張堯，郭杰，唐勝景，商巍，張浩強(qiáng)

（北京理工大學(xué)宇航學(xué)院飛行器動力學(xué)與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100081）

機(jī)動目標(biāo)攔截含攻擊角約束的新型滑模制導(dǎo)律

張堯，郭杰，唐勝景，商巍，張浩強(qiáng)

（北京理工大學(xué)宇航學(xué)院飛行器動力學(xué)與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100081）

針對導(dǎo)彈帶有攻擊角約束的機(jī)動目標(biāo)攔截問題，結(jié)合積分滑模和全局滑?？刂品椒ǖ膬?yōu)點(diǎn)，設(shè)計了一種全新的導(dǎo)彈滑模制導(dǎo)律（SMGL）。在縱向平面內(nèi)建立考慮攻擊角約束的彈目相對運(yùn)動方程。采用一種新的非線性飽和函數(shù)來構(gòu)造積分滑模面中的積分項(xiàng)，提出了一種新型的非線性全局積分滑?？刂品椒?，解決了傳統(tǒng)積分滑模控制中系統(tǒng)暫態(tài)性能惡化的問題，降低了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，保證導(dǎo)彈在有限時間內(nèi)以更理想的攻擊角命中目標(biāo)，同時使導(dǎo)彈在整個攔截過程中具有很強(qiáng)的魯棒性。采用動態(tài)面控制方法設(shè)計了考慮攻擊角約束和自動駕駛儀動態(tài)特性的導(dǎo)彈全局非線性積分SMGL，基于Lyapunov穩(wěn)定性準(zhǔn)則證明了閉環(huán)系統(tǒng)所有狀態(tài)最終一致有界。與傳統(tǒng)線性積分SMGL和偏置比例導(dǎo)引律進(jìn)行仿真對比，仿真結(jié)果驗(yàn)證了全局非線性積分SMGL的有效性和優(yōu)越性。

飛行器控制、導(dǎo)航技術(shù)；制導(dǎo)律；全局非線性積分滑模；動態(tài)面控制；攻擊角約束

0 引言

在導(dǎo)彈制導(dǎo)與控制系統(tǒng)設(shè)計過程中，制導(dǎo)律的設(shè)計起著重要的作用。為了實(shí)現(xiàn)在戰(zhàn)場中對目標(biāo)的精確打擊，制導(dǎo)律在攻擊末端追求很小的脫靶量。然而，隨著精確制導(dǎo)技術(shù)的不斷發(fā)展，在制導(dǎo)律的設(shè)計過程中，除了需要考慮脫靶量的約束外，在許多打擊任務(wù)中還需要對導(dǎo)彈制導(dǎo)末端的攻擊角進(jìn)行約束，從而在對目標(biāo)實(shí)施打擊時發(fā)揮戰(zhàn)斗部的最大效能，以達(dá)到最佳的毀傷效果。

當(dāng)目標(biāo)無機(jī)動、自動駕駛儀視為理想環(huán)節(jié)且控制能量受限時，傳統(tǒng)的比例導(dǎo)引律可以獲得較好的打擊效果。但在打擊機(jī)動目標(biāo)時，比例導(dǎo)引律很難達(dá)到滿意的效果。隨著控制理論的發(fā)展，針對含攻擊角約束的攔截打擊問題，相關(guān)研究在原有制導(dǎo)律設(shè)計思想的基礎(chǔ)上提出了新的制導(dǎo)律設(shè)計方法，如新型比例導(dǎo)引［1-5］、最優(yōu)制導(dǎo)律［6-12］、滑模制導(dǎo)律（SMGL）［13-16］等?；趥鹘y(tǒng)的比例導(dǎo)引律，Zhang等［1］提出了一種考慮攻擊角約束的偏置比例導(dǎo)引律（BPNGL），同時加入了對剩余時間誤差的反饋環(huán)節(jié)，實(shí)現(xiàn)了導(dǎo)彈在時間和攻擊角雙重約束下對機(jī)動目標(biāo)的有效打擊。Byung等［2］針對角度約束下的制導(dǎo)問題研究了一種新型的BPNGL，同時，針對三維空間內(nèi)考慮攻擊角約束的超聲速攔截問題。Lu等［3］采用自適應(yīng)變系數(shù)策略對傳統(tǒng)比例制導(dǎo)律進(jìn)行了改進(jìn)。此外，文獻(xiàn)［4］基于平面彈道的幾何特征設(shè)計了具有末端攻擊角約束的圓周軌跡制導(dǎo)律，在此基礎(chǔ)上，胡錫精等［5］提出了一種具有碰撞角約束的三維圓軌跡制導(dǎo)律?？傮w來講，傳統(tǒng)的制導(dǎo)律通過對相應(yīng)技術(shù)的改進(jìn)，使導(dǎo)彈在攔截非機(jī)動目標(biāo)時彈道性能好，脫靶量小，在滿足制導(dǎo)任務(wù)的基礎(chǔ)上易于工程實(shí)現(xiàn)。但其前向攻擊能力差，對打擊機(jī)動目標(biāo)，末端脫靶量較大，無法精確滿足攻擊角和制導(dǎo)精度的要求。隨著20世紀(jì)70年代初現(xiàn)代控制理論的盛行，人們逐漸將傳統(tǒng)制導(dǎo)律設(shè)計與現(xiàn)代控制理論相結(jié)合。自Kim等［6］首次提出考慮攻擊角約束的最優(yōu)制導(dǎo)律以來，很多學(xué)者針對不同的應(yīng)用背景，基于最優(yōu)控制理論提出了多種依據(jù)不同性能指標(biāo)的具有末端角度約束的最優(yōu)制導(dǎo)律。Idan等［7］在目標(biāo)軌跡已知的前提下對于導(dǎo)彈打擊機(jī)動目標(biāo)考慮終端落角約束的問題設(shè)計了平面運(yùn)動的最優(yōu)制導(dǎo)律。Song等［8］以時間最短為性能指標(biāo)，基于極大值原理設(shè)計了含末端彈道傾角限制的Bang-Bang最優(yōu)制導(dǎo)律。Song等［9］針對變速導(dǎo)彈在垂直平面內(nèi)打擊機(jī)動目標(biāo)的問題提出了一種考慮攻擊角約束的最優(yōu)制導(dǎo)律。文獻(xiàn)［10］討論了采用廣義矢量形式的顯示含落角約束的最優(yōu)制導(dǎo)算法。Zhang等［11］利用最優(yōu)控制方法通過以脫靶量和終端落角為約束針對地面目標(biāo)設(shè)計了三維制導(dǎo)律，通過求解Riccati方程對任意階系統(tǒng)進(jìn)行降階。此外，不少學(xué)者在原有最優(yōu)制導(dǎo)律基礎(chǔ)上，結(jié)合微分對策理論，提出了雙方動態(tài)控制的微分對策制導(dǎo)律，使系統(tǒng)的綜合性能最優(yōu)。Shaferman等［12］基于線性二次型理論提出了一種考慮終端落角約束的微分對策制導(dǎo)律。微分對策制導(dǎo)律雖優(yōu)于比例導(dǎo)引律和最優(yōu)制導(dǎo)律，但在求解微分對策過程中遇到了兩邊編制問題，需要采用極小值定理，很難得到解析解，制導(dǎo)律的設(shè)計存在較大的保守性。同時，上述制導(dǎo)律的設(shè)計均需要完全已知制導(dǎo)過程中目標(biāo)運(yùn)動的精確模型以及準(zhǔn)確估算導(dǎo)彈運(yùn)動的剩余時間，狀態(tài)信息準(zhǔn)確度越高，所設(shè)計的制導(dǎo)律命中精度就越高。但在實(shí)際應(yīng)用過程中，很多目標(biāo)的狀態(tài)信息無法準(zhǔn)確測量，尤其是目標(biāo)加速度，存在很大的估計誤差，從而導(dǎo)致此類制導(dǎo)律的工程應(yīng)用受限。

