黃中瑞，張劍云，周青松，牛朝陽

（電子工程學院，安徽合肥230037）

匹配濾波器失配下的雙基地多輸入多輸出雷達多目標角度估計

黃中瑞，張劍云，周青松，牛朝陽

（電子工程學院，安徽合肥230037）

提出了基于匹配濾波器失配的雙基地多輸入多輸出（MIMO）雷達多目標角度估計算法。建立了存在時延、多普勒頻率補償誤差情形下的雙基地MIMO雷達模型。采用交替迭代的思想，將發(fā)射角、時延補償誤差和多普勒頻率補償誤差的參數估計問題轉化為一個二次規(guī)劃問題并求解出發(fā)射角。用ESPRIT算法估計目標的接收角，并且實現了收發(fā)角度的自動配對。仿真實驗證明了ESPRIT算法的有效性。此外在附錄中推導了本文信號模型下的克拉美羅界。

雷達工程；雙基地多輸入多輸出雷達；匹配濾波器失配；二次規(guī)劃；克拉美羅界；ESPRIT算法

0 引言

近年來，多輸入多輸出（MIMO）雷達作為一種新體制雷達受到人們的廣泛關注［1-6］。然而多數文獻都是基于理想（如點目標、噪聲背景為復高斯白噪聲，無陣列誤差等）情況下的雙基地MIMO雷達角度估計問題。在實際情況下，目標可能為相干目標或分布式目標，噪聲背景多為復雜噪聲背景，陣列之間存在互耦、陣列位置誤差和幅相誤差等，如還用傳統(tǒng)的方法，其估計性能將急劇下降。

對于陣列存在互耦效應的情形，文獻［7］利用Kronecker積的性質，把發(fā)射、接收端的互耦系數與發(fā)射、接收端的導向矢量分離，采用MUSIC-Like算法估計出目標的發(fā)射角（DOD）、接收角（DOA）和互耦系數，當互耦自由度較大時，文獻［7］算法的角度估計性能較差，存在相位模糊［8］。針對文獻［7］的不足，文獻［9］根據互耦矩陣的對稱Toeplitz結構，分別提取出發(fā)射和接收旋轉不變因子，在得到收發(fā)角度的基礎上，通過求解線性約束二次優(yōu)化問題獲得互耦參數的估計值，該方法雖然不存在相位模糊，但是有效陣列孔徑隨著互耦自由度的增加而下降，導致估計性能下降。針對陣列通道之間的不一致性問題，文獻［10］利用三迭代最小二乘算法聯合估計目標的DOD、DOA和收發(fā)陣列的幅相誤差系數。由于優(yōu)化問題是高度非線性優(yōu)化，該算法并沒有對其收斂性進行證明，而且在低信噪比（SNR）時，噪聲對擬合數據的影響較大。同時三迭代算法僅估計出含有誤差的收發(fā)陣列流型，其每一列方向矢量存在周期為2π的相位模糊，需要對其進行解纏繞處理。針對文獻［10］計算復雜度高和相位模糊等問題，文獻［11］提出了ESPRIT-Like算法，基于輔助陣元法（ISM）分別提取出發(fā)射端與接收端的旋轉不變因子，最后將求解DOD、DOA和幅相誤差系數求解轉化為線性約束二次優(yōu)化問題。該算法只要兩個標準校正的輔助陣元即可實現多目標角度估計，但是ESPRIT-Like算法在低SNR時估計性能較差。為了進一步提高估計精度，文獻［12］提出了降維MUSIC算法，將二維估計問題轉換為兩個一維估計問題，利用MUSIC-Like算法估計目標的DOD與DOA，并實現了參數的自動配對。

然而，上述文獻均沒考慮匹配濾波器失配情況下的雙基地MIMO雷達角度估計問題。在實際雷達系統(tǒng)中要想實現接收信號的理想匹配濾波，必須對匹配濾波器組中的時延補償和多普勒頻率補償值進行預先設定，然而在實際情形中，這兩個值是未知的，要準確地估計出目標的時延和多普勒頻率是十分困難的。因而研究匹配濾波器失配下的多目標角度估計是一個具有重要意義的研究課題。

