董振樂(lè)，姚建勇，馬大為

（南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇南京210094）

輸入受限時(shí)電機(jī)伺服系統(tǒng)漸近跟蹤控制

董振樂(lè)，姚建勇，馬大為

（南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇南京210094）

參數(shù)不確定性、不確定非線性（特別是非線性摩擦）以及輸入受限等非線性問(wèn)題在電機(jī)伺服系統(tǒng)中廣泛存在，針對(duì)以上諸多問(wèn)題，建立了包含連續(xù)可微摩擦模型的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，提出了一種基于誤差符號(hào)積分魯棒控制器的新型控制方法。該方法能實(shí)現(xiàn)在輸入受限時(shí)和外干擾作用下的漸近跟蹤。采用Lyapunov函數(shù)從理論上證明控制器的漸近穩(wěn)定性。仿真對(duì)比結(jié)果表明，該控制方法在輸入受限時(shí)展現(xiàn)了優(yōu)良的跟蹤精度和響應(yīng)速度，且具有較強(qiáng)的魯棒性。

控制科學(xué)與技術(shù)；電機(jī)伺服系統(tǒng)；誤差符號(hào)積分魯棒；輸入受限；漸近跟蹤；建模不確定性；連續(xù)摩擦補(bǔ)償

0 引言

電機(jī)伺服系統(tǒng)具有響應(yīng)速度快、維護(hù)方便、傳動(dòng)效率高及能源獲取方便等突出優(yōu)點(diǎn)，在工業(yè)和國(guó)防領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用［1-3］。近年來(lái)這些領(lǐng)域的蓬勃發(fā)展，使得對(duì)新型電機(jī)伺服系統(tǒng)控制器的需求變得迫切，以滿足越來(lái)越苛刻的性能指標(biāo)。

電機(jī)伺服系統(tǒng)存在諸多的模型不確定性，包括參數(shù)不確定性（如電氣增益、隨溫度及磨損變化的摩擦特性參數(shù)等）和不確定非線性（如未建模外干擾、非線性摩擦［4］、輸入受限等），這些不確定性的存在，給控制器的設(shè)計(jì)帶來(lái)很大難度。

針對(duì)以上諸多復(fù)雜問(wèn)題，先進(jìn)控制策略的研究工作已大量開(kāi)展，目前常用的控制方法有自適應(yīng)［3］、滑模［5］、自適應(yīng)魯棒［6-7］、誤差符號(hào)積分［8-9］等。自適應(yīng)控制對(duì)參數(shù)不確定性和不確定非線性中的可參數(shù)化部分，可以有效地估計(jì)并實(shí)現(xiàn)一定的模型補(bǔ)償［2］，然而對(duì)于不可參數(shù)化的不確定非線性項(xiàng)，自適應(yīng)控制無(wú)能為力，這一定程度上限制了其在高精度跟蹤控制場(chǎng)合的適用性；滑模控制方法簡(jiǎn)單，且對(duì)于存在有界干擾的系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)漸近的跟蹤控制，然而滑?？刂破髦胁贿B續(xù)符號(hào)函數(shù)所帶來(lái)的顫振現(xiàn)象，易導(dǎo)致系統(tǒng)控制性能的衰減，甚至容易激發(fā)系統(tǒng)的高頻未建模動(dòng)態(tài)［5］，造成系統(tǒng)失穩(wěn)，現(xiàn)有的改善滑模抖動(dòng)措施的控制方法較少且復(fù)雜；自適應(yīng)魯棒控制兼顧了系統(tǒng)的參數(shù)不確定性和不確定非線性，在工業(yè)領(lǐng)域得到了較好的嘗試［6-7］，然而自適應(yīng)魯棒控制中的魯棒項(xiàng)，其設(shè)計(jì)依賴于所有不確定項(xiàng)的最大上界，這必然帶來(lái)高增益反饋的保守性，當(dāng)外干擾逐漸增大時(shí)，這種保守型將愈發(fā)明顯，此外在干擾存在的情況下，自適應(yīng)魯棒控制器只可實(shí)現(xiàn)有界穩(wěn)定；誤差符號(hào)積分魯棒控制可以實(shí)現(xiàn)存在不確定非線性的情況下的漸近跟蹤控制［8］，在機(jī)械手［9］、電液伺服系統(tǒng)［10］上得到了很好的應(yīng)用。然而，以上各控制方法在應(yīng)用時(shí)對(duì)于系統(tǒng)輸入受限并未考慮。

