白金鑫 宋運(yùn)娜

利用函數(shù)迭代生成偽隨機(jī)數(shù)列的方法研究

白金鑫 宋運(yùn)娜

偽隨機(jī)數(shù)列以它的內(nèi)在隨機(jī)性、對(duì)初始條件的高度敏感性以及預(yù)先確定性和可重復(fù)性等特性，在當(dāng)代的密碼學(xué)、通訊、以及仿真實(shí)驗(yàn)等多個(gè)領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用。本文用實(shí)驗(yàn)的方法找出兩個(gè)函數(shù)和迭代生成偽隨機(jī)數(shù)列。并通過分析他們的圖像的混沌行為，找出其生成偽隨機(jī)序列的區(qū)間分別為和判斷它們生成的偽隨機(jī)數(shù)服從均勻分布。通過對(duì)初值加入一個(gè)小擾動(dòng)ε并提取后十一位隨機(jī)數(shù)做對(duì)比，證明了兩個(gè)函數(shù)均對(duì)初值具有敏感性。并通過大量實(shí)驗(yàn)估計(jì)出函數(shù)初值的取值范圍是

偽隨機(jī)序列的混沌系統(tǒng)具有確定性系統(tǒng)中的內(nèi)在隨機(jī)性、對(duì)初始條件高度敏感、長(zhǎng)期不可預(yù)測(cè)性、有界性等特征，這些特性被各種領(lǐng)域所關(guān)注，并被廣泛應(yīng)用到系統(tǒng)控制、密碼學(xué)、保密通訊、信息隱藏中。真正意義下的隨機(jī)數(shù)只存在數(shù)學(xué)理論中，通過計(jì)算機(jī)仿真所產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)又稱為偽隨機(jī)數(shù)。這種內(nèi)在隨機(jī)性被普遍應(yīng)用于密碼學(xué)領(lǐng)域，作為產(chǎn)生密鑰的有效機(jī)制之一。本文的目的是通過函數(shù)迭代的方法，建立一個(gè)符合均勻分布的偽隨機(jī)序列的數(shù)學(xué)模型。經(jīng)過多次嘗試找出符合偽隨機(jī)數(shù)性質(zhì)的迭代函數(shù)，編寫matlab程序，并畫出此隨機(jī)數(shù)的分布圖。通過對(duì)圖形的分析找出此隨機(jī)序列的初值的取值范圍以及常數(shù)的選取范圍，并通過給定初值的小增量ε后，將前后所得的隨機(jī)數(shù)做對(duì)比的方法來檢驗(yàn)此隨機(jī)序列的初值敏感性。最后給出我的猜想及結(jié)論。

實(shí)驗(yàn)原理

本文的實(shí)驗(yàn)原理是根據(jù)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中混沌實(shí)驗(yàn)和分形實(shí)驗(yàn)。

設(shè)D 是實(shí)數(shù)R 的一個(gè)子集，并且又設(shè)f:D →D是一個(gè)連續(xù)映射，用fk表示函數(shù)f 的第k 次迭代，即f0（x）=x ，f1（x）=f（x），f2（x）=f（f（x）），……如果我們將函數(shù)的迭代次數(shù)k=0，1，2，…視為時(shí)刻，而在時(shí)刻k=n的函數(shù)值則是函數(shù)的第n 次迭代值，則給定迭代初值x，則會(huì)通過上面的迭代系統(tǒng)依次產(chǎn)生一個(gè)序列：

此迭代序列稱為離散動(dòng)力系統(tǒng)，對(duì)于給定的迭代初值x，此序列也稱為離散動(dòng)力系統(tǒng)的一條軌道。如果將迭代次數(shù)作為橫軸，迭代值作為縱軸，就可以觀察軌道的性態(tài)，不同的函數(shù)，不同的初值，會(huì)產(chǎn)生不同的結(jié)果。

迭代函數(shù)的選取。在此類函數(shù)中最經(jīng)典的兩個(gè)模型為

偽隨機(jī)數(shù)對(duì)初值的敏感性分析：對(duì)于固定的函數(shù)f 及很小的ε，若初值x0與x0+ε當(dāng)?shù)螖?shù)足夠多的時(shí)候，最終兩條軌道重合（開始的時(shí)候一般不會(huì)重合），則這個(gè)隨機(jī)序列發(fā)生器就沒有實(shí)際的應(yīng)用價(jià)值。因此，生成偽隨機(jī)序列的函數(shù)f要求對(duì)初值具有敏感性，即對(duì)不同的初值，即使相差很小，都不會(huì)產(chǎn)生相同的序列。

實(shí)驗(yàn)過程

利用上述原理編寫的matlab程序程序中的a1和a2為函數(shù)中a的取值范圍，此處給定的初值x=0.8，a1=0，a2=30，可以得到如下圖形。

發(fā)現(xiàn)這個(gè)函數(shù)在a取a≥5以后，y在0附近符合隨機(jī)數(shù)的性質(zhì)，這樣我們保持初值不變，將a值區(qū)間變成15-20，將y值范圍變成（-4，4），這樣只需在程序中加入語句：ylim（［-4，4］）；這樣得到的圖形如下。

從實(shí)驗(yàn)圖形中可以看到，我們得到了服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)序列。