但是目前國內外有關這方面的研究文獻比較少。文獻［13］推導了該問題下的信號模型，通過觀察其信號模型可知，由于時延補償誤差和多普勒頻率補償誤差的影響，雙基地MIMO雷達的導向矢量發(fā)生扭曲，如還采用經典的子空間類算法進行角度估計，將會產生較大的估計誤差。主要原因是經典的子空間類MUSIC和ESPRIT算法是利用接收陣列接收信號的時延差，即接收陣列之間的相位差進行角度估計。當存在時延補償誤差和多普勒頻率補償誤差時，其接收數據會產生誤差相位，且與目標角度的相位信息耦合在一起。如不做校正處理，在估計目標角度會產生較大的估計誤差。在仿真實驗中驗證了這一觀點。但是文獻［13］并沒有提出相應的校正算法。本文基于文獻［13］出發(fā)，簡化了其信號模型。在估計DOD時，采用交替迭代的思想，將估計目標的DOD、時延補償誤差和多普勒頻率補償誤差轉化為一個二次規(guī)劃（QP）問題，最終估計出目標的DOD，而且在仿真實驗中發(fā)現僅通過3～5次迭代即可實現收斂；在估計DOA時，利用經典的ESPRIT算法即可實現高精度估計；并且本文算法能夠實現目標收發(fā)角度的自動配對。仿真實驗說明了所提算法的有效性，并得出了相應的結論。

1 信號模型

為了便于表述，本文先考慮單目標的信號模型，繼而再考慮多目標的信號模型。如圖1所示，雙基地MIMO雷達系統(tǒng)的收發(fā)陣列均是均勻線陣（ULA）配置，發(fā)射、接收陣列分別由M、N個陣元組成，且發(fā)射、接收陣元之間的間距分別為dt、dr，并假設dt=dr=λ/2，λ為波長。發(fā)射、接收陣列之間的基線距離為D，且D?λ.在空域中存在某個獨立目標，其DOD、DOA分別記為θ與φ，其中：；目標的時延和多普勒頻率分別記為τ與fd.假設發(fā)射陣列同時發(fā)射M個窄帶正交波形，當第t時刻的發(fā)射信號經目標散射，到達接收陣列時，接收端的接收信號矢量可表示為

式中：β為目標的散射系數；a（θ）=［1，ejπsinθ，…，ejπ（M-1）sinθ］T∈CM×1為發(fā)射端導向矢量；b（φ）=［1，ejπsinφ，…，ejπ（N-1）sinφ］T∈CN×1為接收端導向矢量；（·）T為矢量的轉置運算；為表述方便，記a（θ）=a，b（φ）=b；s（t-τ）=［s1（t-τ），s2（tτ），…，sM（t-τ）］T∈CM×1為發(fā)射的正交信號構成的矢量；v（t）為噪聲矢量，假設其服從零均值、方差為σ2的復高斯白噪聲隨機過程，即v～Nc（0，σ2IN）.接收信號矢量通過一組匹配濾波器，其時延和多普勒頻率補償設為τ0與fd0，那么通過匹配濾波器后的信號矢量可表示為

圖1 雙基地MIMO雷達示意圖Fig.1 Schematic diagram of bistatic MIMO Radar

式中：e-j2π（fd0-fd）τ與散射系數β相乘可以看成新的散射系數，因此

式中：Δτ=τ0-τ為時延補償誤差；Δfd=fd0-fd為多普勒頻率補償誤差。再對接收信號矢量Y進行矢量化操作可得

式中：vec（·）為矢量化運算；?為Kronecker積；

對于經過匹配濾波器后的噪聲矢量，其仍然服從復高斯白噪聲隨機過程，這是因為

又因為v～Nc（0，σ2IN），信號矢量s為正交信號，即

因此Rw=σ2INM.其中（5）式就是單目標的信號模型。

接下來考慮多目標的信號模型。假設在空域中存在P個獨立目標，第p（p=1，2，…，P）個目標的DOD、DOA分別記為θp與φp，其中，；第p個目標的散射系數記為βp，第p個目標的時延和多普勒頻率分別記為τp與fdp.那么，根據（5）式可得其信號模型為

為了研究的方便，本文僅考慮多個目標相對收發(fā)陣列的時延和多普勒均相同的情形，因此可重寫（9）式：

式中：A=［a1，a2，…，aP］∈CM×P為發(fā)射端方向矢量；B=［b1，b2，…，bP］∈CN×P為接收端方向矢量；β=［β1，β2，…，βP］T∈CP×1為散射系數構成的矢量；⊙表示Khatri-Rao積。（10）式即為本文的信號模型。

