杜旭，王卓健，馬濤，沈安慰

（1.空軍工程大學(xué)航空航天工程學(xué)院，西安710038；2.中國(guó)飛行試驗(yàn)研究院，西安710089）

考慮雙方風(fēng)險(xiǎn)的定數(shù)截尾抽樣方案算法優(yōu)化*

杜旭1，王卓健1，馬濤2，沈安慰1

（1.空軍工程大學(xué)航空航天工程學(xué)院，西安710038；2.中國(guó)飛行試驗(yàn)研究院，西安710089）

在考慮雙方風(fēng)險(xiǎn)不同的成敗型定數(shù)截尾抽樣方案設(shè)計(jì)時(shí)，存在嘗試法計(jì)算復(fù)雜、靈活性不高等問(wèn)題，設(shè)計(jì)了一種適用性和靈活性較強(qiáng)的優(yōu)化算法。對(duì)抽樣方案中累加方程組的等價(jià)變形和單調(diào)規(guī)律分析，采用動(dòng)態(tài)選擇步長(zhǎng)的方法對(duì)已有算法進(jìn)行優(yōu)化改進(jìn)。并針對(duì)工程使用中不同風(fēng)險(xiǎn)選擇原則難的問(wèn)題，結(jié)合在雙方協(xié)定的初始風(fēng)險(xiǎn)相等和不等兩種情形下，以風(fēng)險(xiǎn)接近為基本原則，構(gòu)建了風(fēng)險(xiǎn)選擇的準(zhǔn)則方程。最后傳統(tǒng)方法計(jì)算結(jié)果與該優(yōu)化算法結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，其結(jié)果表明，計(jì)算效率得到了較大提升，增強(qiáng)了工程實(shí)用性。

定數(shù)截尾，優(yōu)化算法，風(fēng)險(xiǎn)，成敗型

0　引言

可靠性鑒定試驗(yàn)是武器裝備研制、定型、采辦、使用過(guò)程中的重要環(huán)節(jié)，是驗(yàn)證可靠性指標(biāo)是否達(dá)標(biāo)的主要措施。可靠性鑒定試驗(yàn)中，對(duì)于試驗(yàn)結(jié)果分為成功、失敗兩種情況的產(chǎn)品稱為成敗型產(chǎn)品。在成敗型產(chǎn)品驗(yàn)收試驗(yàn)中對(duì)于預(yù)定的試驗(yàn)次數(shù)所得到的成功（失?。┐螖?shù)服從二項(xiàng)分布，在可靠性工程中，電子元器件等設(shè)備的可靠性評(píng)估試驗(yàn)都是嚴(yán)格服從二項(xiàng)分布的。

基于二項(xiàng)分布的驗(yàn)證方法主要包括定數(shù)截尾法、最低可接受值試驗(yàn)法以及序貫截尾試驗(yàn)法。其中最低可接受值法沒(méi)有考慮雙方風(fēng)險(xiǎn)，只考慮了使用方和承制方最低可接受值；序貫截尾試驗(yàn)法判定過(guò)程較為復(fù)雜，截尾數(shù)的選擇隨機(jī)性比較強(qiáng)，不如成敗型定數(shù)截尾驗(yàn)證法說(shuō)服力強(qiáng)。目前，成敗型定數(shù)抽樣試驗(yàn)法應(yīng)用最為廣泛。

