張 潔，褚少輝

（1.河北建筑設計研究院有限公司，石家莊 050011；2.河北建研科技有限公司，石家莊 050021）

0 引言

近些年來，隨著我國交通事業(yè)的不斷發(fā)展，車輛運行速度不斷提高，車輛載重不斷增加，高速公路和客運專線的里程數也不斷刷新紀錄，為節(jié)約耕地和減小沉降，大量實行以橋代路的技術，導致橋梁數量大幅增長。車輛會對所通過的橋梁產生動力沖擊作用，使橋梁發(fā)生振動，直接影響其工作狀態(tài)和使用壽命，給人民的生命財產安全帶來威脅，因此車橋耦合動力學的研究顯得越來越重要。

對于等截面均勻梁的車橋耦合動力分析，國內外已有大量的研究［1－4］，而對于變截面梁，國內外只有少量的數值模擬分析，理論解幾乎沒有。非均勻梁可以提供更好和更合適的質量和應力分布，滿足其在建筑、機械、航空航天和其他工程創(chuàng)新應用中的要求，它們已經成為多項研究的主題［5］。本文研究高度不變、寬度按指數形式變化的矩形變截面均勻梁在移動車輛荷載作用下的振動響應問題，建立系統(tǒng)的振動微分方程，給出了比較精確的理論解，并用有限差分法和ANSYS有限元法進行數值驗證。最后利用推導的理論解進行參數分析。

1 振動方程求解

現有一矩形變寬度截面梁，高度不變，寬度按照指數形式變化，即b（x）＝b0eδx，其中，b0為初始寬度，δ為非均勻系數，梁橫截面的高為常數h，長度為L，各截面的形心連成為一條直線，將軸設在這條直線上?，F有一車輛勻速駛過該橋，本節(jié)討論將車輛簡化為一個移動常力時橋的動力響應情況。

設車輛以均勻速度c過橋，忽略車輛的慣性，可看作集中力F（t）（假定集中力只隨時間變化）沿橋面移動。設初始時刻t＝0時，梁的初始位移和速度皆為零。集中荷載可利用脈沖函數表示為

式中：F為所施加的力的大??；δ（x）為脈沖函數。

考慮到這是一個均勻的變截面梁，其控制方程可寫為如下的形式

式中：E0、I0、ρ0和A0分別表示梁在x＝0處的楊氏彈性模量、截面的慣性矩、密度以及截面積ν（x，t）為梁變形函數；k（x）為截面慣性矩的變化函數b（x）＝b0eδx；m（x）為截面面積的變化函數m（x）＝eδx。在式（2）中引入無量綱的變量X＝x／L，L為梁的長度。在化簡后為計算方便，再把符號“X”寫作“x”，代入b（x）＝b0eδx，m（x）＝eδx，則式（2）可化為

將方程的解分離變量，寫作模態(tài)函數的線性組合

把式（4）代入式（3），利用模態(tài)函數的正交性，在方程兩邊同時乘以φi，并從0到1積分

根據主質量與主剛度的定義，有

β＝，則式（5）化簡為

根據杜哈梅積分求出其解

其中：m0＝ρ0A0L，表示以x＝0處截面為截面的矩形等截面梁的質量。

對于高度為常數、寬度按照指數形式變化的變截面均勻梁，式（3）可以表示為

上述方程的解為如下形式

式中：

常數c1、c2、c3、c4由系統(tǒng)的邊界條件確定。

自此，有關描述變截面梁彎曲振動響應的所有公式均已求出。本節(jié)公式適合寬度按指數變化的等高度變截面均勻梁，集中力的形式可以多樣，只要其只隨時間變化且可以積分，邊界條件可以多樣。下面將以兩端簡支為例子，探討橋梁的彎曲振動響應。

2 兩端簡支梁彎曲振動響應

2.1 理論解

兩端簡支梁的邊界條件為：簡支端處的撓度和彎矩等于零，即

代入式（12），得到關于c1、c2、c3、c4的一個四元一次齊次線性方程組

以上方程組有非零解的充要條件是系數矩陣A的行列式｜A｜＝0，此時方程組有無窮多解，為方便起見，可取其一組解。

將c1、c2、c3、c4代入式（12）即可得到模態(tài)函數。

已經求得φ（x），按照式（10）求解q（t），式中的ω、m0、M、F均為常數，可提到積分符號的外面。由式（7）可求得M，結果如下：

積分部分計算結果具有如下的形式：

R1和R2可以分別求出，本文不做推導。由相關文獻［6－7］可知，第一階振型對結構影響最大，第二階對系統(tǒng)振動影響很小，本文只研究第一階振型。根據前文推導，得到系統(tǒng)響應方程：