2 算法描述

2.1 矩陣C（Δτ，Δfd）的討論

觀察（4）式可發(fā)現，C（Δτ，Δfd）與發(fā)射的正交信號s、時延補償誤差Δτ、多普勒頻率補償誤差Δfd有關。本文正交信號選用文獻［14］中的頻率擴展信號（FS），其表達式為

根據文獻［14］可知，只要滿足Δf?T-1即可認為信號是正交的。因此，發(fā)射信號為FS時，矩陣C（Δτ，Δfd）為對角矩陣，即C（Δτ，Δfd）=diag（c），c=［c1，c2，…，cM］T∈CM×1，diag（·）為對角化運算。

2.2 DOD的估計

考慮發(fā)射Q個脈沖，那么可得數據協(xié)方差矩陣

2.4 DOD與DOA的參數配對

由（20）式和（25）式可分別估計出目標的DOD和DOA，但是由于估計DOD和DOA時需要兩次獨立的特征值分解，特征向量的排序可能不同，那么特征值就不能一一對應，即無法保證收發(fā)角度配對到同一目標上。對此本文采用如下方法實現DOD和DOA自動配對。對進行特征值分解，記為

對比（16）式和（26）式不難發(fā)現，Q和T-1都是由Ψt的特征向量構成，只是位置順序可能不一樣，因此存在一個有限次列交換矩陣H，使得

將（27）式代入（26）式，并與（16）式對比發(fā)現：

進一步構造矩陣

并將（24）式和（27）式代入（29）式得

2.5 算法流程

1）根據（12）式計算協(xié)方差矩陣R并對其特征值分解得到信號子空間Es.再根據性質得到置換矩陣，由此得到信號子空間最后分別從Es和中抽取相應的行得到Est1、Est2、Esr1和Esr2.

3）根據（24）式、（29）式和矩陣Q即可得到目標的DOA.

3 仿真實驗

實驗1：算法有效性驗證。仿真條件：在復高斯白噪聲背景下，發(fā)射陣元數M=3，接收陣元數N= 3；發(fā)射信號為FS，T=600 μs，Δf=10/T；空域中存在3個相互獨立的目標，其收發(fā)角分別為（-10°，40°）、（20°，0°）和（0°，-30°）；對應的散射系數（β1，β2，β3）服從復高斯正態(tài)分布，脈沖數Q=100；匹配濾波器的時延補償誤差Δτ=0.2 μs，多普勒頻率補償誤差Δfd=1 kHz；，ξ=10-3.實驗時Monte Carlo仿真次數為500次，SNR=10 dB.

圖2為算法的星座圖。由圖2可知，本文算法能實現對多目標的DOD、DOA的估計，并且參數之間能實現自動配對。通過仿真得知，在估計目標的DOD時，一般迭代3～5次即可實現收斂。

圖2 算法的星座圖Fig.2 Algorithm constellation

圖3、圖4為本文算法下目標的DOD和DOA的RMSE、克拉美羅界（CRB）隨SNR的變化曲線。在附錄中，已詳細推導了本文信號模型下參數估計CRB的表示式。由圖3、圖4可知，本文算法隨著SNR的增加，RMSE下降，即估計精度提高。

圖3 目標1的RMSE和CRB曲線Fig.3 RESE and CRB curves of Target 1

實驗3：算法穩(wěn)健性分析1.為了探究時延補償誤差Δτ對角度估計的影響，而且由于時延補償誤差Δτ只對目標的DOD存在影響，因此本實驗研究不同Δτ下目標DOD的RMSE隨Δτ的變化。仿真條件除了Δτ∈［0.01 μs，0.2 μs］之外，其余與實驗1相同。

由圖5可知，隨著Δτ的變大，目標DOD的估計精度將會變差。這說明在時延補償誤差較大時，對目標DOD的估計影響較大，而在時延補償誤差較小時，對目標DOD的估計影響較小。在0.01～0.1 μs之間，各個目標的RMSE曲線不再下降，由此可得出：1）當時延補償誤差Δτ很小時，其對參數估計精度的性能影響較??；2）在0.01～0.1 μs之間，是由于噪聲的影響使RMSE的值大約為0.1左右。