文獻(xiàn)［1］在考慮雙方風(fēng)險(xiǎn)的成敗型定數(shù)截尾抽樣模型的基礎(chǔ)上，運(yùn)用證據(jù)理論方法，研究了基于研制信息的測(cè)試性驗(yàn)證試驗(yàn)方案，并在測(cè)試性驗(yàn)證中取得了良好效果。文獻(xiàn)［2］將考慮雙方風(fēng)險(xiǎn)的成敗型定數(shù)截尾方法，成功運(yùn)用到動(dòng)態(tài)分布參數(shù)的可靠性鑒定試驗(yàn)方案中。文獻(xiàn)［3］針對(duì)該抽樣方案的使用，提出了查閱標(biāo)準(zhǔn)表和利用計(jì)算機(jī)搜索求解兩種基本方法，但查閱標(biāo)準(zhǔn)表的方法僅僅局限于滿足給定鑒別比、雙方風(fēng)險(xiǎn)和檢驗(yàn)上限值的情況下，降低了工程上的適用范圍；而利用計(jì)算機(jī)搜索求解的方法，只是簡(jiǎn)單說(shuō)明了可行性，并沒(méi)有針對(duì)具體算法進(jìn)行詳細(xì)說(shuō)明。文獻(xiàn)［4］提出對(duì)抽樣方案方程組進(jìn)行等價(jià)變形，然后設(shè)計(jì)相關(guān)算法利用計(jì)算機(jī)搜索求解，但其算法存在相對(duì)復(fù)雜等問(wèn)題。因此，深入研究該抽樣方案中方程組單調(diào)規(guī)律，設(shè)計(jì)出更加靈活、便捷的優(yōu)化算法，可以增強(qiáng)考慮雙方風(fēng)險(xiǎn)的定數(shù)截尾抽樣方案在工程中的實(shí)用性。

本文針對(duì)考慮雙方風(fēng)險(xiǎn)的定數(shù)截尾抽樣方案在工程中使用存在的實(shí)際問(wèn)題，在已有算法基礎(chǔ)上進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，有針對(duì)性地解決相關(guān)問(wèn)題。提升該抽樣方案在工程運(yùn)用中的靈活性、便捷性和準(zhǔn)確性。

1　考慮雙方風(fēng)險(xiǎn)的定數(shù)截尾抽樣方案原理

定數(shù)截尾抽樣方案基本規(guī)則是：假設(shè)在某次可靠性鑒定試驗(yàn)中，預(yù)定試驗(yàn)次數(shù)為n，當(dāng)試驗(yàn)達(dá)到出現(xiàn)事先規(guī)定的失敗次數(shù)f時(shí)停止試驗(yàn)，則若f≤c，可靠性指標(biāo)達(dá)標(biāo)，接受；若f>c，不合格，不接受。

在該抽樣方案中對(duì)于生產(chǎn)方和使用方協(xié)商確定的不可靠度R0和R1以及風(fēng)險(xiǎn)值α、β來(lái)說(shuō)，這些參數(shù)滿足以下關(guān)系［5］：

式（1）中，相關(guān)參數(shù)意義如下：

①檢驗(yàn)下限R1

不可接收的可靠度R1，統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)方案以高概率拒收真值接近的產(chǎn)品，其值可取設(shè)計(jì)定型最低可接受值R1；

②檢驗(yàn)上限R0

可接受的可靠度R0，統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)方案以高概率接收真值接近的R0產(chǎn)品，其值應(yīng)小于預(yù)計(jì)值；

③鑒別比DR

二項(xiàng)分布統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)方案的鑒別比為：DR=（1-R1）/（1-R0）；

④生產(chǎn)方的風(fēng)險(xiǎn)α

當(dāng)待命成功率真值等于其檢驗(yàn)上限R0時(shí)設(shè)備被拒收的概率；

⑤使用方風(fēng)險(xiǎn)β

當(dāng)待命成功率真值等于其檢驗(yàn)下限R1時(shí)設(shè)備被接受的概率。

設(shè)計(jì)可靠性鑒定試驗(yàn)方案時(shí)，根據(jù)生產(chǎn)方、使用方協(xié)商確定DR，R0，α，β值，求解式（1）中未知數(shù)n和c，即可確定抽樣方案中的試驗(yàn)次數(shù)n和成敗判定數(shù)c。為方便使用，GB5080.5［6］（ICE605-5）提供了定數(shù)試驗(yàn)方案表，標(biāo)準(zhǔn)表中給定了取某些固定值、DR取1.5、1.75、2.00、3.00、α=β分別取5%、10%、20%、30%時(shí)的試驗(yàn)次數(shù)n和成敗判定數(shù)c。