滑模變結(jié)構(gòu)控制是一種對系統(tǒng)參數(shù)攝動和外界干擾等系統(tǒng)不確定性具有很好魯棒性和穩(wěn)定性的控制方法。在導(dǎo)彈的制導(dǎo)律設(shè)計時，設(shè)計者通常以彈目視線角速率或脫靶量作為變量設(shè)計滑模面，通過設(shè)計導(dǎo)彈的需用過載使所設(shè)計的滑模面在有限時間內(nèi)快速收斂于0，從而實(shí)現(xiàn)導(dǎo)彈對目標(biāo)的有效打擊。由于所設(shè)計的控制量中變結(jié)構(gòu)控制切換項(xiàng)能夠補(bǔ)償系統(tǒng)中的不確定性，故SMGL因其不用嚴(yán)格依賴目標(biāo)運(yùn)動的精確模型而被廣泛應(yīng)用。Sachit等［13］基于零化視線角速率理論，針對水平面內(nèi)考慮攻擊角約束打擊機(jī)動目標(biāo)的問題，設(shè)計了傳統(tǒng)意義上的SMGL.Lee等［14］考慮制導(dǎo)過程中的落角約束，通過構(gòu)造特征函數(shù)提出了一種高性能的SMGL，對所設(shè)計的制導(dǎo)律的參數(shù)整定問題提出了采用極點(diǎn)配置的整定方法。但是，該制導(dǎo)律對落角約束的設(shè)計只是針對固定或低速目標(biāo)。竇榮斌等［15］通過采用2階滑?？刂扑枷朐O(shè)計了再入飛行器的末制導(dǎo)律，但在制導(dǎo)末期容易產(chǎn)生控制量的高頻顫振。熊俊輝等［16］針對迎擊攔截高超聲速目標(biāo)的問題，應(yīng)用模糊變系數(shù)策略設(shè)計了一種復(fù)合SMGL，降低了制導(dǎo)初期的需用法向過載。但是，由于目標(biāo)運(yùn)動的機(jī)動性過大，在傳統(tǒng)的SMGL攔截機(jī)動目標(biāo)的末制導(dǎo)段，會不可避免地產(chǎn)生導(dǎo)彈需用過載過大或產(chǎn)生振蕩，同時也會使導(dǎo)彈在打擊任務(wù)末期的攻擊角不理想。因此，有必要對現(xiàn)有的SMGL進(jìn)行改進(jìn)，提出一種針對機(jī)動目標(biāo)攔截的新型SMGL.

