谷建偉，李方健，劉 洋，李志濤，張以根

（1.中國石油大學石油工程學院，山東青島266580；2.中石化勝利油田分公司勘探開發(fā)研究院，山東東營257015）

一維井地電位模型建立與求解

谷建偉1，李方健1，劉 洋1，李志濤1，張以根2

（1.中國石油大學石油工程學院，山東青島266580；2.中石化勝利油田分公司勘探開發(fā)研究院，山東東營257015）

井地電位法是研究水驅(qū)前緣以及剩余油分布較為實用的方法。首先建立一維油水兩相滲流方程，基于電位與含水飽和度模型將滲流方程與電位微分方程相耦合，形成一維井地電位模型。對模型采用有限差分法，隱式求壓力，顯式求飽和度，再利用含水飽和度與電導率的關(guān)系，建立形成電位微分方程，隱式求電位；在此基礎(chǔ)上建立計算機求解模型。對一維水驅(qū)油過程進行模擬計算，通過數(shù)值求解，模擬水驅(qū)油的完整過程，得到電位分布與含水飽和度變化的相關(guān)關(guān)系。該方法為井地電位法后期反演油水分布提供理論支持。

井地電位；有限差分法；剩余油；電位方程；方程耦合

井地電位法研究剩余油分布、識別油水通道具有實施容易、對地層無損害、分辨率高、穿透率大、實惠經(jīng)濟等優(yōu)點。該方法是在地表向井中套管施加一大功率電流，電流通過水泥膠結(jié)井段、無水泥膠結(jié)井段以及射孔井段非均勻地流向地層（漏電流），從而在非均勻變化的地層中形成非均勻電場，通過測量地表電位分布研究地下介質(zhì)的電阻率分布［1］。目前國內(nèi)外學者主要研究了井地電位法在測井方面的應(yīng)用，還有部分學者以物理模擬形式研究了井地電位在剩余油描述中的應(yīng)用。章鈺［2］針對垂直有限源，利用不完全共軛梯度法進行了三維井地電位正演模擬研究；劉海飛等［3］給出了三維空間任意線源且電導率連續(xù)變化的井地電位三維有限元數(shù)值模擬方法；Su等［4］進行了井地以及井間聯(lián)合數(shù)值模擬研究的初步探討；Lines等［5］建立了三維有限差分方程用于解決三維散射問題，但數(shù)值模擬結(jié)果并未展示；李黎等［6］針對水平管狀注水裂隙進行了井地電位異常數(shù)值模擬與分析；柯敢攀等［7］利用三維有限元法實現(xiàn)了垂直有限元下三維地下介質(zhì)電場的正反演研究；Sill等［8］利用井地電位法實現(xiàn)注水前緣推進方向判斷；王志剛等［9］進行了井地電位法三維物理模擬實驗，直接驗證了井地電位法能夠有效監(jiān)測油水通道和剩余油分布。綜上所述，很多學者完成了井地電位三維正演模擬研究，且研究方法一致，井地電位模型主要用于測井領(lǐng)域。筆者通過滲流方程與總電位微分方程耦合闡述電位分布與剩余油飽和度的關(guān)系。

1 井地電位方程的建立

以一維地層為例，一維測量系統(tǒng)示意圖如圖1所示。其中A表示供電電極，B表示回流電極。C、D為測量電極用于記錄不同位置的地層電位。

圖1 一維測量系統(tǒng)示意圖Fig.1 Sketch map of one-dimensional measurement system

首先討論油水兩相滲流模型的建立，考慮到源匯項則油層條件下質(zhì)量守恒形式的數(shù)學模型的一般式為

式中，l=o，w分別表示油相和水相；qlv=ql/ρlsc為源匯項，代表地面0℃、0.1 MPa條件下單位體積巖石中注入或采出l相流體的體積流量，m3/s；ρlsc為地面0℃、0.1 MPa條件下l相流體密度，kg/m3；B為流體體積系數(shù)；k為油藏多孔介質(zhì)絕對滲透率，m2；Krl為l相流體相對滲透率，m2；μ為流體黏度，Pa·s；p為流體壓力，MPa；ρ為流體密度，kg/m3；g為重力加速度，m/s2；D為標高，由某一基準面算起的垂直方向方向深度（海拔），m；φ為孔隙度；S為流體飽和度；t為時間，s。