輸入受限是指由于實(shí)際系統(tǒng)限制（如伺服驅(qū)動(dòng)器的輸入電壓幅值限制、特殊工作場(chǎng)合的需求等），系統(tǒng)的輸入電壓需要滿足一定的范圍。然而在實(shí)際系統(tǒng)中，倘若出現(xiàn)諸如初始位置不匹配、突然過(guò)載等惡劣工況，常常會(huì)導(dǎo)致輸入電壓在某一段時(shí)間突然增大，超出所限制的范圍，一旦發(fā)生類似情況，必然導(dǎo)致基于正常工況設(shè)計(jì)的控制器的控制性能受損，最終影響系統(tǒng)的跟蹤性能。因此在控制器設(shè)計(jì)時(shí)有必要考慮輸入受限問(wèn)題。針對(duì)系統(tǒng)輸入受限問(wèn)題，目前主要的解決方法有抗飽和設(shè)計(jì)［11］和模型預(yù)測(cè)控制［12］等?？癸柡驮O(shè)計(jì)常常需要對(duì)系統(tǒng)信號(hào)施加特定約束，由此必然帶來(lái)控制器設(shè)計(jì)的保守性；而模型預(yù)測(cè)控制器往往難以兼顧系統(tǒng)參數(shù)不確定性和不確定非線性，這限制了其對(duì)于一般電機(jī)伺服系統(tǒng)的適用性。文獻(xiàn)［13］針對(duì)直線電機(jī)伺服系統(tǒng)，同時(shí)考慮了系統(tǒng)參數(shù)不確定性和不確定非線性，設(shè)計(jì)了輸入受限控制器，然而其在理論上只能保證有界穩(wěn)定。文獻(xiàn)［14］在誤差符號(hào)積分魯棒控制器的基礎(chǔ)上，采用雙曲正切函數(shù)，實(shí)現(xiàn)了輸入受限時(shí)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定控制，然而文獻(xiàn)［14］中對(duì)于系統(tǒng)參數(shù)不確定性并未考慮。

本文針對(duì)電機(jī)伺服系統(tǒng)，首先建立包含連續(xù)可微摩擦模型［15］的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，同時(shí)考慮系統(tǒng)參數(shù)不確定性和不確定非線性，然后在誤差符號(hào)積分魯棒控制器的基礎(chǔ)上，采用雙曲正切函數(shù)［14］，對(duì)系統(tǒng)控制量幅值進(jìn)行了合理規(guī)劃，不僅實(shí)現(xiàn)了在系統(tǒng)參數(shù)不確定性和不確定非線性存在下的漸近跟蹤性能，同時(shí)避免了因輸入受限導(dǎo)致的控制器失效，最后仿真對(duì)比結(jié)果驗(yàn)證了控制器的有效性。

1 問(wèn)題描述及數(shù)學(xué)模型

本文所考慮電機(jī)伺服系統(tǒng)原理圖如圖1所示，由伺服驅(qū)動(dòng)器驅(qū)動(dòng)伺服電機(jī)直接帶動(dòng)慣性負(fù)載做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。由于系統(tǒng)電氣部分響應(yīng)速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于機(jī)械部分，故本文建模時(shí)將忽略電流環(huán)動(dòng)態(tài)［3］，根據(jù)牛頓第二定律，系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為

式中：m為慣性負(fù)載，ki為電壓力矩增益；Δ為未建模干擾項(xiàng)；為非線性摩擦項(xiàng)，其具體形式為

式中：r1、r2、r3為表征摩擦特性的權(quán)重因子；s1、s2、s3為表征不同摩擦部分的形狀因子。該連續(xù)摩擦模型可以較好地逼近系統(tǒng)低速運(yùn)動(dòng)時(shí)的Stribeck效應(yīng)［4］。

圖1 電機(jī)伺服系統(tǒng)原理示意圖Fig.1 Schematic diagram of motor servo system

式中：θ1=r1/ki；θ2=r2/ki；θ3=r3/ki；f1（x2）= tanh（s1x2）-tanh（s2x2）；f2（x2）=tanh（s3x2）；為已知等效慣性負(fù)載。

在控制器設(shè)計(jì)之前，先作以下假設(shè)［8］：時(shí)變非線性項(xiàng)d（t）存在2階導(dǎo)數(shù)，且1階、2階導(dǎo)數(shù)均有界，即滿足，，σ1和σ2為已知常數(shù)。

2 控制器設(shè)計(jì)

定義如下系列誤差量：

式中：x1d為位置跟蹤指令；z1=x1-x1d為系統(tǒng)跟蹤誤差；r和zf為輔助誤差量，用于隨后的控制器設(shè)計(jì)，其中r不出現(xiàn)在最終控制律中；k1、k2、kr1、kr2均為正的反饋增益。