眾所周知，在傳統(tǒng)滑?？刂浦?，當(dāng)系統(tǒng)存在不確定性和外界擾動時，為了抑制控制量顫振而引入的邊界層方法會導(dǎo)致系統(tǒng)狀態(tài)存在穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差。因此，在滑模面的設(shè)計中可以引入積分項(xiàng)來抑制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性。但是，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)的初始誤差較大時，積分滑模會導(dǎo)致系統(tǒng)狀態(tài)存在大的超調(diào)和長的調(diào)節(jié)時間，從而惡化系統(tǒng)的暫態(tài)性能。尤其是，當(dāng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)飽和時，滑模面的積分項(xiàng)會產(chǎn)生積分Windup效應(yīng)，甚至使系統(tǒng)不穩(wěn)定［17］。此外，由于傳統(tǒng)滑模控制只有在系統(tǒng)狀態(tài)保持滑模運(yùn)動階段時才具有很強(qiáng)的魯棒性，無法保證系統(tǒng)在全過程中都具有魯棒性。針對上述不足，本文采用一種新的非線性飽和函數(shù)來設(shè)計非線性積分滑模面，從而改善系統(tǒng)的暫態(tài)性能，減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。與此同時，將非線性積分滑?？刂疲∟ISMC）方法和全局滑?？刂疲℅SMC）方法［18］的優(yōu)點(diǎn)相結(jié)合，在保證系統(tǒng)暫態(tài)性能和小穩(wěn)態(tài)誤差的基礎(chǔ)上，消除了滑?？刂浦邢到y(tǒng)狀態(tài)在有限時間內(nèi)從任意初始狀態(tài)值運(yùn)動到滑模面的這一階段，使系統(tǒng)狀態(tài)在一開始就處于滑動模態(tài)，克服了傳統(tǒng)滑?？刂浦械牡竭_(dá)階段不具備魯棒性的缺點(diǎn)，從而使系統(tǒng)在全局具有強(qiáng)魯棒性。

在實(shí)際工程應(yīng)用中，當(dāng)目標(biāo)機(jī)動時，自動駕駛儀的動態(tài)特性會對導(dǎo)彈的制導(dǎo)精度造成很大影響。因此，在制導(dǎo)律設(shè)計過程中考慮自動駕駛儀動態(tài)特性具有十分重要的意義。Chen等［19］和Zhang等［20］均將自動駕駛儀視為1階慣性環(huán)節(jié)，并利用最優(yōu)控制和滑模控制方法對導(dǎo)彈的制導(dǎo)律進(jìn)行設(shè)計。而實(shí)際的導(dǎo)彈自動駕駛儀具有高階動態(tài)特性，采用2階動態(tài)特性來描述更為合理。文獻(xiàn)［21］結(jié)合反饋線性化技術(shù)，采用Backstepping方法，考慮到自動駕駛儀動態(tài)特性補(bǔ)償和末端攻擊角約束，提出了一種反演遞推制導(dǎo)律。在考慮自動駕駛儀動態(tài)特性的制導(dǎo)律設(shè)計過程中，若采用Backstepping方法設(shè)計制導(dǎo)律會含有對視線角速率的2階導(dǎo)數(shù)，工程中不易獲得，從而增加了系統(tǒng)設(shè)計的復(fù)雜度［22］。為了解決上述不足，相關(guān)文獻(xiàn)［23-24］采用動態(tài)面控制方法有效地實(shí)現(xiàn)了對視線角速率2階或高階導(dǎo)數(shù)的實(shí)時估測，從而解決了Backstepping方法中的“微分膨脹”問題。

本文基于縱向平面內(nèi)的彈目相對運(yùn)動方程，考慮自動駕駛儀2階動態(tài)特性，針對攔截機(jī)動目標(biāo)的攻擊角約束問題，應(yīng)用全局NISMC方法和動態(tài)面控制方法，提出了一種全新的導(dǎo)彈全局非線性積分滑模制導(dǎo)律（GNISMGL）利用這種制導(dǎo)律，改善了制導(dǎo)過程中系統(tǒng)的暫態(tài)性能，減小了制導(dǎo)末端攻擊角的穩(wěn)態(tài)誤差，保證了導(dǎo)彈在整個制導(dǎo)過程中具有很強(qiáng)的魯棒性。

1 問題描述與數(shù)學(xué)模型

如圖1所示，建立縱向平面內(nèi)攔截過程中彈目相對運(yùn)動的幾何關(guān)系。圖中：M和T分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的質(zhì)心位置；vM和vT分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的運(yùn)動速度；aM和aT分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)運(yùn)動的法向加速度；θM和θT分別為導(dǎo)彈運(yùn)動的彈道傾角和目標(biāo)運(yùn)動的航跡角；q為彈目相對運(yùn)動的視線角；r為導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對距離。由圖1可得縱向平面內(nèi)的彈目相對運(yùn)動方程：

圖1 縱向平面內(nèi)彈目相對運(yùn)動Fig.1 Planar relative motion of missile and target

（2）式兩邊同時對時間t求導(dǎo)，可得

為方便研究，作出如下假設(shè)：

1）目標(biāo)的法向加速度aT和切向加速度是有界的，且在任意t時刻滿足，其中d1和d2為目標(biāo)加速度的上界。

攻擊角為攔截末端導(dǎo)彈的速度矢量和目標(biāo)的速度矢量之間的夾角。所以，考慮到對攻擊角的約束就需要嚴(yán)格限制導(dǎo)彈命中目標(biāo)（脫靶量為0）時刻的彈道傾角。定義制導(dǎo)結(jié)束時刻為tf，導(dǎo)彈期望的攻擊角為θd，制導(dǎo)結(jié)束時刻所期望的視線角為qd，則考慮攻擊角約束的制導(dǎo)律設(shè)計問題是指在導(dǎo)彈以零脫靶量命中目標(biāo)的同時以期望的攻擊角對目標(biāo)實(shí)施打擊，即

（8）式表明導(dǎo)彈命中目標(biāo)時目標(biāo)在導(dǎo)彈的導(dǎo)引頭視場范圍內(nèi)，由（2）和（6）式可得

由（7）式可知，如果已知制導(dǎo)結(jié)束時刻目標(biāo)的航跡角θT（tf），對于所期望的導(dǎo)彈攻擊角θd，命中時刻存在唯一的導(dǎo)彈彈道傾角θM（tf）與之對應(yīng)，繼而由（6）式和（8）式可得制導(dǎo)結(jié)束時刻的期望視線角qd.因此，考慮攻擊角約束的制導(dǎo)律設(shè)計問題就成了設(shè)計合適的制導(dǎo)指令，使彈目相對運(yùn)動的終端視線角滿足q（tf）=qd.