根據(jù)阿爾奇公式，地層電阻率與儲層孔隙度、含水飽和度以及地層水電阻率的關(guān)系為

式中，R為地層電阻率，Ω·m；a為比例系數(shù)，取值0.6～1.5；m為孔隙度指數(shù)，取值1.2～2.0；n′為飽和度指數(shù)，這是一個由實驗得到的因子，一般取值為2；Rw為充填于孔隙中水的電阻率，Ω·m。

根據(jù)電場強度、電位、電流以及電導率的相關(guān)關(guān)系推導出電位微分方程為

式中，E為電場強度，V/m；U為電位，V；j為電流密度，A/m2；Ω為被包含于曲面τ中的區(qū)域；L為一線電流源；I為電流，A；σ為電導率，s/m；Φt為總電位，V。

聯(lián)立式（2）和式（7），建立含水飽和度與地層電位的相關(guān)聯(lián)系，式（1）與式（7）耦合得到油水兩相井地電位數(shù)學模型一般式。將三維模型簡化至一維并假設(shè)：巖石不可壓縮；不考慮重力作用的影響；不考慮彈性作用；油水黏度為常數(shù)；不考慮毛管力；油水互不相溶均符合達西滲流；供電電極電流均勻，沒有奇異性。

建立一維井地電位基本模型為

模型中存在4 個未知量分別為壓力、含水飽和度、含油飽和度以及地層電位，因此還需要1個輔助方程：

初始條件為0≤x≤l時，

邊界條件為t≥0時，

式（8）～（17）組成了一維油水兩相井地電位問題的完整數(shù)學模型。通過有限差分法數(shù)值求解，數(shù)值模擬計算結(jié)果中包含每個位置的壓力、飽和度、電位等值，可以清晰地看到這些量隨時間的變化和分布。

2 差分方程的建立

在油藏滲流領(lǐng)域，有限差分法優(yōu)點最為突出：實用、方便、簡單、準確［8］。本文中選擇此法求解。通過隱式求壓力、顯示求飽和度、隱式求電位3個步驟，按順序建立差分方程組并進行求解。首先隱式求壓力，即將式（8）～（10）進行隱式差分。假設(shè)一維網(wǎng)格采用網(wǎng)格間距相同、大小相同的塊狀網(wǎng)格，并且注水井定義在i=1處的網(wǎng)格，生產(chǎn)井定義在i=n處的網(wǎng)格。

隱式差分結(jié)果為

式中，λ為總流動系數(shù)。

經(jīng)過非線性系數(shù)線性化顯式處理，系數(shù)取上游權(quán)等中間參數(shù)的處理，最終可得三對角矩陣。通過托馬斯算法求解矩陣得到每個網(wǎng)格n+1時刻的壓力值。然后顯示求飽和度，將已求得的n+1時刻的壓力值代入式（8）～（10）中得到只含飽和度Swin+1一個未知量的方程，將式（8）～（10）進行兩次中心差分，即

由于每個方程只有一個待求量，因此很容易解得每個網(wǎng)格n+1時刻飽和度的值。

可得矩陣方程為

最后使用編制的計算機程序完成一維井地電位模型的設(shè)計與計算。通過模型建立與求解完成地下介質(zhì)電場正演計算，即已知地層含水飽和度、地層水礦化度、孔隙度等地層電阻率相關(guān)參數(shù)，求解地表電位數(shù)據(jù)。現(xiàn)場實際應(yīng)用井地電位法反演，通過測量地表電位數(shù)據(jù)反演地下目標層電阻率。實際應(yīng)用中可利用本文中模型反推，在求得目標層電阻率后，利用阿爾奇公式反演儲層處含水飽和度。

3 一維巖心電位計算實例

將巖心視為一維地層，并劃分為50個網(wǎng)格，網(wǎng)格步長Δx為2.0 cm；以第一個網(wǎng)格為注水端，最后一個網(wǎng)格為產(chǎn)出端。基礎(chǔ)參數(shù)：巖心長L為1 m，孔隙度φ為0.3，供電電流I為5 A，初始電位U0取0 mV，水的電導率σw取1250 μs/cm，原油黏度μo為3 mPa·s，地層滲透率k為1 μm2，截面積A為10 cm2，出口端體積流量qt為0.1 cm3/s，時間步長Δt取值2 s，束縛水飽和度Swc為0.2，出口端壓力pn為 0.1 MPa，水的黏度μw為1 mPa·s。為了驗證方法的正確性，首先計算一維巖心水驅(qū)油的壓力和含水飽和度分布，結(jié)果如圖2所示。

