李曉宇，田康生，鄭玉軍，陳立

（空軍預(yù)警學(xué)院，武漢430019）

單星觀測下彈道導(dǎo)彈狀態(tài)估計(jì)與預(yù)測誤差分析*

李曉宇，田康生，鄭玉軍，陳立

（空軍預(yù)警學(xué)院，武漢430019）

如何利用預(yù)警衛(wèi)星提供的彈道導(dǎo)彈主動段狀態(tài)信息，以及被動段的預(yù)測信息引導(dǎo)預(yù)警雷達(dá)及時(shí)捕獲彈道導(dǎo)彈目標(biāo)，是反導(dǎo)預(yù)警信息系統(tǒng)的一項(xiàng)重要功能。為此，需要準(zhǔn)確獲取目標(biāo)的狀態(tài)估計(jì)與預(yù)測誤差。針對單星觀測下基于標(biāo)準(zhǔn)模板的彈道導(dǎo)彈主動段狀態(tài)估計(jì)算法，獲得了關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)參數(shù)以及估計(jì)誤差，為改善狀態(tài)估計(jì)提供了依據(jù)。在此基礎(chǔ)上建立了預(yù)測誤差估計(jì)模型，為優(yōu)化設(shè)定預(yù)警雷達(dá)搜索區(qū)域奠定了基礎(chǔ)。

單星，彈道導(dǎo)彈，關(guān)機(jī)點(diǎn)，狀態(tài)估計(jì)，預(yù)測誤差估計(jì)模型

0　引言

如何利用預(yù)警衛(wèi)星提供的彈道導(dǎo)彈主動段狀態(tài)信息以及被動段的預(yù)測信息引導(dǎo)預(yù)警雷達(dá)及時(shí)捕獲彈道導(dǎo)彈目標(biāo)，是反導(dǎo)預(yù)警信息系統(tǒng)的一項(xiàng)重要功能。單星觀測預(yù)警作為預(yù)警系統(tǒng)必然歷經(jīng)的重要過程，即使在多顆預(yù)警衛(wèi)星全面部署后，也可作為一項(xiàng)及時(shí)有效的應(yīng)急預(yù)案以應(yīng)對突發(fā)情況［1］。單星觀測下彈道導(dǎo)彈狀態(tài)估計(jì)與預(yù)測誤差作為影響預(yù)警衛(wèi)星能否獲得彈道導(dǎo)彈實(shí)時(shí)運(yùn)動狀態(tài)的重要指標(biāo)，關(guān)系到能否有效引導(dǎo)預(yù)警雷達(dá)及時(shí)捕獲彈道導(dǎo)彈目標(biāo)并最終部署攔截。

針對預(yù)警衛(wèi)星觀測彈道導(dǎo)彈問題，國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了相應(yīng)研究。文獻(xiàn)［2-3］針對預(yù)警衛(wèi)星觀測下的彈道導(dǎo)彈主動段問題，分別對發(fā)射點(diǎn)、關(guān)機(jī)點(diǎn)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。文獻(xiàn)［4］建立了單級彈道導(dǎo)彈的動力學(xué)和運(yùn)動學(xué)模型，但缺少模型的驗(yàn)證。文獻(xiàn)［5-6］針對單星觀測下的彈道導(dǎo)彈射向研究，缺少對預(yù)測誤差的分析。文獻(xiàn)［7］在理論數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上建立了具有通用性的預(yù)測誤差估計(jì)模型，但沒有考慮關(guān)機(jī)點(diǎn)時(shí)間誤差這一重要因素。

本文針對單星觀測，通過基于標(biāo)準(zhǔn)模板的彈道導(dǎo)彈主動段狀態(tài)估計(jì)算法，獲得目標(biāo)關(guān)機(jī)點(diǎn)相應(yīng)參數(shù)以及估計(jì)誤差，并在此基礎(chǔ)上建立單星預(yù)測誤差估計(jì)模型，為優(yōu)化設(shè)定預(yù)警雷達(dá)搜索區(qū)域奠定了基礎(chǔ)。

1　基于標(biāo)準(zhǔn)模板的主動段運(yùn)動描述

單星觀測由于具有單一觀測時(shí)刻無法定位的不完全特性，不能充分利用逐點(diǎn)定位算法進(jìn)行參數(shù)迭代，給目標(biāo)狀態(tài)的準(zhǔn)確估計(jì)與預(yù)測帶來了困難?；跇?biāo)準(zhǔn)模板的彈道導(dǎo)彈主動段狀態(tài)估計(jì)算法是通過利用導(dǎo)彈目標(biāo)的主動段先驗(yàn)信息，對標(biāo)準(zhǔn)彈道模板庫進(jìn)行匹配來獲得目標(biāo)主動段狀態(tài)估計(jì)［8］。