如果已知θT（tf）和qd，那么存在唯一的θM（tf）滿足（6）式～（8）式。

2 考慮攻擊角約束的導(dǎo)彈GNISMGL設(shè)計

在制導(dǎo)律設(shè)計之前，首先引入滑模控制中關(guān)于有限時間穩(wěn)定性的定義和判別準(zhǔn)則。

定義1［25］考慮如下系統(tǒng)：

式中：f（x）:D→Rn是定義在D上取值于n維空間Rn且滿足局部Lipschitz連續(xù)性函數(shù)。對于所考慮的系統(tǒng)（10）式，f（x）:U→Rn為半開域U上對x連續(xù)的函數(shù)，且半開域U包含原點(diǎn)。有限時間收斂是對?x0∈U0?Rn，存在一個連續(xù)函數(shù)T（x）:U0｛0｝→（0，+∞），使得系統(tǒng)（（10）式）的解x（x0，t）滿足：當(dāng)t∈［0，T（x0）］時，存在x（x0，t）∈U0｛0｝和；當(dāng)t＞T（x0）時，存在x（x0，t）= 0.假設(shè)系統(tǒng)（（10）式）的平衡點(diǎn)為x=0，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)是強(qiáng)穩(wěn)定的且有限時間收斂的，系統(tǒng)的平衡點(diǎn)x=0為有限時間穩(wěn)定。若U=U0=Rn，則平衡點(diǎn)全局有限時間穩(wěn)定。

引理1［25］對于系統(tǒng)（（10）式），假設(shè)存在連續(xù)的可微函數(shù)V:U→R滿足下列條件：

1）V是正定函數(shù)；

2）存在正實(shí)數(shù)c＞0和0＜α＜1，以及一個包含原點(diǎn)的開鄰域，使得條件，成立。

則系統(tǒng)（（10）式）是有限時間穩(wěn)定的。收斂時間T與系統(tǒng)狀態(tài)的初始值x（0）=x0有關(guān)，收斂時間的上界為，其中x0為原點(diǎn)某一開鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)。若且V（x）為徑向無界的，則系統(tǒng)（（10）式）是全局有限時間穩(wěn)定的。

假設(shè)導(dǎo)彈的自動駕駛儀為理想環(huán)節(jié)，則aM= ac，ac為制導(dǎo)過程中導(dǎo)彈運(yùn)動的法向加速度指令。取狀態(tài)變量x1=q，，則制導(dǎo)系統(tǒng)的狀態(tài)方程可以寫成如下形式：

為了克服傳統(tǒng)積分滑?？刂频娜秉c(diǎn)，改善執(zhí)行機(jī)構(gòu)飽和時制導(dǎo)系統(tǒng)的暫態(tài)性能，減小制導(dǎo)末端攻擊角的穩(wěn)態(tài)誤差，同時弱化初始條件對系統(tǒng)暫態(tài)性能的影響，保證導(dǎo)彈在整個制導(dǎo)過程中都具有很強(qiáng)的魯棒性。構(gòu)造如（12）式的全局非線性積分滑模面：

式中：e為制導(dǎo)過程中實(shí)際視線角和期望視線角之間的誤差，e=q-qd，；KP、KI和η為大于0的設(shè)計參數(shù)；g（e）為一類具有“小誤差放大、大誤差飽和”功能的非線性光滑連續(xù)函數(shù)。為了保證系統(tǒng)的初始狀態(tài)位于滑模面上，當(dāng)t=0時，S（0）=0，取

為了說明函數(shù)g（e）的特性，引入如下形式的類勢能函數(shù)［17］：

將（13）式對自變量e求導(dǎo)，可得

式中：φ＞0為誤差成型參數(shù)。非線性連續(xù)函數(shù)G（e）和g（e）的函數(shù)曲線如圖2所示。

圖2 類勢能函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的曲線（φ=1）Fig.2 Curves of quasi potential energy function and its derivative（φ=1）

引理2［17］非線性連續(xù)函數(shù)G（e）和g（e）具有如下性質(zhì)：

1）若e≠0，則G（e）＞0；若e=0，則G（e）= g（e）=0；

2）G（e）為連續(xù)二次可微函數(shù)，當(dāng)|e|＜φ時，g（e）是嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)|e|≥φ時，g（e）為飽和函數(shù)。

由圖2可以看出：當(dāng)系統(tǒng)誤差e小于誤差成型參數(shù)φ時，|g（e）|≥|e|；當(dāng)系統(tǒng)誤差e大于φ時，|g（e）|＜|e|.圖2形象地說明了所設(shè)計的非線性函數(shù)g（e）具有“小誤差放大、大誤差飽和”的作用。通過選擇不同的誤差成型參數(shù)φ來獲得期望的誤差狀態(tài)，從而保證彈目相對運(yùn)動的視線角q更加趨近于期望視線角qd.

將（12）式改寫成（15）式：

對于所構(gòu)造的全局非線性積分滑模面（（15）式）中的參數(shù)選擇而言，增大KP可以有效地減小滑模面偏差，但另一方面，KP影響滑模面變化的穩(wěn)定性，過大的KP會造成滑模面不能穩(wěn)定收斂，系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)散；增大KI可以有效地減小滑模面收斂時的穩(wěn)態(tài)誤差，而過大的KI會使滑模面收斂過程中調(diào)節(jié)時間過長。因此，在設(shè)計時必須合理地選取KP、KI和η，使得S=0.