圖2 不同時刻壓力與含水飽和度分布Fig.2 Pressure and water saturation distribution at different moments

從圖2可以看出，水驅(qū)前緣不斷向前推進，每個網(wǎng)格逐漸被水飽和；驅(qū)替過程為剛性水驅(qū)，模擬計算的壓力和含水飽和度特征與理論研究一致，初步驗證了模型的正確性。

如圖3所示，由于電流源位于注水井處，因此距注水井越遠電位越小。從圖3還可以看出電導率分布曲線與圖2中含水飽和度分布曲線始終同步，推進速度相同，因為含水飽和度與地層電阻率滿足式（2），圖3中t=200 s和t=800 s時，從電位及電導率對應(yīng)關(guān)系可以看出在水驅(qū)前緣位置電位曲線斜率驟變，出現(xiàn)這樣差異的原因是水驅(qū)到的地方與未驅(qū)到的地方含水飽和度差異比較明顯，導致地層電阻率、電位在水驅(qū)前緣兩側(cè)出現(xiàn)較大差異?？梢岳眠@一特性通過監(jiān)測電位分布識別油水通道，確定注入水在儲層中的分布，為評價驅(qū)替效果及剩余油分布提供依據(jù)。

圖3 不同時刻網(wǎng)格電導率與電位關(guān)系曲線Fig.3 Grid conductivity and potential curve at different moments

前緣突破后電導率與電位關(guān)系曲線如圖4所示。通過圖4可以看出，當注入水突破產(chǎn)出端后，飽和度分布差異導致電導率差異，但差異逐漸減小。實際油田開發(fā)過程中，由于地層的非均質(zhì)性，地層中剩余油分布差異較大，進而引起電導率和電位分布變化，利用電導率即可反求地層中油水分布變化。

圖4 前緣突破后電導率與電位關(guān)系曲線Fig.4 Conductivity and potential curves after breaking waterfood

實際油田開發(fā)過程中要采用三維井地電位模型進行演算。三維井地電位模型在油水飽和度分布及注水優(yōu)勢流動通道描述中的應(yīng)用還有待研究。該一維井地電位模型主旨在于揭示地下油水分布與電位的密切相關(guān)性，可以用于室內(nèi)巖心驅(qū)替過程中油水分布的直接檢測。在此基礎(chǔ)上推廣可以用于指導三維情況下的油水分布解釋。

4 結(jié)束語

在油水兩相滲流模型的基礎(chǔ)上，通過阿爾奇公式將滲流方程與電位微分方程相耦合，成功建立了井地電位模型。模型采用有限差分法，隱式求壓力，顯式求飽和度，再隱式求電位，建立了計算機求解模型并完成一維水驅(qū)油過程模擬計算。通過算例驗證模型能較準確地將飽和度與電位相聯(lián)系，并得到兩者之間關(guān)聯(lián)關(guān)系，利用該關(guān)系可以識別油水前緣，分析地層中油水分布特征，為剩余油挖潛、提高采收率和井網(wǎng)優(yōu)化提供指導。

［1］ 王賢君，李建閣，馮立.應(yīng)用井地電位測量技術(shù)判斷油層高滲透帶方向［J］.中國石油大學學報（自然科學版），2006，30（5）：68-70. WANG Xianjun，LI Jiange，F(xiàn)ENG Li.Orientation determination of high permeability zone with borehole-to-surface potentiometric method［J］.Journal of China University of Petroleum（Edition of Natural Science），2006，30（5）：68-70.

［2］ 章鈺.三維井-地電位測井技術(shù)正演模擬研究［D］.青島：中國海洋大學，2009：1-15. ZHANG Yu.The forward modeling of three-dimensional borehole-to-surface logging technology［D］.Qingdao：O-cean University of China，2009：1-15.

