杜云

（六盤水師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，貴州六盤水 553004）

平面束一般方程及其應(yīng)用的教學(xué)研究

杜云

（六盤水師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，貴州六盤水 553004）

作者在教學(xué)實(shí)踐中討論了平行、有軸平面束的一般方程，給出它的一般形式及其簡(jiǎn)化形式；通過(guò)實(shí)例探究了平面束方程在空間中的點(diǎn)、平面方程、直線方程及其他們之間相關(guān)位置的一些簡(jiǎn)單應(yīng)用.并強(qiáng)調(diào)運(yùn)用平面束方程簡(jiǎn)化形式解題容易出現(xiàn)的問(wèn)題.

平面束方程；應(yīng)用；教學(xué)研究

在授課實(shí)踐過(guò)程中,我體會(huì)到解析幾何中的前三章主要應(yīng)用空間向量這一應(yīng)用工具刻畫了空間中的點(diǎn)、線、面以及它們之間的相互位置關(guān)系.向量將解析幾何中這些元素代數(shù)化,為學(xué)生提供了一種有效的學(xué)習(xí)方法.我們通過(guò)空間向量來(lái)處理空間直線與平面、平面與平面的相關(guān)位置,采用平面束方程這一作法來(lái)解決兩個(gè)平面的交線在第三個(gè)平面上的投影直線,使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化,并給出了清晰的幾何背景.通過(guò)對(duì)此類問(wèn)題的探究，總結(jié)出平面束方程在解題中的具體方法，以達(dá)到在今后的教學(xué)中更好地將這一方法呈現(xiàn)給同學(xué)們.

1 平面束定義及其一般方程

定義在空間中，通過(guò)同一條直線的所有平面的集合叫做有軸平面束，該直線叫做有軸平面束的軸；在空間中，平行于同一個(gè)平面的所有平面的集合叫做平行平面束，有軸平面束與平行平面束統(tǒng)稱為平面束[1].

定理1如果兩個(gè)平面

交于一條直線L，那么以直線L為軸的有軸平面束方程是

其中l(wèi)，m是不全為零的一切實(shí)數(shù).

實(shí)際上我們稍微作變形就可以將方程化為只含有一個(gè)參數(shù)的形式.

推論1過(guò)平面π1與π2交線L的有軸平面束可簡(jiǎn)記為[2]：

其中λ為一切實(shí)數(shù)，值得強(qiáng)調(diào)的是平面A2x+ B2y+C2z+D2=0并不包含在平面束方程(﹡)式中，采用(﹡)式時(shí)一定要單獨(dú)考慮平面A2x+B2y+C2z+D2=0.

定理2如果兩個(gè)平面

為平行平面，即A1:A2=B1:B2=C1:C2，那么方程：

表示平行平面束，該平面束中的任意一個(gè)平面π都和平面π1或π2平行，其中l(wèi)，m是不同時(shí)為零的任意實(shí)數(shù)，并且滿足

推論2由平行于平面π：Ax+By+Cz+D=0的平行平面束的方程可簡(jiǎn)化為：

其中λ是一切實(shí)數(shù).以上定理、推論證明從略.

2 平面束一般方程的實(shí)例應(yīng)用

2.1 過(guò)已知直線與已知平面垂直的平面方程

分析為了不遺漏答案，一般情況下應(yīng)用兩個(gè)參數(shù)的形式：

l(A1x+B1y+C1z+D1)+m(A2x+B2y+C2z+D2)=0來(lái)解題.在用到平面束方程時(shí)，為了方便而采用簡(jiǎn)化形式（﹡）式時(shí)，要注意平面：A2x+B2y+C2z+D2=0并沒有包括在（﹡）式內(nèi)，所以最后必須單獨(dú)檢驗(yàn)此平面是否為所求平面.

解設(shè)所求平面方程為

由兩平面垂直的條件得(3l+2m)+(2l+3m)+ (-2l-m)=0，即4l+3m=0，因此l：m=3：(-4)，所求平面方程為x-6x+5z=0.

2.2 過(guò)已知直線與已知直線成角的平面方程

λ(x+5y+z)+μ(x-z+4)=0，其中λ,μ為不全為零的實(shí)數(shù)，即(λ+μ)x+5λy+(λ-μ)z+4μ=0，

的平面束方程（﹡）式并不包含A2x+B2y+C2z+D2=0所導(dǎo)致的.因此，若所求平面恰是或有一個(gè)是A2x+ B2y+C2z+D2=0，這樣求解就會(huì)出錯(cuò)，也即這種方法失效，而我們解題時(shí)并不知解的結(jié)果如何，對(duì)于此類題目用簡(jiǎn)化形式就會(huì)“事倍功半”，不再適用.那么當(dāng)采用有軸平面束的簡(jiǎn)化形式(﹡)式時(shí)最后必須要對(duì)平面A2x+B2y+C2z+D2=0單獨(dú)檢驗(yàn)，以防錯(cuò)解漏解.