1.1主要坐標(biāo)系

基于標(biāo)準(zhǔn)模板法的主動段運(yùn)動涉及的主要坐標(biāo)系為發(fā)射坐標(biāo)系、地心直角固定坐標(biāo)系和衛(wèi)星天東北坐標(biāo)系。

發(fā)射坐標(biāo)系以發(fā)射點(diǎn)中心為原點(diǎn)，OX軸由原點(diǎn)O指向?qū)椛湎蚍较?；OY軸取過坐標(biāo)系原點(diǎn)的鉛垂線，向上為正；OZ軸位于過坐標(biāo)系原點(diǎn)的水平面內(nèi)，與OX軸、OY軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系。

地心直角固定坐標(biāo)系（ECF）與地球固連在一起，隨地球一起轉(zhuǎn)動，其原點(diǎn)與地心重合并以地球旋轉(zhuǎn)軸為Z軸，取正北方向?yàn)閆軸正向。ECF坐標(biāo)系描述彈道導(dǎo)彈的運(yùn)動狀態(tài)較為方便。

衛(wèi)星天東北坐標(biāo)系（UEN）以衛(wèi)星傳感器S的中心位置為OU坐標(biāo)原點(diǎn)，N軸指向正北，取正北方向?yàn)镹軸正向，E軸指向正東，地心OE與OU連線的延長線作U軸。

圖1　ECF坐標(biāo)系與衛(wèi)星UEN坐標(biāo)系的關(guān)系

1.2測量模型

測量模型建立在UEN坐標(biāo)系中，如圖1所示。參數(shù)λ、φ分別表示預(yù)警衛(wèi)星的經(jīng)度和緯度，s是衛(wèi)星到地心的距離。對于地球同步預(yù)警衛(wèi)星，φ=0，則衛(wèi)星的位置矢量s為：

在UEN坐標(biāo)系內(nèi)，參數(shù)e和a分別為由衛(wèi)星指向目標(biāo)的俯仰角和方位角?；诖耍琔EN坐標(biāo)系中衛(wèi)星指向目標(biāo)TBM的矢量為u=［U，E，N］T，則

預(yù)警衛(wèi)星的紅外傳感器按一定角度掃描，現(xiàn)假定主動段時(shí)導(dǎo)彈發(fā)動機(jī)的尾焰被預(yù)警衛(wèi)星依次探測，共有M組觀測值，分別對應(yīng)T1，T2，…，TM時(shí)刻，導(dǎo)彈發(fā)射時(shí)刻為T0，關(guān)機(jī)點(diǎn)時(shí)間為Tbo，則有

預(yù)警衛(wèi)星通過角測量對目標(biāo)進(jìn)行觀測，設(shè)Tk時(shí)刻目標(biāo)的狀態(tài)變量為ξ，則預(yù)警衛(wèi)星測量方程表示如下：

二維矢量hk（·）包括從預(yù)警衛(wèi)星sk到導(dǎo)彈目標(biāo)的方位角ak（·）和俯仰角ek（·），由式（5）得：

1.3主動段運(yùn)動描述

本文假定已根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)彈道模板庫確定了導(dǎo)彈類型，利用四次多項(xiàng)式對目標(biāo)彈道進(jìn)行擬合。t表示目標(biāo)飛行時(shí)間，hp和dp表示當(dāng)前時(shí)刻目標(biāo)距發(fā)射點(diǎn)的垂直高度和水平距離，則

已知彈道導(dǎo)彈的先驗(yàn)信息后，結(jié)合發(fā)射點(diǎn)參數(shù)（發(fā)射時(shí)間T0、發(fā)射點(diǎn)的經(jīng)度λ0和緯度φ0、發(fā)射點(diǎn)的海拔高度h0、導(dǎo)彈射向α0）即可確定其主動段彈道。在實(shí)際飛行中，同一種導(dǎo)彈根據(jù)實(shí)際作戰(zhàn)應(yīng)用可采用高/低彈道（Lofted/Depressed Trajectory）飛行。因此，引入L～（-0.25，+0.25）對彈道進(jìn)行修正，如下頁圖2所示。

式中，d、h分別表示彈道導(dǎo)彈的實(shí)際飛行距離和高度。

圖2　某彈道導(dǎo)彈飛行軌跡

已知觀測時(shí)刻Tk，則導(dǎo)彈飛行時(shí)間tk為

代入式（7）～式（10）可得dk、hk。如圖3所示，設(shè)θk是以地心為頂點(diǎn)，發(fā)射點(diǎn)與導(dǎo)彈當(dāng)前位置的夾角，即：

圖3　地心角示意圖

根據(jù)球面三角關(guān)系，結(jié)合目標(biāo)發(fā)射點(diǎn)參數(shù)后可得到目標(biāo)在k時(shí)刻的緯度φk、經(jīng)度λk以及離地高度altk分別為：

