于升杰，李英輝，張裕芳

(上海交通大學(xué) 海洋工程國家重點實驗室，上海 200240)

浮式探測器一般由水下釋放，經(jīng)拖曳穩(wěn)定后保持在水面附近，用于探測和辨別水面目標(biāo)。為了能夠更好的預(yù)報整個拖曳過程中探測器的運動響應(yīng)，通常需要對整個拖曳進(jìn)行仿真計算。眾多學(xué)者采用凝集質(zhì)量法［1-4］、有限差分法［5-6］等方法對拖曳系統(tǒng)進(jìn)行研究，這里結(jié)合了升級拉格朗日法與凝集質(zhì)量法，對浮式探測器的拖曳狀態(tài)進(jìn)行仿真預(yù)測。凝集質(zhì)量法將纜繩分成若干個纜繩單元，每個纜繩單元的質(zhì)量、重力、浮力以及流體阻尼力平均分配到兩端的節(jié)點(質(zhì)量點)，克服了纜繩單元之間耦合存在的一些問題。由于浮式探測器在不斷上浮或下潛的過程中，需要考慮收攬放纜拖曳問題。采用升級拉格拉日方法［7］便于區(qū)分絞車以上的發(fā)生拉伸變化與絞車內(nèi)未發(fā)生拉伸變化的兩部分系纜的質(zhì)點。放纜過程中當(dāng)纜繩節(jié)點的垂向坐標(biāo)高于放纜機(jī)的垂向坐標(biāo)，則該節(jié)點被激活。與此同時，作用在該纜繩單元的阻尼力、重力、浮力等也被激活。收纜過程中當(dāng)纜繩節(jié)點坐標(biāo)低于放纜機(jī)時，則該節(jié)點水平方向運動受到抑制。纜繩單元的兩端節(jié)點處于放纜機(jī)以下時，則該纜繩單元處于抑制狀態(tài)(如圖1 所示)。通過升級拉格朗日法與凝集質(zhì)量法的結(jié)合，能夠較好地描述該物理過程及求解拖纜的構(gòu)型，以及預(yù)測浮式探測器的運動狀態(tài)。

1 升級拉格朗日模型

首先將纜繩上的質(zhì)點P 分成兩個集合 [ Pa，Pw]與 [ Pw，Pb]，則質(zhì)點P 與相應(yīng)的纜段長度s 的對應(yīng)關(guān)系如下:

式中:Pa，Pb為纜的兩端質(zhì)點，sw(t)為首端質(zhì)點Pa到絞車處質(zhì)點Pw的纜段長度，S 為纜繩總長。

將纜繩分為N 個節(jié)點，相鄰節(jié)點之間的零張力纜繩單元長度為l0。如圖2，離散化后的升級拉格朗日模型的放纜過程是逐步激活纜繩單元1 到纜繩單元N－1 的過程，相應(yīng)的收纜過程則是從纜繩單元N－1 到纜繩單元1 的抑制過程，絞車W 內(nèi)部的節(jié)點是處于抑制狀態(tài)。圖中Nf表示已經(jīng)成功激活的節(jié)點數(shù)，Nf∈[ 2，N －1 ]。圖2 中ri為節(jié)點i 的空間坐標(biāo)向量，坐標(biāo)原點o 為t=0 時刻放纜位置在水面的投影點，x 軸正向沿母船運動方向(文中母船沿直線行駛)，y 軸正向指向母船左舷，z 軸正向垂直向上。

圖1 拖曳系統(tǒng)的示意Fig.1 Diagram of towed system

圖2 升級拉格朗日的離散化模型及拖曳系統(tǒng)的坐標(biāo)系Fig.2 Updated Lagrange discrete model and coordinate system of towed system

t=0 時刻，所有纜繩節(jié)點均處在一條垂線上，末端節(jié)點Pb受到的放纜機(jī)的拉力大小與探測器的上浮力的大小相等，沿z 軸負(fù)向。離散化的升級拉格朗日法假定放纜機(jī)內(nèi)部相鄰節(jié)點之間有一個垂向間距δ，通常δ?l0。所以每一個纜繩節(jié)點激活時，纜繩單元都有一個初始零張力長度δ。當(dāng)最后一個纜繩單元的零張力長度達(dá)到l0，則放纜階段結(jié)束。對于已經(jīng)激活的纜繩節(jié)點和纜繩單元則使用以下的運動數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解。

2 變纜長拖曳系統(tǒng)的運動數(shù)學(xué)模型

2.1 運動控制方程

基于凝集質(zhì)量法給出離散化的纜節(jié)點的運動控制方程，根據(jù)上節(jié)中已激活的節(jié)點數(shù)確定拖纜的離散化的控制方程個數(shù)。每段纜的質(zhì)量和作用力均分凝集到兩端的節(jié)點上。