圖4 目標2 RMSE和CRB曲線圖Fig.4 RESE and CRB curves of Target 2

圖5 目標的DOD隨Δτ變化的RMSE曲線Fig.5 RESE curves of DOD vs Δτ

實驗4：算法穩(wěn)健性分析2.為了探究多普勒頻率補償誤差Δfd對角度估計的影響，同樣由于Δfd只對目標的DOD存在影響，故研究不同Δfd下目標DOD的RMSE隨Δfd的變化，除Δτ=0.5 μs，Δfd分別為0.1 Hz、1 Hz、10 Hz、100 Hz、1 000 kHz外，其余仿真條件與實驗1相同。

由圖6可知，隨著Δfd的改變，目標DOD的估計精度并沒有太大改變。這是因為：將本實驗選用的FS代入（4）式得

式中：k=1，2，…，M.因此

式中：a=e-j2πΔfdT-1/-j2πΔfdT∈C；CΔτ=diag（cΔτ）∈CM×M，cΔτ（k）=ej2πkΔfΔτ，k=1，2，…，M.再將（32）式代入（12）式中可得

式中：|a|2∈R，在后續(xù)的特征值分解中，并不影響特征值的相位值，只是隨著Δfd的變大；|a|2在減小，也就是只影響接收信號的信噪比。當Δfd不太大時，信噪比的下降較小，因而對角度估計性能的影響較小。

圖6 目標的DOD隨Δfd變化RMSE曲線Fig.6 RESE curves of DOD vs Δfd

4 結論

本文研究了基于匹配濾波器失配的雙基地MIMO雷達多目標角度估計算法。分析了時延、多普勒頻率補償誤差對雙基地MIMO雷達角度估計性能的影響；在此基礎之上，分別利用迭代算法和ESPRIT算法對目標的DOD、DOA進行估計，并且實現了二者的自動配對。通過仿真實驗說明了時延、多普勒頻率誤差對角度估計精度影響；隨著時延、多普勒頻率誤差的減小，目標DOD的估計精度提高，當時延誤差小到一定程度時，其對DOD估計精度的影響可以忽略，此時占主導因素的是噪聲功率，相對時延誤差來說，多普勒頻率誤差主要影響接收信號的SNR，對發(fā)射導向矢量不會產生扭轉，因而其對目標DOD的影響較小。

附錄

在附錄中給出本文信號模型下的CRB的推導過程。重寫本文信號模型下的導向矢量，其中，K（θ，φ）=A⊙B.為了表述方便，記Kc（θ，φ）=Kc，K（θ，φ）=K.由（10）式可知，第q個發(fā)射脈沖下的接收信號yq～Nc（μq，σ2IMN），其中均值μq=Kcβq.在確定信號模型下CRB［9］可表示為

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Multitarget Angle Estimation for Bistatic MIMO Radar under the Missmatch of Matching Filter

HUANG Zhong-rui，ZHANG Jian-yun，ZHOU Qing-song，NIU Zhao-yang
（Electronic Engineering Institution，Hefei 230037，Anhui，China）

A new method for multitarget angle estimation for bistatic multiple-input multiple-output（MIMO）radar based on mismatch filter is proposed.A signal model is built for delay and Doppler frequency offset errors of bistatic MIMO radar.The parameter estimation of direction of departure（DOD），delay errors and Doppler frequency offset errors is converted into a quadratic programing（QP）problem and solved via the alternating iterative algorithm，and then the DOD can be estimated.The direction of arrival（DOA）is estimated via ESPRIT algorithm.The automatic pairing of DODs and DOAs can be realized without pairing algorithm.The efficiency of the proposed method is verified through the computer simulation.The Cramer-Rao bound（CRB）of the proposed MIMO radar signal model is derived in the appendix.

radar engineering；bistatic multiple-input multiple-output radar；mismatch filter；quadratic programing；Cramer-Rao bound；ESPRIT algorithm

TN958

A

1000-1093（2015）08-1487-07

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.08.016

2014-10-21

國家自然科學基金項目（61201279）；安徽省自然科學基金項目（1408085MF128）

黃中瑞（1988—），男，博士研究生。E-mail：18756073857@163.com；張劍云（1963—），男，教授，博士生導師。E-mail：zjy921@sina.com