定理1 對于（11）式所描述的制導(dǎo)系統(tǒng)，?。?5）式形式的全局非線性積分滑模面，在滿足引理1和引理2的基礎(chǔ)上，令切換增益，如果考慮攻擊角約束的導(dǎo)彈GNISMGL中導(dǎo)彈的法向加速度指令滿足：

證明：對（15）式求導(dǎo)可得

將（11）式、（16）式和（17）式代入（18）式中有

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)：

將V1對時間t求導(dǎo)后，可得

由引理1可知，（22）式表明：系統(tǒng)（（11）式）有限時間穩(wěn)定，視線角誤差e=q-qd在有限時間內(nèi)收斂至全局非線性積分滑模面（（15）式）.設(shè)視線角誤差e收斂至滑模面的時間為T1，由引理1可得

（23）式證明了當(dāng)存在外界擾動時滑模面始終收斂于邊界層內(nèi)，消除了到達(dá)過程，視線角誤差e和視線角速率誤差在初始時刻就落在滑模面（（15）式）上。

至此，證明了視線角誤差和視線角速率誤差均能夠漸進(jìn)收斂于0，即視線角速率能夠在有限時間內(nèi)漸進(jìn)收斂于0，同時視線角q能夠在有限時間內(nèi)漸進(jìn)收斂于期望視線角qd.由（15）式可知：

（25）式表明滑模面S經(jīng)過一段時間T1后能夠漸進(jìn)收斂于S=0.由此定理1得證。

定理2 對于系統(tǒng)（（11）式），?。?2）式形式的滑模面，當(dāng)導(dǎo)彈命中目標(biāo)時，視線角誤差滿足

證明：由（19）式可知，令

則

對（28）式兩邊同取拉氏變換，有

式中：ζ為Laplace算子。根據(jù)終值定理有

因?yàn)?/p>

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)為

（34）式沿（32）式求導(dǎo)得

即

3 考慮自動駕駛儀動態(tài)特性和攻擊角約束的導(dǎo)彈GNISMGL設(shè)計

3.1 制導(dǎo)律設(shè)計

在實(shí)際制導(dǎo)過程中，自動駕駛儀通過產(chǎn)生相應(yīng)的控制力或控制力矩對制導(dǎo)回路產(chǎn)生的過載指令進(jìn)行跟蹤，但導(dǎo)彈實(shí)際產(chǎn)生的過載和過載指令之間存在一定的滯后，從而影響制導(dǎo)精度。因此，研究考慮自動駕駛儀動態(tài)特性的制導(dǎo)律具有一定的實(shí)際意義。

將具有高階動力學(xué)特性的自動駕駛儀近似成2階動態(tài)環(huán)節(jié)：

式中：aM為制導(dǎo)過程中導(dǎo)彈實(shí)際的法向加速度；u為制導(dǎo)回路產(chǎn)生的法向加速度指令；ξ和ωn分別為導(dǎo)彈自動駕駛儀的阻尼比和固有頻率。

定義兩個新的狀態(tài)：x3=aM和.聯(lián)立（11）式和（40）式有

針對非線性時變系統(tǒng)（（41）式），結(jié)合全局非線性積分滑?？刂品椒ê蛣討B(tài)面控制方法，設(shè)計考慮攻擊角約束和自動駕駛儀動態(tài)特性的制導(dǎo)律。

動態(tài)面控制方法是一種在Backstepping和多面滑?？刂苹A(chǔ)上發(fā)展而來的控制方法［22］。這種方法在制導(dǎo)律設(shè)計中的應(yīng)用避免了對模型狀態(tài)變量——視線角速率的2階微分，克服了Backstepping中的“微分膨脹”問題，而且不需要對系統(tǒng)干擾項(xiàng)的光滑性進(jìn)行約束，降低了整個系統(tǒng)設(shè)計的復(fù)雜度。

步驟1 設(shè)計x3虛擬控制量.

定義第1個動態(tài)面為

將S1對時間t求導(dǎo)，有

式中：K2為正實(shí)數(shù)。將通過一個時間常數(shù)為τ3＞0的一階低通濾波器，可得濾波后的虛擬控制量x3d：

步驟2 設(shè)計x4的虛擬控制量

定義第2個動態(tài)面為

將S2對時間t求導(dǎo)，有

選擇虛擬控制量x4，使S2→0：

式中：K3為正實(shí)數(shù)。將通過一個時間常數(shù)為τ4＞0的1階低通濾波器，可得濾波后的虛擬控制量x4d：

步驟3 設(shè)計實(shí)際控制量u.

定義第3個動態(tài)面為

將S3對時間t求導(dǎo)，有

設(shè)計實(shí)際控制量u，使S3→0：

因此，實(shí)際控制量u為

至此，考慮自動駕駛儀動態(tài)特性和攻擊角約束的導(dǎo)彈GNISMGL設(shè)計完成。（53）式即為最終制導(dǎo)回路生成的法向加速度指令。

3.2 穩(wěn)定性分析

下面對所設(shè)計的GNISMGL作用下的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行證明。

首先，定義如下邊界層誤差：

將（54）式和（55）式分別代入（46）式和（50）式中，有

選取閉環(huán)系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)為

將（58）式對時間t求導(dǎo)，有

式中：由Young不等式ab≤a2/2+b2/2可得

考慮到（1）式～（4）式中的相關(guān)參數(shù)及其導(dǎo)數(shù)均有界，經(jīng)計算可得

式中：χ3和χ4均為連續(xù)正值函數(shù)。給定任意正數(shù)κ，存在集合Bκ=｛（S1，S2，S3，y3，y4）T:V≤κ｝為一個緊集。因此，連續(xù)函數(shù)χ3和χ4在Bκ上有最大值，分別記為M3和M4.其中M3由KP、KI、K2和ε決定，而M4則由KP、KI、ε、K2、K3和τ3決定。由此可得。