［3］ 劉海飛，陳德鵬，戴前偉，等.連續(xù)電性介質(zhì)線源井-地電位三維有限元數(shù)值模擬［J］.桂林理工大學學報，2011，31（1）：29-31. LIU Haifei，CHEN Depeng，DAI Qianwei，et al.3D FEM modeling of borehole-surface potential with line current source in semi-underground space of continuous variation of conductivity［J］.Journal of Guilin University of Technology，2011，31（1）：29-31.

［4］ SU Benyu，YASUHIRO Fujimitsu，XU Jingling.A model study of residual oil distribution jointly using crosswell and borehole-surface electric potential methods［J］.Applied Geophysics，2012，9（1）：19-26.

［5］ LINES L R，JONES F W.The perturbation of alternating geomagnetic fields by three-dimensional island structures［J］.Geophys J Roy Astr Soc，1973，32（2）：133-154.

［6］ 李黎，師學明，張金成，等.水平管狀注水裂隙的井-地電位異常數(shù)值模擬與分析［J］.工程地球物理學報，2011，8（1）：73-74. LI Li，SHI Xueming，ZHANG Jincheng，et al.Numeri-cal modeling of well-ground potential anomaly for horizontal tubular crack model［J］.Chinese Journal of Engineering Geophysics，2011，8（1）：73-74.

［7］ 柯敢攀，黃清華.井地電位法的三維正反演研究［J］.北京大學學報，2009，45（2）：264-266. KE Ganpan，HUANG Qinghua.3D forward and inversion problems of borehole-to-surface electrical method［J］. Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis，2009，45（2）：264-266.

［8］ SILL W R，WARDS S H.Electrical energizing of well casings［R］.Roosevelt Hot Springs：Univ of Utah Dept of Geol and Geophys，1978.

［9］ 王志剛，何展翔，魏文博，等.井地電法三維物理模型試驗［J］.石油地球物理勘探，2005，40（5）：595-597. WANG Zhigang，HE Zhanxiang，WEI Wenbo，et al.3-D physical model experiments of well-to-ground electrical survey［J］.Oil Geophysical Prospecting，2005，40（5）：595-597.

［10］ 李淑霞，谷建偉.油藏數(shù)值?；A(chǔ)［M］.東營：中國石油大學出版社，2012：134-178.

（編輯 李志芬）

Establishing and solving of a one-dimensional well-ground potential model

GU Jianwei1，LI Fangjian1，LIU Yang1，LI Zhitao1，ZHANG Yigen2
（1.School of Petroleum Engineering in China University of Petroleum，Qingdao 266580，China；2.Institute of Petroleum Exploration and Development，Shengli Oilfield Branch Company，SINOPEC，Dongying 257015，China）

The so-called well-ground potential method is a practical approach to study water flooding front and remaining oil distribution in oil reservoirs.In this paper，based on a one-dimensional equation of oil-water two-phase flow，a relationship between potential and water saturation in coupling with the flow and the electric differentiation equations was established to figure out a one-dimensional well-ground potential model.A finite difference approach was used to solve the model，in which the pressure distribution was computed implicitly，while the fluid saturation distribution was solved explicitly.The potential distribution was calculated implicitly based on the electric differentiation equation.The numerical model can be used to simulate the whole process of water flooding and reveal the variation of potential with the water saturation.The model can provide a useful theoretical basis for the inversion of oil and water distribution from potential field during water-flooding process.

well-ground potential；finite difference method；remaining oil；potential equation；coupled equations

TE 357.7

A

谷建偉，李方健，劉洋，等.一維井地電位模型建立與求解［J］.中國石油大學學報（自然科學版），2015，39（6）：99-103.

GU Jianwei，LI Fangjian，LIU Yang，et al.Establishing and solving of a one-dimensional well-ground potential model［J］. Journal of China University of Petroleum（Edition of Natural Science），2015，39（6）：99-103.

1673-5005（2015）06-0099-05

10.3969/j.issn.1673-5005.2015.06.013

2014-10-30

國家重大油氣專項（ZX2011-05009-003）；山東省自然科學基金項目（ZR2011EL034）

谷建偉（1971-），男，教授，博士，研究方向為油氣田開發(fā)。E-mail：gjwLcp@163.com。