結(jié)合（3）式和（4）式可得

式中：

設(shè)計(jì)系統(tǒng)控制輸入為

式中：ua表示模型補(bǔ)償控制器；us表示魯棒控制器；ν表示虛擬輔助控制量；β表示正的可調(diào)參數(shù)；γ1表示一個(gè)正實(shí)數(shù)用于調(diào)節(jié)魯棒控制器；表示系統(tǒng)各未知參數(shù)估計(jì)值；表示參數(shù)自適應(yīng)律；Γ表示自適應(yīng)回歸參數(shù)對(duì)角矩陣；，表示基于指令的參數(shù)回歸器。

由于信號(hào)r中含有較難獲取的加速度信息，所以實(shí)際應(yīng)用時(shí)參數(shù)估計(jì)值的計(jì)算方法如（7）式中第6個(gè)式子所示。

分析（7）式中系統(tǒng)控制器的構(gòu)成可知：模型補(bǔ)償控制器ua僅與參數(shù)估計(jì)和指令及其各階導(dǎo)數(shù)有關(guān)，必然始終有界；由性質(zhì)-1≤tanh（ν）≤1可知魯棒控制器us也始終有界，且上界可由參數(shù)γ1調(diào)節(jié)，從而保證了控制輸入始終穩(wěn)定在已知界內(nèi)。

將（7）式代入（5）式，可得

定義Lyapunov函數(shù)如下：

式中P的選取如（11）式［8］：

結(jié)合（4）式和（11）式可知（12）式成立［2，8］：

顯然，若選取β≥（σ1+σ2/k2）/γ1，可保證P始終非負(fù)，則Lyapunov函數(shù)（9）式成立。進(jìn)一步對(duì)（9）式求導(dǎo)可得

其證明過(guò)程如下：

首先，由（4）式可得

根據(jù)中值定理可得［2］

將（11）式、（16）式以及（7）式中設(shè)計(jì)的自適應(yīng)律代入（13）式，進(jìn)一步可得

式中：矩陣Λ的定義為

矩陣Λ中各參數(shù)定義如下：

通過(guò)合理的設(shè)計(jì)參數(shù)k1、k2、kr1、kr2、γ1使矩陣Λ為正定矩陣，可使（20）式成立：

式中：λmin（Λ）表示矩陣Λ的最小特征值。分析（20）式可知V有界，同時(shí)W∈L2，進(jìn)而可知誤差量z1、z2、r、tanh（zf）均有界，結(jié)合（3）式、（4）式、（8）式可知，系統(tǒng)中所有信號(hào)均有界，從而可知有界，由Barbalat引理可知［3］，當(dāng)t→∞，W→0，也即z1→0，從而實(shí)現(xiàn)在輸入受限時(shí)的漸近跟蹤控制。

本文設(shè)計(jì)的控制器的示意圖如圖2所示。

圖2 控制器示意圖Fig.2 Block diagram of the proposed control algorithm

3 仿真結(jié)果及分析

電機(jī)伺服系統(tǒng)慣性負(fù)載：m=0.01 kg·m2；電壓力矩增益：ki=5 N·m/V；摩擦特性的權(quán)重因子：r1= 0.1 N·m，r2=0.05 N·m，r3=1.025 N·m；摩擦形狀因子［4］：s1=700 s/rad，s2=15 s/rad，s3=1.5 s/rad.

為了充分驗(yàn)證本文控制方法對(duì)于存在輸入受限的電機(jī)伺服系統(tǒng)的有效性，選取工程實(shí)際中大量使用的PID控制器作為對(duì)比進(jìn)行仿真驗(yàn)證，其各參數(shù)由Matlab自帶的PID工具箱自整定得到。

系統(tǒng)跟蹤位置指令選取為：x1d= 2［sin（0.5πt）］［1-exp（-0.1t2）］（如圖3所示）；系統(tǒng)外干擾的選取為d=0.5sin（πt）.

圖3 位置跟蹤指令Fig.3 Position tracking trajectory

本文設(shè)計(jì)控制器（7）式（記為SARISE）各參數(shù)選取為：反饋增益參數(shù)：k1=3，k2=700，kr1=1，kr2=1.2；魯棒項(xiàng)調(diào)節(jié)增益為：γ1=10；自適應(yīng)回歸參數(shù)：Γ1=2×10-4，Γ2=6.5×10-4，Γ3=7.5×10-3；參數(shù)β=0.1.

選取系統(tǒng)控制輸入電壓約束值為|u|≤2 V，系統(tǒng)初值位移x1（0）=1 rad.

