梁曉東 李雙龍 汪忠明 王傳甲

(1.奧意建筑工程設(shè)計(jì)有限公司，廣東 深圳 518031;2.合肥工業(yè)大學(xué)土木與水利工程學(xué)院，安徽 合肥 230009)

0 引言

阻尼是用來描述結(jié)構(gòu)在振動過程中能量耗散特征的參數(shù)，是影響結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)的重要因素之一。在地震反應(yīng)時程中，有足夠的阻尼存在，結(jié)構(gòu)就能吸收較多的地震動能量，可以有效地減小振幅和應(yīng)力，改善結(jié)構(gòu)的振動狀況?；趯ψ枘岬恼J(rèn)識，國內(nèi)外學(xué)者們提出了不同的阻尼模型［1-5］，并對阻尼模型進(jìn)行了一些分析研究與擴(kuò)展［6，7］。這類阻尼模型基本上可以分為兩類，一類基于阻尼的物理過程描述，每種假設(shè)對應(yīng)著一種具體的阻尼現(xiàn)象;一類著重?cái)?shù)學(xué)處理上的方便，并不跟某種具體的阻尼物理過程相對應(yīng)。鑒于結(jié)構(gòu)在地震反應(yīng)分析中阻尼機(jī)理的復(fù)雜性，沒有哪種阻尼理論能涵蓋和解釋結(jié)構(gòu)動力分析中阻尼耗能的所有物理過程。人們對結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析主要是為了獲知結(jié)構(gòu)反應(yīng)量，因此在工程分析中常選取數(shù)學(xué)處理上比較方便的阻尼模型，根據(jù)與結(jié)構(gòu)反應(yīng)物理量等效的原則來確定阻尼參數(shù)。

在建筑結(jié)構(gòu)的動力分析中，出于使用方便，人們常使用正交阻尼，而非正交阻尼因?yàn)橛?jì)算較為麻煩用得較少。最一般的正交阻尼矩陣是Caughey 阻尼矩陣［4］，Caughey 阻尼在滿足與振型正交的同時，可以指定系統(tǒng)的j 個(j=1～n)振型的阻尼比，其中n 為體系的自由度。當(dāng)r=2，即指定兩個振型的阻尼比時，就是Rayleigh 阻尼。盡管Caughey 經(jīng)典阻尼矩陣使得指定任意階振型的阻尼系數(shù)成為可能，但是Caughey 阻尼在數(shù)值上是具有病態(tài)條件的，因?yàn)橄禂?shù)可能會相差幾個數(shù)量級，而且，如果在Caughey級數(shù)中包含兩項(xiàng)以上時，盡管k 是帶狀矩陣，對于集中質(zhì)量體系，m是對角矩陣，但c 將是滿陣，這樣會極大地增加大型體系分析的計(jì)算代價。而Rayleigh 阻尼模型雖然實(shí)施起來方便，但是本身也有很多缺陷:首先，從物理上講，剛度比例阻尼部分βK 從直覺上很容易接受，因?yàn)樗梢杂脕砟M層間變形所產(chǎn)生的能量耗散，但是質(zhì)量比例阻尼αM 則很難理解，因?yàn)橛盟鼇砟M的空氣阻尼在大多數(shù)結(jié)構(gòu)中很小，可以忽略不計(jì)。

其次，在考慮的結(jié)構(gòu)反應(yīng)中，一般取較低的兩階頻率和阻尼比來確定阻尼常數(shù)α 和β，用這種方法確定的阻尼常數(shù)，只能保證兩個振型的阻尼比為一個指定經(jīng)驗(yàn)值，難以保證其他振型的阻尼比也為同一個值。當(dāng)用以上方法得出的計(jì)算阻尼比小于指定值時，則計(jì)算結(jié)果對振型阻尼估計(jì)不足，計(jì)算效應(yīng)偏大，可能導(dǎo)致設(shè)計(jì)偏保守;相反，當(dāng)用此法得出的計(jì)算阻尼比大于指定值時，則計(jì)算結(jié)果對振型阻尼估計(jì)過大，計(jì)算效應(yīng)偏小，可能導(dǎo)致設(shè)計(jì)偏不安全。

最后，在通常的大型動力時程計(jì)算中，由于剛度退化引起的數(shù)值不收斂，因此常采用僅設(shè)α 系數(shù)的策略來算Rayleigh 阻尼，這樣實(shí)際上不僅物理上解釋不通，而且得出來的值，會使設(shè)計(jì)偏保守，提高成本。