由上面分析可知：

式中：α為一正數(shù)，則有

因此，S1、S2、S3、y3和y4均一致最終有界，繼而x1、x2、x3、x4、x3d、x4d、x3、x4也一致最終有界。對于任意選定的KP、KI、η和ε，當(dāng)選定的設(shè)計參數(shù)Ki（i=2，3，4）足夠大，且τi（i=3，4）足夠小，則α將足夠大，那么就可以使ρ/α任意小。這意味著，可以使S1最終有界任意小，即視線角誤差e和視線角速率誤差均最終有界任意小。

綜上所述，可以得到如下定理。

定理3 考慮在引理1和引理2約束下的系統(tǒng)（（41）式）和所設(shè)計GNISMGL產(chǎn)生的法向加速度指令（（53）式）所組成的閉環(huán)系統(tǒng)。對于任意選定的KP、KI、η和ε，當(dāng)選定的設(shè)計參數(shù)Ki（i=2，3，4）足夠大，且τi（i=3，4）足夠小，可以使S1最終有界任意小，即視線角誤差e和視線角速率誤差e·均最終有界任意小。

4 仿真結(jié)果

為了驗(yàn)證本文所提的考慮攻擊角約束和自動駕駛儀動態(tài)特性的導(dǎo)彈GNISMGL的有效性和優(yōu)越性，本節(jié)針對導(dǎo)彈攔截機(jī)動目標(biāo)的末制導(dǎo)段進(jìn)行數(shù)值仿真。

仿真實(shí)驗(yàn)中，導(dǎo)彈和目標(biāo)均在鉛垂平面內(nèi)運(yùn)動，仿真步長為0.01 s.導(dǎo)彈初始位置為xM（0）=0 m，yM（0）=0 m；目標(biāo)初始位置為xT（0）=4 330 m，yT（0）=2 550 m.假設(shè)末制導(dǎo)段導(dǎo)彈無推力作用，即，導(dǎo)彈飛行速度為vM=600 m/s，初始彈道傾角為θM（0）=60°，導(dǎo)彈自動駕駛儀阻尼比為ξ=0.5，固有頻率為ωn=10 rad/s；期望視線角qd= 20°；目標(biāo)的初始速度為vT（0）=300 m/s，初始航跡角為θT（0）=0°，g=9.8 m/s2.對于目標(biāo)的機(jī)動性分以下兩種情況進(jìn)行仿真分析。

算例2 目標(biāo)做非周期性機(jī)動，即

所設(shè)計的考慮攻擊角約束和自動駕駛儀動態(tài)特性導(dǎo)彈GNISMGL的參數(shù)設(shè)計為KP=1.5，KI=1，η=5，φ=0.003，ε=70，K2=6 000，K3=10，K4=10，τ3=τ4=0.01.

同時，為了進(jìn)一步說明本文GNISMGL的優(yōu)越性，將該方法與傳統(tǒng)線性積分滑模制導(dǎo)律［27］（LISMGL）和BPNGL進(jìn)行對比。BPNGL所生成的法向加速度指令為.對于LISMGL的設(shè)計，選取如下滑模面：

則LISMGL所生成的法向加速度指令為

同樣，考慮自動駕駛儀動態(tài)特性設(shè)計導(dǎo)彈的LISMGL，選擇LISMGL參數(shù)為k1=8，k2=12，ε=70，其余參數(shù)與上文所述相同。

為了抑制符號函數(shù)對SMGL律帶來的控制量高頻顫振問題，對其進(jìn)行光滑處理，采用如（73）式所示連續(xù)飽和函數(shù)代替制導(dǎo)律中的符號函數(shù)sgn（·）.

式中：δ為消顫因子，仿真中取δ=0.001.

圖3為攔截過程中彈目相對運(yùn)動曲線。對于攔截兩類機(jī)動目標(biāo)，從整體上看，GNISMGL和LISMGL由于均采用了積分滑模方法，二者作用下的導(dǎo)彈運(yùn)動軌跡存在一定的相似性。與BPNGL相比，在保證有效打擊的前提下，GNISMGL使導(dǎo)彈的攔截時間更短，攻擊角更為理想。

圖4和圖5分別為制導(dǎo)過程中彈目相對運(yùn)動的視線角速率和視線角變化曲線。從圖4和圖5中可以看出：當(dāng)目標(biāo)機(jī)動運(yùn)動時，GNISMGL能夠保證視線角速率快速、穩(wěn)定收斂于0，且收斂速度優(yōu)于LISMGL和BPNGL，可以更為有效地實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)的準(zhǔn)確打擊；與此同時，由于采用了非線性積分滑模面（（15）式），在制導(dǎo)過程末端，GNISMGL保證視線角能夠更加準(zhǔn)確地收斂于期望視線角qd=20°，視線角收斂時的穩(wěn)態(tài)誤差更小，從而保證導(dǎo)彈以更加接近期望攻擊角的角度對目標(biāo)實(shí)施攔截打擊。

