喻曉今

（華東交通大學(xué)土木建筑學(xué)院，江西 南昌330013）

以簡單的撓曲線來替代較為復(fù)雜者，文獻(xiàn)［1］通過分析簡支梁、懸臂梁和外伸梁在集中力、集中力偶、分布載荷作用下的最大撓度，發(fā)現(xiàn)了簡支梁和外伸梁絕對值最大撓度與對應(yīng)的懸臂梁（置換梁）自由端撓度的同一性，找到了以簡代繁的可能性。文獻(xiàn)［2］給出了簡支梁的比擬梁法（置換法）的轉(zhuǎn)角位移方程和撓度位移方程，適用于簡支梁，并以實例應(yīng)用。文獻(xiàn)［3］推導(dǎo)出簡支梁和懸臂梁的置換法的轉(zhuǎn)角位移方程和撓度位移方程。文獻(xiàn)［4］則以置換法解超靜定連續(xù)梁，以置換法位移方程直接列寫變形協(xié)調(diào)關(guān)系，各型實例說明其良好的適應(yīng)性。完成導(dǎo)出置換法解一端外伸梁的轉(zhuǎn)角位移方程和撓度位移方程的是文獻(xiàn)［5］的工作，這樣，置換法求解梁撓度和轉(zhuǎn)角的問題向另一類簡單支承梁擴(kuò)展。在文獻(xiàn)［6］中，置換法用于解靜定剛架位移。對于鉸支承Γ 形剛架的位移，文獻(xiàn)［7］作了討論。Γ 形剛架支承的進(jìn)一步增加，在文獻(xiàn)［8］里提出了解法。文獻(xiàn)［9］對一個方向無外力的剛架進(jìn)行了置換法討論。而在置換法與它法結(jié)合運用上，文獻(xiàn)［10］有探討。為深化置換法的研究，其位移方程本身性質(zhì)似待揭示。

從梁的撓曲線在其面內(nèi)的幾何圖形的觀察出發(fā)，在任一位置上對撓曲線加入切線作輔助線，并且，一般地作切線的垂線——將該垂線引向梁的有關(guān)邊界點，此邊界點包括支承點和端點等等，構(gòu)成直線、曲線組成的圖形，權(quán)且稱為置換法圖像。對置換法圖像進(jìn)行分析，以平面幾何關(guān)系和撓曲線所表達(dá)的撓度以及其轉(zhuǎn)角為基本變量，建立起它們的等量關(guān)系，是置換法尋求位移方程的方法。前研究所找到的位移方程有撓度方程和轉(zhuǎn)角方程，為了進(jìn)一步落實它們的關(guān)系，需要對其性質(zhì)進(jìn)行深入研究，以下證明一端外伸梁的撓度方程與轉(zhuǎn)角方程的導(dǎo)數(shù)關(guān)系。

1 右端外伸梁置換法位移方程之間關(guān)系

根據(jù)梁的位移的討論，梁的對稱彎曲中，在小變形條件下，梁的撓度與轉(zhuǎn)角是一階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，即有w′(x)=θ(x)，其中:w(x)是撓度；θ(x)是轉(zhuǎn)角；x是梁的橫截面在變形前的軸向位置坐標(biāo)。當(dāng)已經(jīng)求出撓度方程（撓曲線方程）后，只要對撓度方程求關(guān)于自變量x一階導(dǎo)數(shù)，所得函數(shù)便是轉(zhuǎn)角方程。置換法所獲得的位移方程，包括撓度方程和轉(zhuǎn)角方程皆是關(guān)于自變量x的、并存在中間變量的復(fù)合函數(shù)，就是以置換梁自由端撓度、梁長、跨長、外伸端撓度和x等參數(shù)為變量的復(fù)合函數(shù)，此情況提示應(yīng)以復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則來驗證其包含的撓度方程和轉(zhuǎn)角方程的一階導(dǎo)數(shù)關(guān)系。右端外伸梁見圖1.

1.1 右端外伸梁置換法圖像

作任一右端外伸梁置換法圖像見圖2，點劃線ABC代表梁的變形前軸線位置，其與x 軸重合，點劃線ABD為梁軸線變形以后的位置——為明晰而夸大，仍然是淺坦的彈性曲線。x軸原點在梁的左端A處?，F(xiàn)于梁的任一位置、離點A為x處的G點處，向下方引一與y軸平行的線段GH，交撓曲線為H點，其即是梁在x位置的撓度（小變形假設(shè)）。作H點的切線JK，連接J、A兩點，并使線段AJ正交于線JK；同樣，連接K、D兩點，并使線段DK正交于線JK。顯然，線段AJ，DK分別是梁在G處的左、右置換梁自由端的撓度wl(x)，wr(x)（小變形假設(shè)）。同理，離梁的A點為x+Δx處的N點處，向下方引一與y軸平行的線段NQ，交撓曲線為Q點，其即是梁在x+Δx位置的撓度。作Q點的切線RS，連接R、A兩點，并使線段AR正交于線RS；同樣，連接S、D兩點，并使線段DS正交于線RS。顯然，線段AR，DS分別是梁在N 處的左、右置換梁自由端的撓度wl(x+Δx)，wr(x+Δx)。