目前，公認(rèn)可靠的結(jié)論是上部結(jié)構(gòu)體系具有在相當(dāng)寬的頻率范圍內(nèi)模態(tài)阻尼比不變的特性，而且偏于保守的，結(jié)構(gòu)的下部阻尼不予考慮，我國規(guī)范規(guī)定，一般混凝土結(jié)構(gòu)為0.05。

隨著基于性能的抗震設(shè)計(jì)方法的提出，對結(jié)構(gòu)在罕遇地震作用下的彈塑性時程分析的清楚把握必不可少，而ABAQUS 以其強(qiáng)健的非線性計(jì)算能力、廣泛的模擬性能和多種靈活的接口，在科學(xué)研究和工程領(lǐng)域得到了廣泛的開發(fā)應(yīng)用。

本文通過振型向量構(gòu)造適當(dāng)?shù)淖枘峋仃?，使結(jié)構(gòu)多階振型的阻尼比可以為指定值，對ABAQUS 進(jìn)行二次開發(fā)，利用編制的子程序?qū)⒌刃ё枘崃φ_地施加在結(jié)構(gòu)上，并計(jì)算比較了一工程結(jié)構(gòu)考慮多階振型阻尼比的層間位移角和基底剪力結(jié)果。

1 阻尼矩陣構(gòu)造

當(dāng)包括阻尼時，結(jié)構(gòu)的動力學(xué)方程［8］為:

式中:u——節(jié)點(diǎn)位移矢量;

m——質(zhì)量矩陣;

c——阻尼矩陣;

k——剛度矩陣;

p(t)——隨時間變化的外力矢量函數(shù)。

將節(jié)點(diǎn)位移矢量u 以固有振型為基展開:

式中:qr——振型坐標(biāo);

φr——第r 階振型矢量;

Φ——N×N 階振型矩陣。

將式(2)代入式(1)，并且前乘ΦT，得到:

其中，M=ΦTmΦ;C=ΦTcΦ;K=ΦTkΦ，固有振型的正交性意味著M，K 是對角陣，如果要使式(3)解耦，則C 必須也是對角陣，即:

其中，diag()為對角陣函數(shù)。

式(3)的分量形式為:

式(5)變形為:

其中，ξr為第r 階振型的阻尼比，ξr=cr/2ωrMr。

利用M=ΦTmΦ，式(4)變?yōu)?

這樣構(gòu)造出的阻尼矩陣c［8］不僅使得式(3)能解耦為分量形式的式(5)，而且能夠使相當(dāng)寬的頻率范圍內(nèi)結(jié)構(gòu)的振型阻尼比為指定值，考慮到計(jì)算效率，式(6)中只包括前J 個振型是合理的，因?yàn)檫@些振型對于反應(yīng)的貢獻(xiàn)是主要的。因此，式(7)改寫為:

根據(jù)以上公式編制程序?qū)崿F(xiàn)阻尼矩陣的多階振型表達(dá)。

2 工程算例分析和ABAQUS 二次開發(fā)實(shí)現(xiàn)

2.1 工程概況

合肥置地廣場·A 座項(xiàng)目位于安徽省合肥市城市新中心——政務(wù)文化新區(qū)，北依龍圖路，東臨星光西路，西靠懷寧路。項(xiàng)目用地北面為省廣電中心，東面為城市綠軸景觀帶，西面為省文博園。項(xiàng)目總占地面積51 188 m2，總建筑面積達(dá)到380 000 m2，結(jié)構(gòu)三維模型如圖1 所示。

圖1 三維結(jié)構(gòu)模型圖

本工程地上47 層，地下4 層，主要屋面標(biāo)高為197.60 m，采用鋼筋混凝土框架—核心筒結(jié)構(gòu)體系。計(jì)算嵌固端取為地下室頂板面，一層樓面在主塔樓周邊設(shè)置抗震縫。為減小柱截面，在結(jié)構(gòu)的中下部采用型鋼混凝土柱，上部采用普通混凝土柱?？蚣芰翰捎娩摻罨炷亮?。