根據(jù)第i 個節(jié)點的力學(xué)平衡分析，纜繩節(jié)點i 的運動控制方程:

式中:Fi為作用在節(jié)點上總的作用力;mi為節(jié)點凝集的質(zhì)量與附加質(zhì)量之和;ΔTi為張力的合力;Bi為浮力;Gi為重力;fi為阻尼力。

1)纜繩節(jié)點i 凝集的總質(zhì)量

式中:ka為纜段的附加質(zhì)量系數(shù);ρ纜為纜繩的密度;A 為纜繩的橫截面面積;為纜繩單元i 張緊的長度。

2)纜繩節(jié)點i 凝集的浮力和重力之和

式中:ρ水為海水的密度;g 為重力加速度常量，其方向沿z 軸的負(fù)方向。采用的是輕質(zhì)柔性圓纜，所以浮力與重力之和接近于零。

3)纜繩在水中運動會產(chǎn)生阻尼力，纜繩節(jié)點i 凝集的流體阻尼力

式中:Ct，Cn分別為節(jié)點i 處纜繩的切向和法向阻尼系數(shù);d 為纜繩的直徑;vti，vni為纜繩節(jié)點i 相對于水流的切向和法向速度;r·i 為節(jié)點i 的運動速度;Vc為海流的速度，假設(shè)海流的速度不隨水深變化而發(fā)生變化，保持大小恒定。

式中:Ti為纜單元i 的張力;E 為纜的彈性模量;纜繩單元的應(yīng)變纜單元的切向量當(dāng)應(yīng)變小于零時，張力值取零。

2.2 邊界條件與初始條件

在進(jìn)行數(shù)值仿真時，為了使控制方程可解，還需要根據(jù)仿真的作業(yè)工況給拖纜的上、下兩端加載相應(yīng)的運動學(xué)或動力學(xué)邊界條件。

1)母船處邊界條件

設(shè)拖曳母船做勻速直航運動，且運動速度為Vs，則母船上絞車處纜的合速度可以表示為

放纜機(jī)處的纜繩單元(如圖2 虛線部分纜段)的張力為

2)探測器處近似邊界條件

忽略探測器的搖擺等因素，可以將探測器視為一個質(zhì)點，對探測器運動近似處理后，其動力邊界條件可表示為

式中:mb為探測器的質(zhì)量與附加質(zhì)量之和;Wb為探測器的水中重量;fb為探測器的流體阻尼力。

式中:Ctb，Cnb分別為探測器的切向和法向的阻尼系數(shù);At，An分別為探測器的水下部分(考慮到探測器上浮到水面時會部分露出水面)在水平面和垂直面上的投影面積。

3)初始條件

為了初始化拖曳系統(tǒng)的仿真運算，設(shè)定以下初始條件:

初始放纜的長度為S0，這里S0＜l0;初始狀態(tài)下纜的張力T0= －Wb，初始狀態(tài)下纜繩受到探測器上浮的拉力，處于垂直張緊狀態(tài)，纜單元的切向量τ 的方向沿z 軸負(fù)方向。

圖3 仿真結(jié)果與實驗結(jié)果比較Fig.3 Comparison of the simulation results with the experimental results

3 數(shù)值仿真與分析

通過數(shù)學(xué)模型的仿真數(shù)據(jù)與已有的實驗數(shù)據(jù)［2］的對比來驗證模型的正確性，仿真工況與實驗工況相同，實驗初始時纜繩垂直靜止于水池，實驗流速為1.543 m/s(3 kn)，拖體水中重量為8.9 N，纜長為3.66 m，直徑為3.05 mm，仿真時間為12 s。

仿真結(jié)果如圖3 所示，仿真結(jié)果與實驗結(jié)果比較吻合。說明了使用凝集質(zhì)量法進(jìn)行數(shù)值模擬是較為可靠的，下面則將該模型應(yīng)用在放纜問題上。

3.1 仿真工況

拖曳系統(tǒng)的參數(shù)為:臍帶纜的長度400 m，纜的直徑d0= 10 mm，水中重量0 N/m，E = 8.6 ×109N/m2，纜單元長度l0=10 m。系纜的切向阻力系數(shù)Ct= 0.023 6 ，法向阻力系數(shù)Cn= 0.38 。流速為Vc= 1.029 m/s，流向與船速方向相反。母船的航行深度控制在水下150 m，浮標(biāo)式探測器的直徑Db= 0.55 m，長度Lb=6 m，質(zhì)量mb=876.5 kg，重心高zg= 1.6 m，加有四片穩(wěn)定翼，上海交通大學(xué)水池實驗得其切向阻力系數(shù)Ctb= 0.001 ，法向阻力系數(shù)Cnb= 0.017 。文中仿真算例選取的工況見表1 所示。