2.3 求直線在平面上的投影

分析空間直線在平面上的投影的相關(guān)問(wèn)題，常規(guī)思維是先求出直線l與平面π的交點(diǎn)M的坐標(biāo)，在直線l上任意取一固定點(diǎn)P（一般而言為方便計(jì)算取其中某一坐標(biāo)為0），寫出過(guò)點(diǎn)P的直線l的對(duì)稱式方程，然后求出平面π的一條垂線l2，找到直線l2與平面π的交點(diǎn)N的坐標(biāo)，由M，N利用直線的兩點(diǎn)式方程即可寫出直線l在平面π上的投影直線l0，這樣解雖然思路清晰，但計(jì)算比較繁瑣.

如果我們采用平面束方程就可將計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)化，我們先設(shè)出過(guò)直線l的平面束方程(﹡)式，(﹡)式中必然存在一平面π1與平面π垂直，從而π與π1的交線就是直線l在平面π上的投影直線l0.

2.4 平面束方程在空間距離問(wèn)題中的應(yīng)用

2.4.1 求點(diǎn)到直線的距離

分析常見的解法空間中點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題最有三種：一是直接代公式；二是在l上任取兩點(diǎn)M、N，根據(jù)兩個(gè)向量向量積的幾何意義得d=三是過(guò)點(diǎn)P作垂直于直線l的平面π，其中l(wèi)的方向向量平行于平面的法向量，由點(diǎn)法式易于求出平面π的方程，然后直線方程和平面方程聯(lián)立方程組求出交點(diǎn)O，最后利用兩點(diǎn)間的距離公式求出P到直線l的距離PO.

當(dāng)然這里一樣可以用平面束的方法求解，點(diǎn)到直線距離就轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到過(guò)直線l的平面束中距離最大的那個(gè)平面的距離.

解將直線l化為一般式為

從而過(guò)直線的平面束可表示為(x-y+1)+λ(3y+2z-4) =0，即x+(3λ+1)y+2λz+(1-4λ)=0，從而由點(diǎn)P到直線l的距離公式有，d(λ)是關(guān)于λ的函數(shù)，這是一個(gè)初等函數(shù)求最值得問(wèn)題.顯而易見當(dāng)λ=1時(shí)，d(λ)max=3.

2.4.2 求兩異面直線之間的距離

分析空間兩條異面直線之間距離的問(wèn)題，常規(guī)思維是將兩條直線分別化為含t,s的參數(shù)方程：

兩直線上的點(diǎn)之間的距離為：

由此可見它是一個(gè)含t,s的二元函數(shù)，利用函數(shù)求極值的方法可d的最小值，但是計(jì)算繁瑣.

異面直線之間距離的問(wèn)題如果采用平面束一般方程給予解答，異面直線距離轉(zhuǎn)化為上任意一點(diǎn)P到以l2為軸的平面束l(y-2x+5)+m (z-7x-2)=0的距離的最大值.

解為方便起見我們?cè)O(shè)過(guò)直線l2的平面束方程為(2+7λ)x-y-λz+2λ-5=0，在l1上取定點(diǎn)(-1,-3, 0)，則定點(diǎn)到平面束的距離為：

l1與l2的距離即為d(λ)的最大值，這是個(gè)含λ的一元函數(shù)，易求得即為l1與l2的距離.

2.5 平面束方程在切平面問(wèn)題中的應(yīng)用

分析一般而言，求直線方法是想辦法找出平面的一個(gè)法向量，而這類問(wèn)題的切點(diǎn)不容易求出，很難找到平面的法向量，于是我們?nèi)绻囉闷矫媸椒?，其?shí)就是找過(guò)直線的平面束中與球心O (0,0,0)的距離等于球半徑1的平面，從而繞開了法向量求解，使問(wèn)題簡(jiǎn)化.

解過(guò)所給直線除平面2x-y+z=0外的其他所有平面方程為：

x+y-2z+3+λ(2x-y+z)=0，即(1+2λ)x+(1-λ)y+ (λ-2)z+3=0.

根據(jù)平面與球相切，球心O到平面的距離d應(yīng)等于半徑r，于是由點(diǎn)到平面的距離公式得：

所求平面為：

分析由于此問(wèn)題在過(guò)直線l的平面π上，我們可以嘗試著用過(guò)直線l的平面束方程來(lái)解決.

解過(guò)直線l的平面束方程為(x+y+b)+λ (x+ay-z-3)=0，即

曲面z=x2+y2在點(diǎn)（1，-2，5）外的法向量為{2, -4,-1}，又平面π與曲面z=x2+y2相切于點(diǎn)（1，-2，5），則有

由此解得λ=1，a=-5，b=2.

3 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述,在直線與平面關(guān)系的教學(xué)中,用平面束方程來(lái)處理一些習(xí)題是一種快捷有效的做法，對(duì)于一些傳統(tǒng)方法很難處理的平面或直線問(wèn)題時(shí)，使用平面束方法確實(shí)能使很多復(fù)雜的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單，使之更容易求解，但更重要的在于解題之初應(yīng)分析清楚題目中平面或直線的相互位置關(guān)系，才可應(yīng)用好平面束方程.

〔1〕呂林根，許子道.解析幾何［M］.北京：高等教育出版社，2006.5.

〔2〕董增福，白素英.平面束方程簡(jiǎn)化形式的教學(xué)研究［J］.2004（6）.

O182.2

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1673-260X（2015）04-0007-03