圖3 彈目相對運(yùn)動軌跡Fig.3 Curves of relative movements between missile and target

圖4 視線角速率變化曲線Fig.4 Curves of light of sight angle rate

圖6為考慮攻擊角約束和自動駕駛儀動態(tài)特性的導(dǎo)彈GNISMGL、LISMGL和BPNGL 3種制導(dǎo)律產(chǎn)生的導(dǎo)彈法向過載指令變化曲線。如圖6所示，GNISMGL有效減小了導(dǎo)彈末端的需用法向過載。特別是，在算例2中，當(dāng)t=7 s和t=10 s時，由于目標(biāo)機(jī)動性的影響，目標(biāo)加速度發(fā)生突變，導(dǎo)彈自身的法向過載指令也會發(fā)生突變。從圖6中可以看出，較之LISMGL和BPNGL，GNISMGL抑制目標(biāo)機(jī)動變化的能力更強(qiáng)，且使導(dǎo)彈在面對目標(biāo)機(jī)動突變時所需的法向過載更小。在制導(dǎo)末端，由于導(dǎo)引頭停止工作，LISMGL和BPNGL會出現(xiàn)需用過載顫振或發(fā)散現(xiàn)象，而GNISMGL有效抑制了該現(xiàn)象，保證了導(dǎo)彈對機(jī)動目標(biāo)的精確打擊。同時，GNISMGL所需的法向過載平穩(wěn)變化且小于LISMGL和BPNGL.因此，GNISMGL雖然在制導(dǎo)初期使得導(dǎo)彈的需用過載達(dá)到限幅，但其降低了導(dǎo)彈攔截末段的需用過載，提高了導(dǎo)彈武器的可靠性，當(dāng)導(dǎo)彈可用過載一定時，能夠使導(dǎo)彈有效地攻擊機(jī)動性更高的目標(biāo)。

圖5 視線角變化曲線Fig.5 Curves of light of sight angle

圖6 法向過載指令曲線Fig.6 Curves of commands of normal overload

圖7為GNISMGL和LISMGL中滑模面對比曲線。所設(shè)計的全局非線性積分滑模面中由于存在非線性積分項(xiàng)和全局時變項(xiàng)Λexp（-ηt），使得制導(dǎo)開始時刻滑模面S=0，系統(tǒng)的狀態(tài)就落在滑模面上，制導(dǎo)系統(tǒng)在全局過程中均具有很強(qiáng)的魯棒性。此外，所設(shè)計的非線性積分項(xiàng)改善了滑模面收斂前的暫態(tài)性能，減小了滑模面收斂于S=0時的穩(wěn)態(tài)誤差，保證攻擊時刻導(dǎo)彈的攻擊角更接近所設(shè)計的期望攻擊角。

圖7 滑模面變化曲線Fig.7 Curves of sliding mode surface

圖8給出了攔截過程中彈目相對距離的變化情況，可以看出GNISMGL能夠保證導(dǎo)彈以更小的脫靶量命中目標(biāo)，保證了導(dǎo)彈對目標(biāo)的有效攔截。此外，為了驗(yàn)證考慮自動駕駛儀動態(tài)特性的GNISMGL設(shè)計的工程意義，圖9給出它與傳統(tǒng)的GNISMGL設(shè)計產(chǎn)生的法向過載指令對比曲線。傳統(tǒng)的GNISMGL設(shè)計產(chǎn)生的法向過載指令為

式中：aMc為傳統(tǒng)的GNISMGL設(shè)計產(chǎn)生法向過載指令。由圖9可以看出，考慮自動駕駛儀動態(tài)特性的GNISMGL設(shè)計消除了制導(dǎo)回路和控制系統(tǒng)之間的延遲和動態(tài)特性，減小了過載指令的響應(yīng)時間，降低了由于自動駕駛儀動態(tài)特性對目標(biāo)機(jī)動時系統(tǒng)制導(dǎo)精度的影響。

圖8 彈目相對距離變化曲線Fig.8 Curves of relative distance between missile and target

表1為兩種算例下GNISMGL、LISMGL和BPNGL 3種制導(dǎo)律的制導(dǎo)參數(shù)對比情況。由表1中數(shù)據(jù)可以看出，當(dāng)目標(biāo)機(jī)動運(yùn)動，GNISMGL能夠保證導(dǎo)彈以更小的脫靶量和更為理想的攻擊角對目標(biāo)實(shí)施攔截打擊，全面驗(yàn)證了GNISMGL的有效性和優(yōu)越性。

圖9 法向過載指令對比曲線Fig.9 Contrast curves of command of normal overload

表1 GNISMGL、LISMGL和BPNGL的制導(dǎo)仿真結(jié)果比較Tab.1 Comparison among the guidance simulation results of GNISMGL，LISMGL and BPNGL

為了進(jìn)一步說明GNISMGL在攔截過程中的魯棒性，考慮導(dǎo)引頭對彈目相對運(yùn)動相關(guān)狀態(tài)量存在±2%的測量誤差，假設(shè)：

同時對于算例2中的做非周期性機(jī)動的目標(biāo)以5種不同的初始彈道傾角實(shí)施攔截打擊（即初始彈道傾角θM（0）分別為0°、30°、60°、90°、120°，其他初始條件與制導(dǎo)系統(tǒng)參數(shù)不變，仿真結(jié)果如表2所示。

表2 不同初始條件下的GNISMGL的制導(dǎo)仿真結(jié)果比較Tab.2 Comparison between the guidance simulation results of GNISMGL under different initial conditions

表2為初始彈道傾角不同，導(dǎo)彈最終命中目標(biāo)時的仿真結(jié)果。由表2可以看出，由于考慮導(dǎo)引頭存在探測誤差，當(dāng)考慮自動駕駛儀的動態(tài)特性時，在不同初始條件下GNISMGL能夠保證制導(dǎo)系統(tǒng)的脫靶量小于1 m，終端視線角與期望視線角之間的誤差小于5°.因此，當(dāng)存在導(dǎo)引頭測量偏差時，采用不同的初始發(fā)射角（彈道傾角）均能保證導(dǎo)彈在滿足所需攻擊角的情況下對非周期性機(jī)動目標(biāo)的精確打擊。圖10形象地表示了不同情況下攔截過程中彈目相對運(yùn)動軌跡，從而表明了所設(shè)計的GNISMGL對測量誤差和不同初始條件具有強(qiáng)魯棒性。