根據(jù)ECF坐標(biāo)系下衛(wèi)星與彈道目標(biāo)TBM的轉(zhuǎn)換矩陣，ECF坐標(biāo)系中彈道目標(biāo)TBM的位置rk為：

2　彈道導(dǎo)彈關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)估計(jì)

在彈道目標(biāo)主動段，預(yù)警衛(wèi)星通過紅外探測器捕獲目標(biāo)尾焰實(shí)施探測，但由于關(guān)機(jī)時(shí)刻目標(biāo)發(fā)動機(jī)關(guān)機(jī)，目標(biāo)尾焰大大減弱，給預(yù)警衛(wèi)星探測造成了極大困難，只能通過估計(jì)獲取目標(biāo)關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)。

2.1關(guān)機(jī)點(diǎn)時(shí)間估計(jì)

在已知彈道方程的條件下，關(guān)機(jī)點(diǎn)的位置和速度取決于關(guān)機(jī)點(diǎn)時(shí)間。關(guān)機(jī)時(shí)間的確定主要是利用衛(wèi)星最后觀測時(shí)刻Tlast，目標(biāo)最大關(guān)機(jī)時(shí)間tmax以及衛(wèi)星采樣率Sn進(jìn)行推算。設(shè)估計(jì)的導(dǎo)彈發(fā)射時(shí)間為T0，Tmax為先驗(yàn)的最大關(guān)機(jī)時(shí)刻，則

如果Tmax-Tnest≥Sn，則

如果Tmax-Tnest

關(guān)機(jī)時(shí)間的估計(jì)受客觀條件所限往往存在較大誤差，主要與衛(wèi)星傳感器的采樣率Sn有關(guān)，即衛(wèi)星傳感器的采樣率Sn越高，關(guān)機(jī)點(diǎn)時(shí)間的估計(jì)精度也就越高。

2.2關(guān)機(jī)點(diǎn)位置及速度估計(jì)

關(guān)機(jī)點(diǎn)位置與速度的估計(jì)分為3個(gè)步驟進(jìn)行：①根據(jù)衛(wèi)星最后觀測時(shí)刻的角測量信息推算目標(biāo)位置信息；②根據(jù)位置信息求解最后觀測時(shí)刻的速度信息；③結(jié)合最后觀測時(shí)刻的位置與速度外推關(guān)機(jī)點(diǎn)時(shí)刻的位置與速度。

利用式（13）～式（15）可得關(guān)機(jī)點(diǎn)的緯度φbo、經(jīng)度λbo及海拔高度altbo，將上述參數(shù)轉(zhuǎn)換到ECF坐標(biāo)系下，則彈道導(dǎo)彈目標(biāo)TBM關(guān)機(jī)點(diǎn)的位置rbo為：

關(guān)機(jī)點(diǎn)的速度矢量用速率vbo、當(dāng)?shù)厮絻A角γbo及方位角αbo來表示，則

當(dāng)φbo-φ0≥0時(shí)

當(dāng)φbo-φ0＜0時(shí)

2.3關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)估計(jì)誤差

關(guān)機(jī)點(diǎn)位置是h0、L、T0和Tbo的函數(shù)，記：

其全微分為：

上式中h0、L、T0和Tbo的方差矩陣可從文獻(xiàn)［8］得到：

其中對角線元素為方差，其余為協(xié)方差。為了便于計(jì)算，協(xié)方差均取0，則根據(jù)誤差傳播率可得到關(guān)機(jī)點(diǎn)位置的標(biāo)準(zhǔn)差為：

關(guān)機(jī)點(diǎn)速度矢量（vbo，γbo，αbo）T的估計(jì)誤差方差同理可得：

至此，完成了單星觀測下彈道導(dǎo)彈主動段狀態(tài)估計(jì)研究，為后文建立預(yù)測誤差估計(jì)模型奠定了基礎(chǔ)。

3　預(yù)測誤差估計(jì)模型

目標(biāo)在關(guān)機(jī)后完全依靠慣性飛行，關(guān)機(jī)點(diǎn)位置以及時(shí)間一定的情況下，在關(guān)機(jī)速度的影響下被動段預(yù)測軌跡與真實(shí)軌跡誤差越來越大，最終形成彈道誤差管道［9］?；诖?，本文在單星觀測的基礎(chǔ)上建立預(yù)測誤差估計(jì)模型，旨在增強(qiáng)預(yù)警雷達(dá)及時(shí)捕獲彈道目標(biāo)的及時(shí)性與有效性。

預(yù)測誤差估計(jì)模型（如圖4所示）用于確定預(yù)警雷達(dá)搜索區(qū)域的體積邊界，對實(shí)施初始段攔截、實(shí)現(xiàn)落點(diǎn)預(yù)測具有很大幫助。預(yù)測誤差管道半徑為E，則

