金少華，趙旋，王東

（河北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，天津300401）

非齊次樹(shù)上馬氏雙鏈的一個(gè)強(qiáng)極限定理

金少華，趙旋，王東

（河北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，天津300401）

樹(shù)指標(biāo)隨機(jī)過(guò)程已成為近年發(fā)展起來(lái)的概率論的研究方向之一.強(qiáng)極限定理一直是國(guó)際概率論界研究的中心課題之一.通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)姆秦?fù)鞅，將Doob鞅收斂定理應(yīng)用于幾乎處處收斂的研究，研究給出了一類(lèi)非齊次樹(shù)上馬氏雙鏈的一個(gè)強(qiáng)極限定理.

非齊次樹(shù)；鞅；馬氏雙鏈；強(qiáng)極限定理

1 前言

樹(shù)指標(biāo)隨機(jī)過(guò)程已成為近年發(fā)展起來(lái)的概率論的研究方向之一.強(qiáng)大數(shù)定律一直是國(guó)際概率論界研究的中心課題之一.文獻(xiàn)［1］研究給出了非齊次樹(shù)上馬氏信源的一類(lèi)Shannon-McMillan定理.文獻(xiàn)［2］研究了Cayley樹(shù)指標(biāo)有限狀態(tài)非齊次Markov鏈的強(qiáng)大數(shù)定律和漸近均分割性（AEP）.文獻(xiàn)［3］首先給出了在可列狀態(tài)空間取值的二叉樹(shù)上分枝馬氏鏈定義的離散形式，然后建立了二叉樹(shù)上分枝馬氏鏈的若干強(qiáng)大數(shù)定律，最后研究給出了二叉樹(shù)上有限狀態(tài)分枝馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定律.文獻(xiàn)［4］研究了m根Cayley樹(shù)指標(biāo)m階有限狀態(tài)非齊次Markov鏈的一些極限性質(zhì).文獻(xiàn)［5］研究了Bethe樹(shù)上非齊次馬爾科夫隨機(jī)場(chǎng)的一類(lèi)強(qiáng)偏差定理.文獻(xiàn)［6］研究了一類(lèi)非齊次樹(shù)上連續(xù)狀態(tài)馬氏泛函的若干強(qiáng)偏差定理.文獻(xiàn)［7］研究了馬氏雙鏈函數(shù)的一個(gè)強(qiáng)大數(shù)定律.利用該定律，本文給出了馬氏雙鏈從一個(gè)狀態(tài)到另一個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的極限性質(zhì)，推廣了經(jīng)典馬氏雙鏈的極限性質(zhì).通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)姆秦?fù)鞅，將Doob鞅收斂定理應(yīng)用于幾乎處處收斂的研究，研究給出了一類(lèi)非齊次樹(shù)上m重連續(xù)狀態(tài)非齊次馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定律.

2 定義

設(shè)T是一個(gè)具有根頂點(diǎn)O的無(wú)限樹(shù)，｛Nn，n≥1｝是一正整數(shù)集，如果第n（n≥0）層上的每個(gè)頂點(diǎn)均與第n+1層上的Nn+1個(gè)頂點(diǎn)相鄰，稱(chēng)T為廣義Bethe樹(shù)或廣義Cayley樹(shù).特別地，若對(duì)非負(fù)整數(shù)集N，用模m（m≥2）的同余關(guān)系對(duì)其分類(lèi)得到模m的剩余類(lèi)：

當(dāng)n∈（i）時(shí)，令Nn+1=αi（αi均為正整數(shù)且不同時(shí)為1），i=0，1，2，···，m-1，就得到了一類(lèi)特殊的非齊次樹(shù)Tα0，α1，··，αm-1.

以下恒以T表示樹(shù)Tα0，α1，··，αm-1，以Ln表示第n（n≥0）層上所有頂點(diǎn)的子圖，Tn表示從O頂點(diǎn)到第n層上所有頂點(diǎn)的子圖.s（t）表示頂點(diǎn)t的所有子代的子圖.設(shè)S為有限集，令?=ST，F(xiàn)為?中所有有限維柱集生成的σ代數(shù)，P為可測(cè)空間（?，F(xiàn)）上的概率測(cè)度.