李曉陽(yáng)等［4］通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)對(duì)式（1）進(jìn)行了等價(jià)變形，等價(jià)后的方程組為：

并在等價(jià)變形的基礎(chǔ)上，初步研究了式（2）的單調(diào)規(guī)律，提供了求解的基本思路，但其算法在工程應(yīng)用中存在不夠靈活、計(jì)算速度慢等問(wèn)題。

2　算法優(yōu)化設(shè)計(jì)

對(duì)于一個(gè)沒(méi)有整數(shù)解，又包含高次積分的式（2），直接求解出精確解幾乎是難以實(shí)現(xiàn)的。

通過(guò)對(duì)GB5080.5［6］對(duì)比分析和對(duì)等價(jià)方程組數(shù)學(xué)規(guī)律研究的基礎(chǔ)上可以發(fā)現(xiàn)，該等價(jià)方程組具有單調(diào)性：當(dāng)檢驗(yàn)上限R0、雙方風(fēng)險(xiǎn)α=β不變時(shí)，試驗(yàn)數(shù)n、判定數(shù)c隨著鑒別比DR增大而減少；當(dāng)檢驗(yàn)上限R0、鑒別比DR時(shí)，試驗(yàn)數(shù)n、判定數(shù)c隨著雙方風(fēng)險(xiǎn)α=β增大而減少；當(dāng)鑒別比DR、雙方風(fēng)險(xiǎn)α=β不變時(shí)，試驗(yàn)數(shù)n、判定數(shù)c隨著檢驗(yàn)上限R0增大而減少。方程組的單調(diào)性同時(shí)適用于每一個(gè)方程。等價(jià)方程組式（2）數(shù)學(xué)規(guī)律的研究，是優(yōu)化算法設(shè)計(jì)的第一步。

2.1優(yōu)化算法基本思路

由于在工程實(shí)際的驗(yàn)證試驗(yàn)中只需要整數(shù)解，式（2）的精確解對(duì)于可靠性鑒定沒(méi)有現(xiàn)實(shí)意義。因此，可采用試探方法先求解出滿足方程租未知數(shù)n和c取值范圍，再根據(jù)工程需要確定出整數(shù)解。

采用逐點(diǎn)試探的方法首先面臨著步長(zhǎng)的選擇，如果對(duì)n和f只進(jìn)行步長(zhǎng)為整數(shù)的搜索，很難獲取滿意解；如果步長(zhǎng)選擇較小，在增加計(jì)算次數(shù)的同時(shí)也增加了積分難度，會(huì)大幅降低計(jì)算效率。因此，本文根據(jù)計(jì)算需要?jiǎng)討B(tài)確定步長(zhǎng)的方法，可最大限度減少計(jì)算次數(shù)。

在成敗型抽樣方案中n相對(duì)c是大值，如果先對(duì)n進(jìn)行遍歷的話，比如n=100和c=10，那么遍歷的次數(shù)就是10100；先對(duì)c進(jìn)行遍歷，再對(duì)n進(jìn)行搜索，那么搜索的次數(shù)就是10010。其中前者搜索次數(shù)是后者的1080倍，因此，采用先對(duì)c進(jìn)行遍歷，后對(duì)n進(jìn)行一維搜索方法。

根據(jù)等價(jià)方程組的單調(diào)性，可以借助標(biāo)準(zhǔn)表GB5080.5，大致框定抽樣方案中n和c的最大取值nmax和cmax。其目的是避免在對(duì)n和c進(jìn)行遍歷時(shí)的盲目性。

2.2求解判定數(shù)c

判定數(shù)c取值從1開(kāi)始進(jìn)行整數(shù)遍歷到cmax，首先求解不同c值下方程Ⅰ、Ⅱ的n取值范圍，再根據(jù)方程Ⅰ、Ⅱ的n取值范圍之差來(lái)確定式（2）中c的取值。（便于說(shuō)明規(guī)定式（2）中第1個(gè)方程用方程Ⅰ表示，第2個(gè)方程用Ⅱ表示）。本文擬分5步來(lái)闡述求解判定數(shù)c的基本思路。