討論這個(gè)隨機(jī)數(shù)列對(duì)初值的敏感性

選取小的ε=0.0000001，初值0.8不變，計(jì)算后取出隨機(jī)數(shù)的后十一位來觀察對(duì)比：（在源程序中最后加入h=t（90：100，2）），將提取的數(shù)字做出如下表格。

X=0.8 X=0.8000001 -5.8181 0.5527 0.0051 11.4135 0.0773 9.2396 1.1499 2.5869 -9.1646 3.5347 -3.3648 -4.0799 3.0104 -3.6611 1.9049 3.7946 -11.1777 -2.3968 -13.8536 -0.8297 12.2066 0.9833

從表格中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)初值有很小的變化ε時(shí)，得到的兩組隨機(jī)數(shù)完全不同，說明這個(gè)隨機(jī)數(shù)列對(duì)初值有敏感性。

討論隨機(jī)數(shù)列初值的取值范圍

信息化建設(shè)過程中，首先要建立信息化的辦公平臺(tái)，通過辦公平臺(tái)，實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)信息的共享和互通有無，提高信息的使用率和高效性，所以加強(qiáng)基礎(chǔ)設(shè)施的建設(shè)，是信息化建設(shè)的基礎(chǔ)內(nèi)容。同時(shí)，企業(yè)中要建立內(nèi)部信息系統(tǒng)，為企業(yè)的工作人員提供便利的信息服務(wù)條件，方便各個(gè)部門能夠進(jìn)行信息的互通，提高了工作的效率，同時(shí)也節(jié)省了許多運(yùn)行成本，最終提高了企業(yè)的管理水平。

從函數(shù)的形式上看，這個(gè)函數(shù)為奇函數(shù)，x取值的正負(fù)只影響到結(jié)果的符號(hào)，不會(huì)影響函數(shù)的收斂性。當(dāng)初值x取0時(shí)，可以得到圖形如下，可以看到這個(gè)序列的值全為0.當(dāng)x不為0時(shí)，經(jīng)過大量實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，得到的均為隨機(jī)數(shù)序列形式。所以猜測(cè)此函數(shù)的初值的取值范圍是x≠0。

對(duì)此函數(shù)取初值0.8，a1=1，a2=10，可得到如下圖形。

從圖中我們可以看出，其混沌行為與logistic函數(shù)比較相似，經(jīng)過試驗(yàn)調(diào)整選擇a1=3.85，a2=4，x=0.8，y的取值范圍為（1，3.5）則有：

取x=0.8000001時(shí)后十一位隨機(jī)數(shù)的對(duì)比：

X=0.8 X=0.8000001 3.0043 3.2508 3.2432 2.7391 2.2126 3.2494 3.7898 2.1966 0.5139 3.7976 1.7532 0.4856 3.8084 1.6704 0.4458 3.7668 1.5514 0.5976 3.6830 1.9886 0.8297 3.8516

可以發(fā)現(xiàn)此函數(shù)對(duì)初值也具有敏感性。

偽隨機(jī)序列的應(yīng)用

偽隨機(jī)序列是具有某種隨機(jī)特性的確定的序列，它是由隨機(jī)序列產(chǎn)生器產(chǎn)生的確定的序列，然而它們卻是具有某種隨機(jī)特性的隨機(jī)序列。其具有良好的隨機(jī)性并且具有預(yù)先的確定性和可重復(fù)性。由于偽隨機(jī)序列的這種特性，它可以作為以下幾種應(yīng)用。

測(cè)量通信系統(tǒng)的性能時(shí)，經(jīng)常需要使用噪聲產(chǎn)生器，由它給出具有所要求的統(tǒng)計(jì)特性和頻率特性的噪聲，并且可以隨意控制其強(qiáng)度，以便得到不同的信噪比條件下的系統(tǒng)性能。同樣在圖像處理等領(lǐng)域，可以用隨機(jī)序列做噪聲的仿真實(shí)驗(yàn)。

2密碼學(xué)的應(yīng)用

可以用這個(gè)函數(shù)列作為密碼的密鑰。即可以用其產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)當(dāng)做密碼，由于其對(duì)初值具有敏感性，在被截獲時(shí)不容易被破譯。只要發(fā)送和接受密碼的人同時(shí)知道函數(shù)列就可以完成加密和解密。

3通訊中的應(yīng)用

偽隨機(jī)序列的這些特性使得它在偽碼測(cè)距、導(dǎo)航、遙控遙測(cè)、擴(kuò)頻通信、多址通信、分離多徑、數(shù)據(jù)加擾、信號(hào)同步等方面得到了廣泛的應(yīng)用。

白金鑫1宋運(yùn)娜2

1.齊齊哈爾醫(yī)學(xué)院基礎(chǔ)醫(yī)學(xué)院；2.齊齊哈爾醫(yī)學(xué)院 高數(shù)教研室

白金鑫（1991.11-）女，本科，學(xué)生。通訊作者：宋運(yùn)娜（1978.05-），女，碩士，講師。

10.3969/j.issn.1001-8972.2015.16.003

齊齊哈爾醫(yī)學(xué)院大學(xué)生課外科研課題 黑龍江省大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃面上項(xiàng)目 齊齊哈爾醫(yī)學(xué)院教育科研項(xiàng)目（JY20141008）