仿真對(duì)比結(jié)果如圖4～圖6所示。

圖4 控制輸入Fig.4 Control input

圖5 跟蹤誤差Fig.5 Tracking error

圖6 各參數(shù)估計(jì)值Fig.6 Estimates of the parameters

圖4代表系統(tǒng)控制輸入對(duì)比曲線，從圖4中可以看出：PID控制器在初始段出現(xiàn)了較大的震蕩，這是因?yàn)榭刂戚斎腚妷杭s束值的存在，而不匹配的初始狀態(tài)使得PID控制器下的控制量在初始段超過(guò)了該約束值；本文提出控制方法中雙曲正切函數(shù)可實(shí)現(xiàn)對(duì)控制量較好的規(guī)劃作用，從而保證控制輸入在冒犯輸入約束值能及時(shí)降幅并穩(wěn)定在系統(tǒng)允許的約束值之內(nèi)。穩(wěn)態(tài)段兩控制器無(wú)明顯差別。

圖5給出系統(tǒng)跟蹤誤差對(duì)比曲線，從中可以看出：由于初始段的輸入震蕩，PID控制器下的跟蹤誤差在初始段出現(xiàn)較大抖動(dòng)，而本文提出控制方法在初始段較平滑；對(duì)比穩(wěn)態(tài)段的跟蹤精度，PID控制器下跟蹤誤差大約為0.001 rad，而SARISE控制器作用下的跟蹤誤差僅為0.000 4 rad，顯然其控制效果明顯優(yōu)于PID控制器。

圖6給出了系統(tǒng)各參數(shù)的估計(jì)值，顯然在本文設(shè)計(jì)自適應(yīng)律作用下，系統(tǒng)運(yùn)行一段時(shí)間后，各參數(shù)實(shí)現(xiàn)了很好的收斂并趨于穩(wěn)定。需要指出的是，對(duì)于參數(shù)θ2的估計(jì)值，雖圖6中并未完全穩(wěn)定收斂，但整體趨勢(shì)已經(jīng)趨于收斂。參數(shù)θ2估計(jì)曲線中的毛刺現(xiàn)象，是由于采用了相對(duì)較大的自適應(yīng)增益所致，但這并不影響對(duì)參數(shù)θ2估計(jì)收斂性的判斷。

4 結(jié)論

本文提出一種新型電機(jī)伺服系統(tǒng)控制策略，同時(shí)考慮了非線性摩擦、未建模干擾、輸入受限等諸多不確定非線性。首先建立了包含連續(xù)可微摩擦模型的電機(jī)伺服系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，同時(shí)考慮系統(tǒng)參數(shù)不確定性和不確定非線性；然后針對(duì)未建模干擾和輸入受限問(wèn)題，在誤差符號(hào)積分魯棒控制器的基礎(chǔ)上，采用雙曲正切函數(shù)對(duì)控制量進(jìn)行了合理約束，不僅實(shí)現(xiàn)了在參數(shù)不確定性和不確定非線性存在下的漸近跟蹤性能，同時(shí)避免了因輸入受限導(dǎo)致的控制器失效；最后通過(guò)與傳統(tǒng)PID控制器的仿真對(duì)比，較好地驗(yàn)證了控制器的有效性。本文結(jié)論對(duì)電機(jī)伺服系統(tǒng)的新型控制策略的探索具有一定參考價(jià)值。

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Asymptotic Tracking Control of Motor Servo System with Input Constraint

DONG Zhen-le，YAO Jian-yong，MA Da-wei
（School of Mechanical Engineering，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing 210094，Jiangsu，China）

Parameter uncertainties，uncertain nonlinearities（especially the nonlinear frictions）and input constraint are the common problems existing in motor servo systems.For the above problems，a new method，based on the robust integral of the sign of error（RISE）design，is proposed to achieve the asymptotic tracking performance in the presence of parameter uncertainties，uncertain nonlinearities and input constraint.The stability of asymptotic tracking is proved via the Lyapunov analysis.Simulation results illustrate that the proposed approach can be used to achieve the excellent response speed and tracking performance under input constraint，and has a strong robustness.

control science and technology；motor servo system；robust integral of the sign of error；input constraint；asymptotic tracking；modeling uncertainty；continuous friction compensation

TJ393

A

1000-1093（2015）08-1405-06

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.08.005

2014-10-11

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（51305203）；江蘇省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（BK20141402）；江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計(jì)劃項(xiàng)目（KYLX_0397）

董振樂(lè)（1988—），男，博士研究生。E-mail：dong_zhenle@163.com；馬大為（1953—），男，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail：ma-dawei@mail.njust.edu.cn