定義2.1設(shè)S1=｛1，2，···，N｝和S2=｛1，2，···，M｝為兩個(gè)可列集，｛Xσ，σ∈T｝為定義在概率空間｛?，F(xiàn)，P｝上取值于S1的隨機(jī)變量族，｛p（x），x∈S1｝是｛Xσ，σ∈T｝的概率分布.｛Yσ，σ∈T｝是定義在概率空間｛?，F(xiàn)，P｝上取值于S2的馬氏鏈，其轉(zhuǎn)移概率分布為｛ln（y1，y2），y1，y2∈S2｝，若｛Xσ，σ∈T｝和｛Yσ，σ∈T｝滿(mǎn)足

則｛Yσ，σ∈T｝為馬氏環(huán)境，｛Xσ，σ∈T｝是馬氏環(huán)境｛Yσ，σ∈T｝中的馬氏鏈，此時(shí)稱(chēng)｛（Xσ，Yσ），σ∈T｝為馬氏雙鏈，轉(zhuǎn)移矩陣為：

3 主要結(jié)果及其證明

引理3.1設(shè)｛（Xσ，Yσ），σ∈T｝為如前定義的非齊次樹(shù)T上的馬氏雙鏈，｛fk（x，θ，y，α）｝是定義在S1×S2×S1×S2上的四元實(shí)值函數(shù)列，λ為一非零常數(shù)，令

則｛tn（λ，ω），σ（XTn，YTn），n≥1｝是一非負(fù)鞅.

定理3.1設(shè)｛（Xσ，Yσ），σ∈T｝為如前定義的非齊次樹(shù)T上的馬氏雙鏈，令

若存在常數(shù)α＞0，使得

則

［1］金少華，盧芳，陳秀引，等.非齊次樹(shù)上馬氏信源的一類(lèi)Shannon-McMillan定理［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2014，30（4）：331-340.

［2］Dong Y，Yang W G，Bai J F.The strong law of large numbers and the Shannon-McMillan theorem for nonhomogeneous Markov chains indexed by a Cayley tree［J］.Statistics and Probability Letters，2011，81：1883-1890.

［3］黨慧，楊衛(wèi)國(guó)，高榮，等.二叉樹(shù)上分枝馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定理［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2013，29（5）：529-535.

［4］Shi Z Y，Yang W G.Some limit properties for the m-th-order non-homogeneous Markov chains indexed by an m rooted Cayley tree［J］.Statistics and Probability Letters，2010，80（15）：1223-1233.

［5］Yang W G.A class of deviation theorems for the random fields associated with non-homogeneous Markov chains indexed by a Bethe tree［J］.Stochastic Analysis and Applications，2012，30（2）：220-237.

［6］金少華，王東，王永生，等.關(guān)于樹(shù)上連續(xù)狀態(tài)馬氏泛函的一類(lèi)強(qiáng)偏差定理［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2014，44（1）：212-217.

［7］宋明珠.馬氏雙鏈函數(shù)的一個(gè)強(qiáng)大數(shù)定律［J］.數(shù)學(xué)雜志，2012，32（6）：1105-1110.

A strong limit theorem about double Markov chains on a non-homogenous tree

Jin Shaohua，Zhao Xuan，Wang Dong

（College of Science，Hebei University of Technology，Tianjin300401，China）

In recent years，tree indexed stochastic process has become one of the hot topics in probability theory.The strong limit theorem has been one of the central issues of the international probability theory.In this paper，through constructing a non-negative martingale and applies Doob′s martingale convergence theorem to the research of a.e.convergence，a strong limit theorem about double Markov chains on a non-homogenous tree is given.

non-homogeneous tree，martingale，double Markov chains，strong limit theorem

O211.4

A

1008-5513（2015）04-0331-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.04.001

2015-03-17.

河北省高等學(xué)校科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)項(xiàng)目（ZD2014051）.

金少華（1965-），博士，教授，研究方向：概率論極限定理.

2010 MSC:60B12