Step 1初步確定c取整數(shù)值時(shí)，式（1）、式（2）中n的取值范圍。

給定n的初值1，計(jì)算式（1）左右兩邊的積分結(jié)果，然后比較二者大小，用旗幟變量f記錄下它們的比較結(jié)果。f（c，n）=1代表等式左邊的積分結(jié)果大于等式右邊，f（c，n）=-1代表等式左邊小于等式右邊，而f（c，n）=0代表它們相等，此時(shí)的n即為方程的解。如果f（c，n）≠0，那么對(duì)n=n+1進(jìn)行重復(fù)計(jì)算，如果f（c，n）≠f（c，n-1），則n取值就在n-1～n之間。記錄的方程Ⅰ不同c值下的n取值范圍（nc，1-1～nc，1），同理第Ⅱ個(gè)方程n的取值范圍（nc，2-1～nc，2）。

Step 2縮小每個(gè)方程n的取值范圍。

要滿足確定c值的需要，必須縮小n的取值，在Step 1中通過(guò)縮小步長(zhǎng)到0.031 25，也可達(dá)到縮小n取值范圍的目的，但相同情況下相對(duì)該優(yōu)化算法計(jì)算次數(shù)增加了cmax倍，因此該優(yōu)化算法注重提升計(jì)算效率。式（1）縮小n取值范圍具體步驟如下：

①A=nc，1-1，B=nc，1，C=（A+B）/2；

②根據(jù)前文旗幟變量定義方法，分別求出f（c，A）、f（c，B）、f（c，C）；

③當(dāng)f（c，A）≠0，f（c，B）≠0，f（c，C）≠0，如果f（c，A）≠f（c，B），則B=C、C=（A+B）/2；如果f（c，B）≠f（c，C），則A=C、C=（A+B）/2；

④重復(fù)a、b、c步驟5次，則n值介于（A，B）之間；

⑤令nnc，1=B，則方程Ⅰ在c值下n的取值范圍為nnc，1-0.032 15～nnc，1。

運(yùn)用以上5個(gè)步驟可以將不同值下方程Ⅰ、Ⅱ的n取值范圍縮小。

Step 3確定nnc，1和nnc，2之差最小值時(shí)的c0值和對(duì)應(yīng)的差值cha1。

式（1）、式（2）是同屬于等價(jià)方程組式（2）的兩個(gè)獨(dú)立方程，因此，不同c值下兩個(gè)方程n取值越接近，對(duì)應(yīng)的c值才有可能是方程組的解。通過(guò)構(gòu)造準(zhǔn)則方程cha1=Min（chac，1）=Min（|nnc，1-nnc，2|），求解cha1，并令取cha1值下的c取值為c0。

Step 4求解c取c0+0.001下的兩個(gè)方程n取值之差cha2。

通過(guò)步驟Step 1、Step 2、Step 3，計(jì)算出c0+0.001二者n取值范圍之差cha2。

Step 5通過(guò)對(duì)比cha1和cha2確定c值。

通過(guò)對(duì)比cha1和cha2取值大小確定c的準(zhǔn)則如下：

式中：cha1＜cha2表明n取值范圍之差在c0處遞增；cha1＞cha2相反則能夠表明在c0處遞減。

2.3確定試驗(yàn)樣次數(shù)n

明確判定數(shù)c之后，接著就是要確定試驗(yàn)次數(shù)n，試驗(yàn)次數(shù)不僅僅關(guān)系著試驗(yàn)進(jìn)度、成本，同時(shí)與雙方實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)直接關(guān)聯(lián)，雙方風(fēng)險(xiǎn)選擇有許多原則可以遵循，不同的原則，將決定不同的試驗(yàn)次數(shù)n。