圖4　預(yù)測誤差估計(jì)模型

誤差管道半徑增長率c（%）表示衛(wèi)星預(yù)測目標(biāo)軌跡的不確定區(qū)域大小隨時(shí)間變化的函數(shù)，是衡量衛(wèi)星引導(dǎo)性能的重要因素。

式中，σvc為關(guān)機(jī)點(diǎn)橫向速度誤差，Tim為關(guān)機(jī)點(diǎn)到落點(diǎn)的飛行時(shí)間，p為保證不確定區(qū)域大小的概率。

4　仿真分析

本文采用單顆地球同步衛(wèi)星進(jìn)行觀測，目標(biāo)為射程300 km的近程彈道導(dǎo)彈，發(fā)射點(diǎn)參數(shù)分別為T0=0 s、L=0、λ0=51 E、φ0=35 N、h0=0 km、射向α0=30°，穿云飛行時(shí)間為20 s，主動段關(guān)機(jī)最大時(shí)間為64.5 s。假定衛(wèi)星到目標(biāo)的距離reff=37 911 km，衛(wèi)星觀測周期Sn=0.1。

圖5ECF下的主動段彈道軌跡

圖5是基于標(biāo)準(zhǔn)模板法的彈道導(dǎo)彈主動段運(yùn)動軌跡。在觀測誤差的影響下，目標(biāo)主動段真實(shí)彈道軌跡與觀測彈道軌跡會受到影響，從而關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)估計(jì)存在誤差。

表1　關(guān)機(jī)點(diǎn)誤差參數(shù)

表1為目標(biāo)關(guān)機(jī)點(diǎn)誤差參數(shù)，預(yù)測誤差管道半徑增長率c（%）取決于關(guān)機(jī)點(diǎn)速度以及橫向速度誤差。

第13頁圖6、圖7表示由表1建立的預(yù)測誤差管道平面圖，關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)矢量通過標(biāo)準(zhǔn)模板法得出。圖7中關(guān)機(jī)點(diǎn)位于25.3 km處，在此之前的點(diǎn)劃線表示目標(biāo)主動段運(yùn)動軌跡，實(shí)線表示真實(shí)彈道軌跡，兩條虛線為預(yù)測彈道軌跡，構(gòu)成預(yù)測誤差管道。

圖6　水平平面的預(yù)測誤差管道

圖7　豎直平面的預(yù)測誤差管道

目標(biāo)在關(guān)機(jī)后的254 s飛行至落點(diǎn)335 km處，預(yù)測誤差管道的半徑不斷增大。仿真得到的目標(biāo)射程與理想射程大致相近，說明基于標(biāo)準(zhǔn)模板的彈道導(dǎo)彈主動段狀態(tài)估計(jì)算法有一定的可行性。

在已知預(yù)警雷達(dá)的位置和效能后，預(yù)測誤差管道為引導(dǎo)雷達(dá)實(shí)現(xiàn)搜索區(qū)域的劃分提供了依據(jù)，為預(yù)警雷達(dá)及時(shí)捕獲彈道目標(biāo)提供了幫助。

5　結(jié)束語

本文首先通過標(biāo)準(zhǔn)模板的彈道導(dǎo)彈主動段狀態(tài)估計(jì)算法獲取了關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)估計(jì)參數(shù)，并對關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)估計(jì)誤差進(jìn)行分析，在此基礎(chǔ)上建立預(yù)測誤差估計(jì)模型，一定程度上增強(qiáng)了反導(dǎo)預(yù)警信息系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性及有效性。

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Error Analysis of Single Satellite Observe Ballistic Missile State Estimation and Forecast

LI Xiao-yu，TIAN Kang-sheng，ZHENG Yu-jun，CHEN Li
（Air Force Early Warning Academy，Wuhan 430019，China）

It is important aspect of the anti-ballistic early warning information system to cue warning radars to promptly capture ballistic missiles by using boost-phase state information and passive-phase prediction information of ballistic missiles provided by warning satellites.To this end，it is needed to obtain the state estimation and prediction error of targets.Based on the algorithm for estimating boost-phase states of ballistic missiles Nominal Profile templates when the single satellite is used for observation，burnout state parameters and estimation errors are obtained，which can be used to benefit state estimation.In addition，the forecast error estimation model is established to form a basis for optimizing the setting of warning radar search region.

single satellite，ballistic missile，burnout，state estimation，forecast error estimation model

TJ761.3

A

1002-0640（2015）08-0005-04

2014-06-15

2014-07-17

國家自然科學(xué)基金（61271451）；空軍研究生創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目（KJ2010199）

李曉宇（1990-），男，河南平頂山人，碩士。研究方向：彈道導(dǎo)彈預(yù)警仿真。