□李鐵 王建營

（1.天津市武清區(qū)規(guī)劃建筑設(shè)計(jì)所，天津 武清 301700；2.天津市測繪院，天津 西青 300381）

基于不同方法計(jì)算橢球面上圖斑面積的比較分析

□李鐵1王建營2

（1.天津市武清區(qū)規(guī)劃建筑設(shè)計(jì)所，天津 武清 301700；2.天津市測繪院，天津 西青 300381）

本文討論在給定一個橢球面上不規(guī)則圖斑的各個頂點(diǎn)的經(jīng)緯度坐標(biāo)的條件下，分別利用區(qū)域邊界點(diǎn)高斯平面坐標(biāo)和橢球面上梯形面積量算的精密公式兩種算法來計(jì)算該區(qū)域面積，并且顧及測區(qū)離中央子午線的距離及投影面高程對面積量算的影響。并結(jié)合工程實(shí)例，對比分析了兩種算法的優(yōu)劣，可以為類似工程提供參考。

地球橢球面；不規(guī)則圖斑；高斯投影；梯形算法

0.引言

面積測量是常見的測量工作，在土地規(guī)劃、管理等工作中經(jīng)常需要計(jì)算地類、宗地等各種類型的土地面積。目前，計(jì)算圖斑面積通常做法是測出邊界點(diǎn)的平面坐標(biāo)，然后按平面上的封閉區(qū)域計(jì)算面積[1]。然而，一方面高斯投影會產(chǎn)生面積變形；另一方面地球表面也并非平面而是一個曲面，所以這樣的算法計(jì)算出的結(jié)果必然與實(shí)際面積存在差異。本文通過對兩種方法計(jì)算出的結(jié)果進(jìn)行比較，討論哪種算法更趨合理。

1.高斯投影計(jì)算橢球圖斑面積

高斯投影計(jì)算橢球圖斑面積實(shí)際上是將地面邊界點(diǎn)從橢球面投影到高斯平面，再進(jìn)行面積計(jì)算。這種方法帶來的面積誤差主要有三方面：一方面與測區(qū)距高斯投影中央子午線的距離有關(guān)；另一方面按照在高斯面上計(jì)算橢球圖斑面積會產(chǎn)生差異；三是投影面高程也會對面積產(chǎn)生影響，但天津市絕大部分區(qū)域地勢平坦本文不做討論。

高斯投影長度變形m計(jì)算公式：

其中，η2=e2cos2B，l為大地經(jīng)度與高斯投影中央子午線經(jīng)度之差，B為大地緯度，單位均為弧度，e為橢圓第二偏心率。

面積變形即為長度變形的平方，在天津市若設(shè)緯度為39°，表1給出了測區(qū)離開中央子午線的距離與面積變形的關(guān)系：

表1 測區(qū)距離中央子午線的距離與面積變形的關(guān)系

2.橢球圖斑面積梯形算法

圖1

圖2

由兩條子午線和兩條平行圈圍成的橢球表面即為橢球面梯形，由圖1可知，微分面積：

又因?yàn)椋篸x=MdB，dy=NdL，所以：

則通過積分得：

首先對經(jīng)度積分得：

對緯度積分后得：

由于橢球圖斑一般為不規(guī)則的多邊形，如圖2為一簡單橢球面上多邊形，點(diǎn)A、B在同一經(jīng)線，點(diǎn)C、D在同一經(jīng)線，點(diǎn)B、C在同一緯線，E為AD中點(diǎn)。由橢球面性質(zhì)可知S1>S2，當(dāng)微分量dL→0時，S1→S2，于是有橢球面多邊形ABCD的面積等于橢球面梯形BCGF的面積。這樣即可應(yīng)用橢球面梯形面積公式對不規(guī)則橢球圖斑的面積進(jìn)行計(jì)算。

3.兩種方法計(jì)算結(jié)果比較

在天津市不同區(qū)域選取宗地，應(yīng)用這兩種方法進(jìn)行面積計(jì)算。其中平面面積計(jì)算采用天津市1990任意直角坐標(biāo)，橢球面梯形計(jì)算采用WGS84大地坐標(biāo)。比較結(jié)果如表2：

由表2可知，面積差值有正有負(fù)。這是因?yàn)楦咚雇队爱a(chǎn)生面積變形會使面積增大，而在高斯面上進(jìn)行面積計(jì)算會使其變小。在寶坻的圖斑，由于其距投影中央子午線較近投影面積變形影響較小，受到在高斯面上計(jì)算面積使其變小的影響，所以面積差值為負(fù)。其他幾個區(qū)域由于其距投影中央子午線較遠(yuǎn)，主要受投影面積變形影響，所以為正。且距離中央子午線越遠(yuǎn)變形越大，如位于漢沽的圖斑，距投影中央子午線最遠(yuǎn)，面積差值百分比也最大。

表2

另外，由表2看出位于大港和靜海兩個圖斑前者面積小于后者，所處經(jīng)度基本相同，但面積差值百分比差別較大，說明在高斯面上計(jì)算圖斑面積隨著圖斑面積的增大而差異增加。

4.結(jié)束語

由以上的分析和實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，在高斯面上計(jì)算橢球圖斑面積時，會受到多方面的影響而產(chǎn)生誤差。高斯投影產(chǎn)生面積變形會使面積增大，且距投影中央子午線越遠(yuǎn)，影響越大；在高斯面上進(jìn)行面積計(jì)算使橢球圖斑面積變小，且隨著圖斑面積的增大而影響增加。而應(yīng)用橢球面積梯形算法會避免這些情況，計(jì)算出的結(jié)果更趨合理。

【1】王解先，俞振武.高斯投影引起的面積計(jì)算誤差[J].測繪通報,2003（4）:5-6.

【2】孔祥元，梅是義.控制測量學(xué)[M].武漢：武漢大學(xué)出版社，2005.

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【4】孔祥元，郭際明，劉宗全.大地測量學(xué)基礎(chǔ)[M].武漢：武漢大學(xué)出版社，2001.

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【7】黨亞民，成英燕,吳秀娟等.不同坐標(biāo)系圖斑理論面積計(jì)算研究[J].測繪科學(xué),2005,30(6):23-24.

【8】朱益虎,席加偉,蔣毅等.圖斑橢球面積計(jì)算方法研究[Z].江蘇省測繪學(xué)會2009年學(xué)術(shù)年會論文集,2009:125-128.

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P226+.2

A

2095-7319（2015）02-0018-04

李鐵（1980—），男，大專，工程師，天津市武清區(qū)規(guī)劃建筑設(shè)計(jì)所，現(xiàn)在主要從事工程測量方面工作。