另外，切線JK、RS的交點為T；線段AR與切線JK的交點為U；線段DK與切線RS的交點為V。

圖1 右端外伸梁Fig.1 Right end overhanging beam

圖2 右端外伸梁置換法圖像Fig.2 Conversion method graph of right end overhanging beam

1.2 右端外伸梁撓度方程、轉(zhuǎn)角方程

在結(jié)構(gòu)一定、荷載一定的條件下，參考文獻(xiàn)［5］給出的右端外伸梁轉(zhuǎn)角方程、撓度方程分別如下

式中：wl(x)表示左置換梁自由端撓度；wr(x)表示右置換梁自由端撓度；l表示跨度；a表示梁外伸部分長度；wC表示外伸端撓度。

式（1）代入式（2）有：

1.3 撓度方程的一階導(dǎo)數(shù)

對式（3）求關(guān)于自變量x一階導(dǎo)數(shù)，得

1.4 左右置換梁撓度關(guān)系的幾何特征

對式（4）中的Ω進(jìn)行分析。借助于置換法圖像，研究的內(nèi)涵。

研讀圖2，看直角三角形TUR，TKV，由于∠RTU=∠VTK（對頂角），故它們相似（三角形中兩角分別相等）。根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得到等式：

由此可得

因為小變形假設(shè)，所有轉(zhuǎn)角都是微小量，并且考慮撓曲線的連續(xù)光滑性質(zhì)，當(dāng)Δx趨近于零時，也即N點無限地靠近G點時，Q點無限靠近H點，并與T點逐漸合為一點。與此同時，U點趨近于J點；V點趨近于S點。AJ≈AU，DV≈DS（等價無窮小），就是

將式（6）、（7）代入式（5），得：TK(AR-AJ)≈RT(DK-DS)。

再顧及這些線段的物理意義，上式即是

1.5 撓度轉(zhuǎn)角方程的關(guān)系

式（8）約等號兩邊同除以(l+a)Δx因子，得：

顯然，式（9）中約等號兩邊的各自第二個因子是各自函數(shù)增量與自變量的比值，依照導(dǎo)數(shù)定義，當(dāng)Δx趨于零時下式成立：

就是：

移項得：

2 左端外伸梁置換法位移方程之間關(guān)系

左端外伸梁見圖3.以下討論步驟完全與右端外伸梁的相同，為節(jié)省篇幅，采用縮略型語匯，詳細(xì)邏輯關(guān)系參看上述內(nèi)容。

2.1 左端外伸梁置換法圖像

圖3 左端外伸梁Fig.3 Left end overhanging beam

圖4 左端外伸梁置換法圖像Fig.4 Conversion method graph of right end overhanging beam

作左端外伸梁置換法圖像，見圖4.不失一般性，點劃線ABC代表梁的變形前軸線位置，其與x軸重合，點劃線ABD為梁軸線變形以后的位置，仍然是淺坦的彈性曲線。x軸原點在梁的左端C處?，F(xiàn)于梁的任一位置、離點C為x處的G點處，向上方引一與y軸平行的線段GH，交撓曲線為H點，其即是梁在x位置的撓度。作H點的切線JK，連接J、A兩點，并使線段AJ正交于線JK；同樣，連接K、D兩點，并使線段DK正交于線JK。顯然，線段DK、AJ分別是梁在G處的左、右置換梁自由端的撓度wl(x)，wr(x)。同理，離梁的C點為x+Δx處的N點處，向上方引一與y軸平行的線段NQ，交撓曲線為Q點，其即是梁在x+Δx位置的撓度。作Q點的切線RS，連接R，A兩點，并使線段AR正交于線RS；同樣，連接S，D兩點，并使線段DS正交于線RS。顯然，線段DS、AR分別是梁在N處的左、右置換梁自由端的撓度wl(x+Δx)、wr(x+Δx)。

另外，切線JK，RS的交點為T；線段AJ與切線RS的交點為U；線段DS與切線JK的交點為V。

2.2 左端外伸梁撓度方程、轉(zhuǎn)角方程

［5］給出的左端外伸梁轉(zhuǎn)角方程、撓度方程分別如下：

式中符號意義同前。

2.3 撓度方程的一階導(dǎo)數(shù)

將式（10）代入式（11），再對式中變量求關(guān)于x一階導(dǎo)數(shù)，得：

2.4 左右置換梁撓度關(guān)系的幾何特征

對式（12）中的Ω進(jìn)行分析。研讀圖4，看直角三角形TUJ，TSV，由于∠JTU=∠VTS，故它們相似。得到等式：

由此可得：

當(dāng)Δx趨近于零時，也即N點無限地靠近G點時，Q點無限靠近H點，并與T點逐漸合為一點。與此同時，U點趨近于R點；V點趨近于K點。AR≈AU，DV≈DK，就是

將式（14），（15）代入式（13），得：

上式即是：

2.5 撓度轉(zhuǎn)角方程的關(guān)系

式（16）約等號兩邊同除以(l+a)Δx因子，得：

顯然，式（17）當(dāng)Δx趨于零時使下式成立

3 結(jié)論

置換法位移方程由自變量x、中間變量wl(x)和中間變量wr(x)等等構(gòu)成，是一組關(guān)于x的復(fù)合函數(shù)。所述復(fù)合函數(shù)完全適應(yīng)導(dǎo)數(shù)運算的條件和要求。

1）定義的置換梁撓度導(dǎo)數(shù)的協(xié)和為零。

2）一端外伸梁的置換法撓度方程、轉(zhuǎn)角方程完全符合一階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，即w′=θ，故它們也完全保有原梁撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程的關(guān)系性質(zhì)。一端外伸梁的置換法位移方程準(zhǔn)確可靠，可以應(yīng)用于理論分析和工程實踐。

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