假設有如下的已知條件：梁長為20 m，高度為0.5 m，寬度按照指數形式變化b（x）＝b0eδx，δ＝0.1，始端截面寬度b0＝2 m，彈性模量E＝100 MPa，密度ρ＝2.5×103kg／m3，車勻速駛過c＝4m／s，忽略車輛的慣性，看作是集中力F＝ρgb0hL／100＝4 900N?，F在做出跨中撓度時程曲線（時間歸一化）如圖1所示。

圖1 c＝4m／s、δ＝0.1兩端簡支梁跨中撓度時程曲線（理論解）

由圖1可以看出，車速為4m／s時，變截面梁在車通過橋面過程中，撓度逐漸增大，即將離開橋面時跨中撓度達到最大。

2.2 有限差分法數值驗證

由上文分析可知，系統(tǒng)的振動可以由式（3）表示，即

為便于比較，將上式化為x和τ的函數，以下為Maple中的結果

式中的Dirac（x－τ）即為式（3）中的δ（xct／L），將已知條件代入以上方程，已知條件為

式（21）為

初始條件寫為如下形式

有限差分法根據所取項數的不同，其結果的精確程度會有差別，經調試，可以取前70項。同樣做出跨中撓度時程曲線，圖2為理論解與有限差分法數值解的對比。

圖2 c＝4m／s、δ＝0.1跨中撓度時程曲線理論解與有限差分解對比

由圖2可以看出，理論解與有限差分解幾乎重合，兩者計算結果一致。

2.3 ANSYS有限元法數值驗證

利用大型有限元軟件ANSYS，模擬跨中撓度時程曲線［8－9］，初始條件與前文假定一致，命令流如下：

編寫ANSYS命令流如下：

用ANSYS自帶時間歷程后處理功能畫出曲線，如圖3所示。

圖3 c＝4m／s、δ＝t／s跨中撓度時程曲線（ANSYS解）

由圖3看出ANSYS模擬曲線走勢與理論解基本一致。

3 參數分析

前文分析可知，本文方法得到的理論解是可靠的，現在利用理論解分析梁的非均勻系數和車速變化對時程曲線的影響。

1）速度c不變，非均勻系數δ變化的情況如圖4所示。

隨著非均勻系數的增大，跨中撓度最大值逐漸減小，但是曲線走勢基本一致，最大撓度均出現在相同的時間節(jié)點。

圖4 c＝4m／s對應不同δ的跨中撓度時程曲線

圖5 δ＝0.1時對應不同速度c跨中撓度時程曲線

2）非均勻系數δ不變，速度c變化的情況，時程曲線如圖5所示。

增大勻速移動的速度，跨中撓度最大值先增大后減小，且振動情況有變化，可將速度c＝0.1 m／s的移動常力近似看作靜力作用。當速度較小時，最大撓度出現在中點時刻附近，隨著速度增大，最大撓度出現的時間后延，當速度超過5m／s后，最大撓度在車輛駛離橋梁時出現。

4 結論

1）研究了等高度矩形變截面梁在移動車輛作用下的響應問題，較詳細地給出了系統(tǒng)的振動控制方程和模態(tài)函數的推導計算過程，得出了理論解答，并用有限差分法和ANSYS有限元法進行數值驗證，得到了較好的結果。

2）討論了非均勻系數、車輛行駛速度c等參數變化對系統(tǒng)振動的影響。

速度c保持不變，當非均勻系數δ逐漸增大時，跨中撓度的最大值逐漸減小，但是最大撓度均出現在相同的時間節(jié)點；非均勻系數δ保持不變，當車輛荷載行駛速度逐漸增大時，梁的跨中撓度最大值先增大后減小，且跨中撓度最大值出現的時間逐漸后延。當車輛以較小的速度（本文算例速度＜2m／s）通過橋梁時，跨中撓度最大值出現在中點時刻附近，當車輛以較大速度（本文算例速度＞5m／s）駛過橋梁，當車輛駛離橋梁后，跨中撓度才出現最大值。

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