基于風(fēng)險(xiǎn)接近原則的試驗(yàn)次數(shù)確定方法，其實(shí)就是一種相對(duì)公平原則。在制定合同階段，雙方在權(quán)衡各方面因素基礎(chǔ)上，對(duì)風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行協(xié)定，因而在可靠性鑒定試驗(yàn)中，盡量保證雙方的實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)接近協(xié)定風(fēng)險(xiǎn)也是可以被雙方廣泛認(rèn)同的。

可靠性鑒定試驗(yàn)中，雙方協(xié)定的初始風(fēng)險(xiǎn)存在相等、不等兩種情形，不同情形下確定試驗(yàn)次數(shù)時(shí)，會(huì)存在不同的問(wèn)題。為了便于解決該問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)建準(zhǔn)則方程，使風(fēng)險(xiǎn)選擇問(wèn)題抽象化。準(zhǔn)則方程的構(gòu)造方法具體如下：

1）雙方協(xié)定風(fēng)險(xiǎn)α0=β0時(shí)，構(gòu)建準(zhǔn)則方程：

圖1　優(yōu)化算法計(jì)算流程圖

該準(zhǔn)則方程構(gòu)建的基礎(chǔ)是實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)均小于協(xié)定風(fēng)險(xiǎn)，并且滿足雙方實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)差值的絕對(duì)值最小。

2）雙方協(xié)定風(fēng)險(xiǎn)不等時(shí)：

①協(xié)定風(fēng)險(xiǎn)α0＞β0，構(gòu)建準(zhǔn)則方程

②雙方協(xié)定風(fēng)險(xiǎn)α0＜β0，構(gòu)建準(zhǔn)則方程

準(zhǔn)則方程式（5）、式（6）構(gòu)建的基礎(chǔ)是實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)均小于雙方協(xié)定風(fēng)險(xiǎn)，并且試驗(yàn)次數(shù)最少、試驗(yàn)成本最低，鑒定試驗(yàn)進(jìn)度最快。

3　實(shí)例計(jì)算分析

某型航空裝備，設(shè)計(jì)初期合同中規(guī)定可靠度指標(biāo)R0=0.95，鑒別比DR=2.5，經(jīng)協(xié)定生產(chǎn)方和使用方風(fēng)險(xiǎn)分別為α0=0.25、β0=0.15。

根據(jù)設(shè)計(jì)的優(yōu)化算法，首先大致框定出nmax=187和cmax=14，并計(jì)算不同值下方程1、2的n取值范圍；并可快速計(jì)算出cha1=1.687 5以及其對(duì)應(yīng)的c0=2；當(dāng)取c=c0+0.001=2.001時(shí)cha2=1.665 5，由式（3）判定c=c0+1=3；由于雙方協(xié)定風(fēng)險(xiǎn)α0＞β0，故選用準(zhǔn)則方程式（5），編程求解出試驗(yàn)次數(shù)n=47。因此，基于該優(yōu)化算法確定抽樣方案為（47，3）。

為驗(yàn)證算法的有效性，可通過(guò)傳統(tǒng)方法計(jì)算結(jié)果與該優(yōu)化算法結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。根據(jù)已知的（n，c），通過(guò)方程組式（2）反算出雙方實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)。選取具有代表性的抽樣方案，計(jì)算出雙方實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)如表1所示。

表1　某些抽樣方案下雙方實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)

由表1可以看出抽樣方案試驗(yàn)次數(shù)由小到大，總是一個(gè)α增大β減少的過(guò)程，根據(jù)雙方風(fēng)險(xiǎn)均小于協(xié)定風(fēng)險(xiǎn)原則，只有當(dāng)“判定數(shù)”c=3才能滿足該要求。對(duì)于使用方來(lái)說(shuō)，判定數(shù)一定試驗(yàn)次數(shù)越大，那么“取偽”的概率就越小，而對(duì)生產(chǎn)方“棄真”的概率就越大。因而在樣本量選擇范圍內(nèi)，最小試驗(yàn)次數(shù)n=47已經(jīng)滿足使用方的需要，并且樣本量小會(huì)對(duì)承制方有利，同時(shí)也減少了試驗(yàn)成本，因此，例1中應(yīng)取n=47。

