劉 月

?

轉(zhuǎn)移率部分未知的Markov跳變神經(jīng)網(wǎng)絡的穩(wěn)定性

劉 月

（鐵嶺師范高等?？茖W校理學院 遼寧鐵嶺 112000）

研究了具有 Markov 跳躍和區(qū)間時變時滯神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。此類Markov跳變神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移概率矩陣元素部分未知，因而更具有一般性。通過建立新穎的增廣Lyapunov泛函和應用反凸組合技術，得到了含有轉(zhuǎn)移概率部分未知的 Markov 跳變神經(jīng)網(wǎng)絡的穩(wěn)定準則。提出的方法不需要知道轉(zhuǎn)移概率矩陣中未知元素的任何信息，增加了結果的使用范圍。同時，得到的穩(wěn)定性準則依賴于時滯的上下界。最后, 通過數(shù)值仿真驗證了所得結果的正確性。

轉(zhuǎn)移率部分未知 神經(jīng)網(wǎng)絡Markov 跳變 反凸組合技術

神經(jīng)網(wǎng)絡已應用到各個領域，比如：聯(lián)想記憶、圖像處理、組合優(yōu)化、模式識別[1,2]，因此受到人們的廣泛關注。由于時滯對神經(jīng)網(wǎng)絡的穩(wěn)定性有很大的影響，因此，與變時滯相關的神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)穩(wěn)定性問題受到廣泛的研究。

在實際應用中，由于模型誤差、外部擾動、參數(shù)變化等因素無法消除，系統(tǒng)常常受到各種隨機因素的干擾，從而使隨機系統(tǒng)的研究得到了廣泛關注。關于馬爾科夫系統(tǒng)問題的相關研究中，大多假設轉(zhuǎn)移概率完全已知[3,4]，然而在實際工程應用中，完全得到轉(zhuǎn)移概率的全部信息十分困難，因此，對轉(zhuǎn)移概率部分未知的 Markov 系統(tǒng)的研究是十分必要的。目前，大多數(shù)研究是針對轉(zhuǎn)移概率部分未知的 Markov 線性系統(tǒng)的，然而，轉(zhuǎn)移概率部分未知隨機神經(jīng)網(wǎng)絡的研究不多。文獻[5]研究了轉(zhuǎn)移概率部分未知的不確定 Markov 跳變線性系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定問題。文獻[6]和[7]分別應用不同的方法研究了轉(zhuǎn)移率矩陣含有部分信息隨機 Markov 跳躍系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。以上這幾個文獻，雖然系統(tǒng)跳躍過程的轉(zhuǎn)移概率為部分未知的，但是這些系統(tǒng)都是線性的。另外，神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)的實現(xiàn)過程中，由于放大器切換速度的影響，會有時滯產(chǎn)生[8]。然而，時滯的存在可能會引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定性[9]。因此，研究時滯神經(jīng)網(wǎng)絡是很有必要的。文獻[10]分析了一類具有時變時滯和不確定性的細胞神經(jīng)網(wǎng)絡全局漸近穩(wěn)定性問題.。文獻[11]通過建立合適的Lyapunov泛函，研究了具有時變時滯的模糊雙曲神經(jīng)網(wǎng)絡的穩(wěn)定性問題。這幾個文獻研究了時滯神經(jīng)網(wǎng)絡問題，沒有考慮隨機現(xiàn)象。文獻[12]研究了轉(zhuǎn)移率矩陣完全已知的 Markov 跳變神經(jīng)網(wǎng)絡的魯棒穩(wěn)定性問題。文獻[13]研究了轉(zhuǎn)移率部分未知的Markov 跳變神經(jīng)網(wǎng)絡穩(wěn)定性和同步問題。文獻[14]研究了含有轉(zhuǎn)移率部分未知的Markov 神經(jīng)網(wǎng)絡有限時間有界性問題。雖然這兩個文獻研究了轉(zhuǎn)移率部分未知神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)問題，然而還有很大的提升空間。不同于以上方法，在本文中給出了新穎的增廣Lyapunov泛函和應用反凸組合技術，得到了新的穩(wěn)定性的準則。

基于以上研究成果，本文研究了一類具有轉(zhuǎn)移概率部分未知的 Markov 跳變時變時滯神經(jīng)網(wǎng)絡的隨機穩(wěn)定問題，通過構造新的增廣的Lyapunov泛函，利用反凸組合技術，給出了系統(tǒng)均方漸近穩(wěn)定的準則，所得結果與以往相比更具有一般性和實用性，仿真實例證明了結果的可行性和有效性。

1 模型描述和預備知識

考慮如下具有時變離散時滯和分布時滯的Markov 跳變神經(jīng)網(wǎng)絡：

在文中，Markov 跳變的轉(zhuǎn)移概率為部分未知的，且系統(tǒng) (1) 的N個模態(tài)轉(zhuǎn)移率矩陣表示為：

引理2[17]Rm→R在開子集有正值，且R，則定義在上，f的反凸組合滿足下面式子：

2 主要結果

(6)

其中，

由式(16)和引理1，可得(17)