2.2 計(jì)算模型與相關(guān)參數(shù)選取

本場地特征周期為0.37 s，彈性動力時程分析時，時長為40 s，步長為0.01 s，地震加速度最大值為344.49 cm/s2。

取地下室頂板以上結(jié)構(gòu)為彈性動力時程分析對象，地震波從地下室2 層頂板處的豎向構(gòu)件端點(diǎn)輸入，結(jié)構(gòu)分析模型由彈性梁單元與彈性殼單元構(gòu)成。梁與柱采用可考慮線性剪切變形效應(yīng)的Timoshenko 梁單元B31，墻、樓板及連梁采用4 節(jié)點(diǎn)縮減積分殼單元S4R 和S3。

2.3 ABAQUS 二次開發(fā)

本文基于大型通用有限元軟件ABAQUS/Explicit 求解器［9］，開發(fā)VDLOAD 子程序?qū)?gòu)造的阻尼矩陣通過阻尼力的形式施加在工程結(jié)構(gòu)上，代替了原有的低階阻尼模塊，對一工程結(jié)構(gòu)在振型累積質(zhì)量參與系數(shù)超過90% 的階數(shù)下，進(jìn)行彈性動力時程分析。

在ABAQUS 中，VDLOAD 子程序被用來給一個或多個點(diǎn)集定義隨位置、時間、速度等變化的分布力，這些點(diǎn)出現(xiàn)在基于單元或表面的非均勻載荷定義里，VDLOAD 子程序在積分點(diǎn)處被調(diào)用。VDLOAD 子程序里的變量說明如下:

value:分布力的大小;nblock:調(diào)用點(diǎn)的數(shù)目;ndim:坐標(biāo)方向數(shù)目。

steptime:時間步長;totaltime:總時間;curCoords:調(diào)用點(diǎn)的當(dāng)前坐標(biāo)。

amplitude:引用荷載幅值的當(dāng)前值;velocity:調(diào)用點(diǎn)的當(dāng)前速度。

dirCos:壓力類型荷載下，表面、邊、管或梁的方向余弦。

jltype:分布力類型標(biāo)識符。

通過VDLOAD 將阻尼矩陣變?yōu)樽枘崃κ┘佑诮Y(jié)構(gòu)，并指定各階振型下阻尼比都為0.05。

2.4 層間位移角和基底剪力分析結(jié)果比較

將構(gòu)造的阻尼矩陣退化為只使用一階振型向量來考慮阻尼，用本文開發(fā)的子程序與ABAQUS 自帶的α 阻尼下的層間位移角和基底剪力進(jìn)行了比較，結(jié)果如圖2 和圖3 所示，吻合程度很高，驗(yàn)證了構(gòu)造的阻尼矩陣的合理性。當(dāng)僅考慮一階振型α 阻尼比時，本文比較了指定多階振型阻尼比情況下的層間位移角和基底剪力，進(jìn)而使用此程序計(jì)算多階振型下的響應(yīng)，由圖4 和圖5 可以看出，考慮不同階振型下的結(jié)構(gòu)層間位移角，隨著計(jì)入振型數(shù)的增多，層間位移角逐漸變小，類似地，基底剪力隨著振型數(shù)的增多，剪力幅值也逐漸減小，說明考慮的振型數(shù)越多，阻尼消耗的能量越多，同時當(dāng)振型數(shù)取到一定值時，后面的貢獻(xiàn)變得很小。這樣對于超高層結(jié)構(gòu)，比只考慮兩階振型的Rayleigh 阻尼或僅考慮一階振型的α 阻尼更能準(zhǔn)確地反映真實(shí)結(jié)構(gòu)的耗能及基底剪力態(tài)勢，為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供指導(dǎo)。

圖2 層間位移角結(jié)果比較

圖3 基底剪力結(jié)果比較

圖4 Y 向?qū)娱g位移角比較

圖5 Y 向基底剪力比較

3 結(jié)語

通過基于ABAQUS 二次開發(fā)平臺施加的多階振型阻尼力的動力時程分析計(jì)算，可以得出:高振型阻尼比主要影響結(jié)構(gòu)的層間位移角和基底剪力，特別是結(jié)構(gòu)的中上部的層間位移角，若采用不計(jì)高振型阻尼比影響的Rayleigh 阻尼，結(jié)構(gòu)在地震作用下的層間位移角偏大，不能反映結(jié)構(gòu)真實(shí)高階振型的影響，基于此分析結(jié)果的設(shè)計(jì)控制會相對偏于保守，而通過施加高階振型阻尼比的分析，更加能客觀地反映超高層結(jié)構(gòu)的高階響應(yīng)，基于此設(shè)計(jì)控制能合理地降低成本，為設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

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