表1 數(shù)值仿真的工況Tab.1 Conditions of numerical simulation

3.2 四種工況下仿真結(jié)果及分析

每種工況下的拖曳系統(tǒng)的仿真均有以下三個階段:1)階段一，由初始放纜狀態(tài)到探測器浮出水面，記時間區(qū)間為t ∈［0，t1］;2)階段二，由探測器浮出水面到放纜結(jié)束，記時間區(qū)間為t ∈(t1，t2］;3)階段三，由放纜結(jié)束到仿真結(jié)束的恒定纜長拖曳階段，記時間區(qū)間為t ∈(t2，T］，仿真時間為T。

1)拖纜的運動構(gòu)型

圖4 中纜繩的構(gòu)型圖選取的時間間隔為25 s，探測器頂端上浮到水面的時間t1分別為102、156、197.5、361.0 s。工況一、二情況下，拖曳探測器上浮到水面(t1時刻)后的一段時間內(nèi)，相同時間間隔內(nèi)拖纜的之間的位移很小，圖中的拖纜的線條較為密集。停止放纜t2時刻，各工況纜繩末端節(jié)點Pb的深度分別為4.04、4.23、5.40、5.75 m。進(jìn)入定纜長拖曳階段纜繩的構(gòu)型穩(wěn)定后，纜繩末端節(jié)點Pb的深度分別為4.71、4.71、26.10、26.10 m。工況三、四下探測器的穩(wěn)定水深要比工況一、二大的多。

2)探測器的速度響應(yīng)

圖5 中，在階段一內(nèi)，工況三、四的垂向速度減小的速度較快，探測器上浮到水面所需的時間t1分別接近工況一、二相應(yīng)時間的二倍。由于t1時刻工況三、四下探測器的垂向速度(上浮速度)降低到接近于零，探測器出水后速度震蕩的幅值較小。而此時工況一、二的垂向速度仍較大，探測器出水后速度震蕩幅值較大。t2時刻放纜結(jié)束，由于探測器在工況一、二下有較大的體積浮于水面上，儲備浮力較大，且拖曳速度較低，拖纜的張緊力較小，所以在纜繩收緊的過程中，垂向速度值有一定幅值的正負(fù)震蕩。探測器在工況三、四情況下較小的體積處于水上，儲備浮力小且拖曳速度大，停止放纜后纜繩張緊力較大，垂向速度值一直保持在負(fù)值內(nèi)震蕩，拖纜很快把探測器拖向水下。t2時刻后的一段時間，恒定纜長拖曳達(dá)到穩(wěn)定階段，探測器的水平速度趨于拖曳母船的速度，垂直速度趨向于零。最后工況一、二情況下探測器穩(wěn)定在水面處，在工況三、四中則被拖纜拉入較深的水下，四種工況下定纜長拖曳階段穩(wěn)定后的探測器均與母船同步運動。

圖5 四種工況下探測器的速度Fig.5 Velocity of detector in four kinds of conditions

4 結(jié) 語

由數(shù)值仿真結(jié)果和分析可以得到以下結(jié)論:

1)由仿真分析可得，在放纜長度相同的情況下，若拖曳速度相同，雖然放纜速度不同，但探測器的最后穩(wěn)定深度相同。

2)對工況一、二和工況三、四分別對比分析，可知在相同的拖曳速度下，放纜速度1.029 m/s(2 kn)時探測器的垂向速度受影響程度比放纜速度1.543 m/s(3 kn)時要嚴(yán)重。

3)同一放纜速度下，拖曳速度為5.144 m/s(10 kn)時探測器的上浮速度較慢，拖曳速度的增加會明顯降低探測器的垂直上浮速度。拖曳速度相對放纜速度越大，探測器經(jīng)歷的水面航行階段越短(或不會上浮到水面)，停止放纜后很快被拉入水下。由于拖曳穩(wěn)定后探測器處于的水深較大，不適合做水面探測。

綜上，在一定拖曳速度范圍內(nèi)，若需要探測器較快上浮到水面，拖曳速度較大時則需要相應(yīng)的增加放纜速度。為了能夠讓探測器最后穩(wěn)定在水面附近，應(yīng)當(dāng)盡可能的降低母船的拖曳速度或適當(dāng)增加放纜長度。通過文中數(shù)學(xué)建模及仿真計算，對真實工況下的放纜拖曳作業(yè)有一定理論指導(dǎo)意義。

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