通過(guò)實(shí)例說(shuō)明了本文設(shè)計(jì)的優(yōu)化算法可以方便、快速確定出試驗(yàn)次數(shù)、判定數(shù)。并在大量的實(shí)例計(jì)算中驗(yàn)證了該算法的有效性。

4　結(jié)束語(yǔ)

本文根據(jù)考慮雙方風(fēng)險(xiǎn)的定數(shù)截尾抽樣方案，在可靠性鑒定試驗(yàn)中的實(shí)際情況，以抽樣方案設(shè)計(jì)科學(xué)、合理，計(jì)算快速、準(zhǔn)確、使用簡(jiǎn)單、便捷為基本原則，進(jìn)行算法優(yōu)化設(shè)計(jì)，可在工程上實(shí)際應(yīng)用，主要解決的問(wèn)題有：

①增強(qiáng)了成敗型抽樣方案在工程應(yīng)用中的范圍。針對(duì)國(guó)標(biāo)中沒(méi)有給定的R0、DR、α、β提供適用性強(qiáng)的算法；彌補(bǔ)了雙方初始風(fēng)險(xiǎn)不等時(shí)，該抽樣方案的使用受到限制的局限性；

②本文設(shè)計(jì)的優(yōu)化算法，相對(duì)已有算法通過(guò)動(dòng)態(tài)改變步長(zhǎng)的方法，可最大限度減少計(jì)算的次數(shù)，提高計(jì)算效率，增強(qiáng)了該抽樣方案在工程應(yīng)用中的便捷性；

③針對(duì)工程使用中不同風(fēng)險(xiǎn)選擇原則難的問(wèn)題，提出了通過(guò)構(gòu)建準(zhǔn)則方程的方法，解決了算法設(shè)計(jì)中樣本量選擇技術(shù)難點(diǎn)；同時(shí)考慮了在滿足風(fēng)險(xiǎn)接近原則的前提下，可降低樣本量、節(jié)省試驗(yàn)成本、加快試驗(yàn)進(jìn)度。

［1］Chang C H，Yang J P，Cao P J.Study on the Scheme of Testability Demonstration Test Based on Development Information［J］.Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2012，33（1）：2057-2064.

［2］明志茂，陶俊勇，陳循，等.動(dòng)態(tài)分布參數(shù)的貝葉斯可靠性評(píng)估［M］.北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2011.

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Optimization Algorithm of Type-ⅡCensoring of Considering both Sides Risk Inspection Plan of pass-fail Experiment

DU Xu1，WANG Zhuo-jian1，MA Tao2，SHEN An-wei1
（1.School of Aeronautics and Astronautics Engineering，Air Force Engineering University，Xi'an 710038，China；2.China Flight Test Estabishment，Xi'an 710089，China）

When it comes to the problem of computational complexity and low flexibility，the paper designs a strong applicability and flexibility of the optimization algorithm，considering the success of both the risk of different Type-ⅡCensored sampling program design.With the analysis of accumulation equation and monotonous regularity，the optimization algorithm uses the method of dynamic step.Aiming at the difficulty of selection principles of different risks in using process，combined risk both in the initial agreement of equality and inequality，and choosing risk nearly as the basic principle，the criterion equation of risk selection is build.Finally，the calculating results of the traditional method and the optimization algorithm are analyzed，and the results show that not only high computational efficiency has been promoted，but also the engineering practicability enhanced.

type-Ⅱcensoring，algorithm，risks，pass-fail

V37

A

1002-0640（2015）08-0052-04

2014-06-11

2014-07-27

國(guó)家部委基金（513270303）；陜西省軟科學(xué)技術(shù)基金資助項(xiàng)目（2011KRM122）

杜旭（1990-），男，河南內(nèi)鄉(xiāng)人，碩士研究生。研究方向：飛機(jī)RMS論證與評(píng)估。