圖10 不同初始條件下的彈目運(yùn)動軌跡Fig.3 Curves of engaged movements between missile and target under different initial conditions

圖11和圖12為不同初始條件下彈目視線角和視線角速率的變化曲線。由圖11和圖12可以看出，在不同初始條件下，當(dāng)考慮導(dǎo)引頭測量偏差時，導(dǎo)彈在攔截過程中均能保證視線角有效收斂于期望視線角qd=20°，視線角速率收斂于0.由于存在如（68）式所示的測量誤差，在GNISMGL作用下，視線角和視線角速率并未出現(xiàn)明顯的發(fā)散，只是出現(xiàn)了在期望值附近呈正弦形式的上下波動。因此，說明了在制導(dǎo)系統(tǒng)對期望值的跟蹤過程中，GNISMGL對外界擾動具有很強(qiáng)的抑制作用。

圖11 不同初始條件下視線角變化曲線Fig.11 Curves of light of sight angle under different initial conditions

圖12 不同初始條件下視線角速率變化曲線Fig.12 Curves of light of sight angle rate under different initial conditions

如圖13所示，所設(shè)計的全局非線性積分滑模面中由于全局時變項(xiàng)Λexp（-ηt），盡管仿真開始時初始條件不同，但仍保證制導(dǎo)開始時刻滑模面S=0，從而使得制導(dǎo)系統(tǒng)在全局過程中均具有很強(qiáng)的魯棒性。同時，從圖13可以看出，雖然仿真過程中存在測量精度上的干擾，繼而引起對狀態(tài)量測量存在攝動，但所設(shè)計的全局非線性積分滑模面在保證很小穩(wěn)態(tài)誤差的前提下，最終均能收斂于0，很大程度上說明了所設(shè)計的GNISMGL是一種對于已知或未知的系統(tǒng)不確定性具有很好魯棒性和穩(wěn)定性的制導(dǎo)律。圖14和圖15分別表示了在不同初始條件下攔截過程中彈目相對距離的變化情況和導(dǎo)彈需用法向過載的變化情況。仿真結(jié)果表明，GNISMGL能夠保證導(dǎo)彈在需用法向過載限制范圍內(nèi)即便以不同的初始發(fā)射條件，均能保證對目標(biāo)的精確打擊。

圖13 不同初始條件下滑模面變化曲線Fig.13 Curves of sliding mode surface under different initial conditions

圖14 不同初始條件下彈目相對距離變化曲線Fig.14 Curves of relative distance between missile and target under different initial conditions

圖15 不同初始條件下導(dǎo)彈法向過載變化曲線Fig.15 Curves of normal overload of missile under different initial conditions

5 結(jié)論

針對導(dǎo)彈攔截機(jī)動目標(biāo)的問題，考慮攻擊角約束和自動駕駛儀動態(tài)特性，結(jié)合積分滑模和全局滑模的控制方法，設(shè)計了一種全新的非線性積分滑模制導(dǎo)律，并與傳統(tǒng)積分滑模制導(dǎo)律和BPNGL進(jìn)行對比。仿真結(jié)果說明了所設(shè)計的GNISMGL能夠?qū)C(jī)動目標(biāo)實(shí)現(xiàn)精確攔截打擊，同時有效改善了制導(dǎo)系統(tǒng)的暫態(tài)性能，使系統(tǒng)在整個制導(dǎo)過程中均具有很強(qiáng)的魯棒性，減小了滑模面收斂時的穩(wěn)態(tài)誤差，保證導(dǎo)彈能夠在制導(dǎo)末端具有更為理想的攻擊角。同時針對不同初始條件下的機(jī)動目標(biāo)攔截問題，全面驗(yàn)證了GNISMGL的有效性和優(yōu)越性。

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A Novel Sliding Mode Guidance Law with Impact Angle Constraint for Maneuvering Target Interception

ZHANG Yao，GUO Jie，TANG Sheng-jing，SHANG Wei，ZHANG Hao-qiang
（Key Laboratory of Dynamics and Control of Flight Vehicle of Ministry of Education，School of Aerospace Engineering，Beijing Institute of Technology，Beijing 100081，China）

A novel missile sliding mode guidance law（SMGL）in which a missile intercepts maneuvering target is proposed，which is based on a combination of the advantages of integral sliding mode control and global sliding mode control.The relative motion equations of missile and target，in which the impact angle constraints are considered，are established within the perpendicular plane.A new nonlinear saturation function is adopted to construct an integral term in global integral sliding mode surface，and then an improved nonlinear global integral sliding mode control technique is presented，which solves the problem about system transient performance deterioration and decreases the steady state errors.It is obvious that the designed guidance law enables the missile to hit target at a desirable impact angle in finite time，and the missile to be of strong robustness during the whole interception.The missile global nonlinear integral SMGL in which the autopilot dynamics and impact angle constraints are considered is investigated by adopting dynamic surface control.It is demonstrated that all states in the closed loop system are ultimatelybounded on the account of Lyapunov stability theorem.The simulation results verify the effectiveness and superiority of global nonlinear integral SMGL.

control and navigation technology of aircraft；guidance law；global nonlinear integral sliding mode；dynamic surface control；impact angle constraint

TN765.1

A

1000-1093（2015）08-1443-15

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.08.011

2014-10-10

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11202024）；航空科學(xué)基金項(xiàng)目（2012ZA720002）

張堯（1991—），男，博士研究生。E-mail：bit_fsdzhangyao@sina.com；郭杰（1981—），男，講師。E-mail：guojie1981@bit.edu.cn；唐勝景（1959—），男，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail：tangsj@bit.edu.cn