dwelling［J］.Journal of Aerospace Power，2010，25（9）：2030－2035.

［11］McCLUNG R C，SEHITOGLU H.On the finite element analysis of fatigue crack closure－1.basic modeling issues［J］.Engineering Fracture Mechanics，1989，33（2）：237－252.

［12］BLANDFORD R S，DANIEWICZ S R，SKINN ER J D.Determination of the opening load for a growing crack：evaluation of experimental data reduction techniques and analytical models［J］.Fatigue Fract Eng Mater Struct，2002，25（1）：17－26.

［13］PARIS P C，ERDOGAN F.A critical analysis of crack propagation laws［J］.Journal of Basic Engineering Transaction of the ASME，1963，85：528－534.

［14］魏大盛，王延榮.粉末冶金渦輪盤裂紋擴(kuò)展特性分析［J］.推進(jìn)技術(shù)，2008，12（6）：753－758.WEI Da－sheng，WANG Yan－rong.Lifing methodology of crack propagation in powder metallurgy turbine disk［J］.Journal of Propulsion Technology，2008，12（6）：753－758.