王立超

一、知識(shí)點(diǎn)解讀

1.函數(shù)的零點(diǎn)

（1）函數(shù)零點(diǎn)的定義：對(duì)于函數(shù)y=f（x），我們把使f（x）=O的實(shí)數(shù)r叫做函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)。（2）幾個(gè)等價(jià)關(guān)系：方程f（x）=0有實(shí)數(shù)根<=>函數(shù)y=f（x）的圖像與z軸有交點(diǎn)<=>函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)。（3）函數(shù)零點(diǎn)的判斷（零點(diǎn)存在性定理）：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）·f（b）<0.那么函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈（a，b），使得f（c）=O，這個(gè)c也就是方程f（x）=0的根。

2.二次方程的實(shí)根分布及條件

（l）方程f（x）=0的兩根中一根比r大，另一根比r小<=>a·f（r）（檢驗(yàn)）或（檢驗(yàn)），檢驗(yàn)另一根在（p，q）內(nèi)。（5）方程f（x）=0兩根中的一根小于p，另一根大于

3.二分法求方程的近似解

（l）二分法的定義：對(duì)于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過(guò)不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法。（2）給定精確度ε，用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟如下：①確定區(qū)間[a，b]，驗(yàn)證，給定精確度②求區(qū)間（a，b）的中點(diǎn)c。③計(jì)算，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；若，則令b=c（此時(shí)零點(diǎn)則令此時(shí)零點(diǎn)。④判斷是否達(dá)到精確度e，即若，則得到零點(diǎn)近似值a（或b）；否則重復(fù)②③④。

4.常見(jiàn)的函數(shù)模型

（l）一次函數(shù)模型：為常數(shù).k≠o）。（2）反比例函數(shù)模型：常數(shù)，k≠O）。（3）二次函數(shù)模型：為常數(shù)，a≠0）。（4）指數(shù)函數(shù)模型：為常數(shù)，（5）對(duì)數(shù)函教模型：為常數(shù)，。（6）冪函數(shù)模型：為常數(shù)，a≠0，n≠1）。（7）分段函數(shù)模型：這個(gè)模型實(shí)際是以上兩種或多種模型的綜合，因此應(yīng)用上分廣泛。（8）函數(shù)模型。

5.幾類(lèi)不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型及其增長(zhǎng)差異

分別作出函數(shù)在第一象限的圖像，如圖1所示。

函數(shù)剛開(kāi)始增長(zhǎng)得最快，隨后增長(zhǎng)的速度越來(lái)越慢；

函數(shù)剛開(kāi)始增長(zhǎng)得較慢，隨后增長(zhǎng)的速度越來(lái)越快；

函數(shù)增長(zhǎng)的速度也是越來(lái)越快，但越來(lái)越不如增長(zhǎng)得快。

函數(shù)和的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)（2，4）和（4，16）。

當(dāng)x∈（2，4）時(shí)，，當(dāng)x∈（0，2）U（4，+∞時(shí)，。所以當(dāng)x>4時(shí)，

一般地，在區(qū)間（O，+∞）上，盡管函數(shù)和都是增函數(shù)，但它們的增長(zhǎng)速度不同，而且不在同一個(gè)“檔次”上。隨著x的增大，的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，會(huì)超過(guò)并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于（n>O）的增長(zhǎng)速度，而的增長(zhǎng)速度則會(huì)越來(lái)越慢，因此，總會(huì)存在一個(gè)x。，使得當(dāng)x>x。時(shí)，就有。這一結(jié)論充分體現(xiàn)了指數(shù)函數(shù)的爆炸式增長(zhǎng)。

二、高考題型分析

1.函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷

判斷函數(shù)f（x）的零點(diǎn)所在的區(qū)間，依據(jù)零點(diǎn)存在性定理將區(qū)間端點(diǎn)的值代入驗(yàn)證，此法只適用于變號(hào)零點(diǎn)。值得說(shuō)明的是零點(diǎn)存在性定理是充分條件，而并非是必要條件。不易判斷時(shí)也可以畫(huà)圖觀察。

例1 已知函數(shù)在下列區(qū)間中，包含f（x）零點(diǎn)的區(qū)間是（）。

A.（0，1）

B.（1，2）

C.（2，4）

D.（4，+∞）

解：由題意知函數(shù)f（x）在（O，+∞）上為減函數(shù)。

由零點(diǎn)存在性定理，可知函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，4）上必存在零點(diǎn)。

應(yīng)選C。

跟蹤練習(xí)1：對(duì)于函數(shù)，若，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)（）。

A.一定有零點(diǎn)

B.一定沒(méi)有零點(diǎn)

C.可能有兩個(gè)零點(diǎn)

D.至多有一個(gè)零點(diǎn)

提示：判斷二次函數(shù)的零點(diǎn)，也可結(jié)合其圖像進(jìn)行判斷。

由二次函數(shù)的圖像可知，若a，b在二次函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)外側(cè)，則有，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，6）內(nèi)可能有兩個(gè)零點(diǎn)，應(yīng)選C。

2.二分法的應(yīng)用

二分法只適用于變號(hào)零點(diǎn)，二分法是求方程的根的近似值的一種方法。

記憶口訣：定區(qū)間，找中點(diǎn)，中值計(jì)算兩邊看，同號(hào)去，異號(hào)算，零點(diǎn)落在異號(hào)間。周而復(fù)始怎么辦？精確度上來(lái)判斷。

例2 設(shè)函數(shù)f（x）的零點(diǎn)為的零點(diǎn)為，若，則函數(shù)f（x）的解析式為（）。

解：先確定選項(xiàng)A、B、C、D中的零點(diǎn)為x1，再利用二分法可求得。

選項(xiàng)A中，x1=l；選項(xiàng)B中，x2=O；選項(xiàng)C中，選項(xiàng)D中，

因?yàn)間（1）=4+2-2>0，g（O）=1-2<0，，所以，應(yīng)選D。

跟蹤練習(xí)2：函數(shù)的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法計(jì)算，得數(shù)據(jù)如表1所示，那么方程f（x）=O的一個(gè)最接近的近似根為（）。

A.1.2

B.l.3

C.1.4

D.1.5

提示：由表1找出最大的零點(diǎn)區(qū)間即可。

由零點(diǎn)存在性定理知，最接近的近似根為1.4。應(yīng)選C。

3.方程實(shí)根分布問(wèn)題

研究一元二次方程的區(qū)間根，一般情況下需要從以下三個(gè)方面考慮：（l）一元二次方程根的判別式；（2）對(duì)應(yīng)二次函數(shù)區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)；（3）對(duì)應(yīng)二次函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間端點(diǎn)的位置關(guān)系。

例3 若直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)P，Q滿(mǎn)足條件：①P，Q都在函數(shù)y=f（x）的圖像上，②P，Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則稱(chēng)（P，Q）是函數(shù)y=f（x）的一個(gè)“伙伴點(diǎn)組”（點(diǎn)組（P，Q）與（Q，P）看作同一個(gè)“伙伴點(diǎn)組”）。已知函數(shù)有兩個(gè)“伙伴點(diǎn)組”，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______。