根據(jù)引理2中的反凸組合技術，可以得到，

根據(jù)假設1，可以的到下面這些不等式。

聯(lián)合(10)~ (21)，我們可以得到

注１：與文獻[1,2,8,10－15]相比，本文研究了時變時滯神經(jīng)網(wǎng)絡的穩(wěn)定性問題，不但考慮了隨機現(xiàn)象，而且還考慮了轉(zhuǎn)移率部分未知的情況，從而擴展了在實際生產(chǎn)中的使用范圍，具有更小的保守性。此外，利用增廣的Lyapunov泛函，增加了線性矩陣不等式解的靈活性。同時，利用反凸組合技術減少了保守性。

3 數(shù)值仿真

考慮具有三個模態(tài)連續(xù)Markov跳變的時滯神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)：

轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

其中，“？”表示轉(zhuǎn)移概率矩陣中無法獲得的轉(zhuǎn)移率。

假設初始值：

同時根據(jù)假設1，可以得到：

通過MATLAB中的LMI工具箱，求解定理1，我們可以得到如下可行解

圖１為 Markov跳變時滯神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)的三個模態(tài)跳變曲線，圖２為Markov跳變時滯神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)的狀態(tài)曲線圖，我們可以看到系統(tǒng)收斂到原點。仿真圖形如下。

圖1 系統(tǒng)(23)式的三個模態(tài)跳變曲線

圖2 Markov跳變時滯神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)(23)的狀態(tài)響應曲線

4 結語

通過建立增廣的Lyapunov泛函和應用反凸組合技術，得到了含有轉(zhuǎn)移概率部分未知的 Markov 跳變神經(jīng)網(wǎng)絡的穩(wěn)定準則。目前，具有轉(zhuǎn)移率部分未知Markov 跳變區(qū)間時變時滯神經(jīng)網(wǎng)絡隨機穩(wěn)定性的研究相應成果較少，與已有的轉(zhuǎn)移概率完全已知的文獻相比，本文的方法增加了系統(tǒng)在實際中的運用范圍，更加接近于實際存在的系統(tǒng)模型。數(shù)值仿真說明了方法的可行性和有效性。

[1] Arik S. Stability analysis of delayed neural networks[J]. IEEE Trans. on Circuits and Systems I:Fundamental Theory and Applications,2000,47(7):1089–1092.

[2] CAO Ji-de,WANG Jun. Global asymptotic and robust stability of recurrent neural networks with time delays[J]. IEEE Trans. on Circuits and Systems I: Regular Papers, 2005,52(2):417–426.

[3] DONG Jiu-xiang, YANG Guang-hong．Robust H2 control of continuous-time Markov jump linear systems[J]. Automatica,2008,44(5):1431-1436．

[4] WU Zheng-guang, SHI Peng, SU Hong-ye, CHU Jian. Stochastic synchronization of Markovian jump neural networks with time-varying delay using sampled data[J]. IEEE Trans. on Cybernetics,2013,43(6):1796-1806.

[5] 鐘向楠，王占山，張化光.轉(zhuǎn)移概率部分未知的不確定Markov跳變系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定[J].吉林大學學報,2012,42(6):1558-1562.

[6] 盛立,高明.轉(zhuǎn)移概率部分未知的隨機Markov 跳躍系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制[J].控制與決策,2011,26(11):1716-1720.

[7] ZHANG Yan, HE Yong, WU Min, ZHANG Jie. Stabilization for Markovian jump systems with partial information on transition probability based on free-connection weighting matrices[J],Automatica, 2011,47:79-84.

[8] 劉國權,周書民.一類含有時變時滯的不確定中立型Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡的魯棒穩(wěn)定性判據(jù)[J].自動化學報,2013,39(9):1421-1430.

[9] WANG Gang, YANG Dong-shen, ZHAO Qing-qi.Delay-dependent fuzzy hyperbolic model based on data-driven guaranteed cost control for a class of nonlinear continuous-time systems with uncertainties[J]. Mathematical Problems in Engineering,2012,780740:1-17.

[10] 宮大為,馮健,劉金海.帶有不確定性的時變時滯神經(jīng)網(wǎng)絡漸近穩(wěn)定性分析[J].東北大學學報,2010,31(3):313-316.

[11] WANG Gang, ZHANG Hua-guang, CHEN Bin, et al. Fuzzy hyperbolic neural network with time-varying delays[J].Fuzzy Sets and Systems, 2010,161(19): 2533-2551.

[12] 盛立,楊慧中.一類Markov 跳變神經(jīng)網(wǎng)絡的時滯相關魯棒穩(wěn)定性[J].系統(tǒng)工程與電子技術,2009,31(11):2698-2702.

[13] MA Qian, XU Sheng-yuan, ZOU Yun. Stability and synchronization for Markovian jump neural networks with partly unknown transition probabilities [J].Neurocomputing,2011, 74:3404-3411.

[14] LI Liang. Finite-time boundedness for a class of delayedMarkovian jumping neural networks with partly unknown transition probabilities[J],Abstract and Applied Analysis, 2014:1-8,Article ID 597298.

[15] LIU Yu-rong, WANG Zi-dong, LIU Xiao-hui. Global exponential stability of generalized recurrent neural networks with discrete and distributed delays[J].Neural Networks,2006,19(5):667-675.

[16] GU Ke-qin, Kharitonov V L, CHEN Jie. Stability of time-delay systems[M].Boston: Birkh?user,2003.

[17] Park P, Ko J W, Jeong C. Reciprocally convex approach to stability of systems with time-varying delays[J]. Automatica,2011,47(1):235-238.