胡鵬浩，朱 良，趙 鵬

（合肥工業(yè)大學，安徽 合肥 230009）

0 引 言

汽車底盤上有很多基準點，這些基準點既是底盤沖壓、焊接制造時的基準，也是底盤碰撞后修復的工藝基準和測量基準。通過檢測底盤上基準點之間的相對位置及尺寸便可以判別產(chǎn)品是否合格，底盤的修復也需要進行這樣的檢測。大型直角三坐標測量機能勝任該測試任務，但價格昂貴，環(huán)境要求苛刻，不適宜在車間和汽車4S店內(nèi)使用。柔性關節(jié)坐標測量機便于移動、測量準確度也滿足要求，但測量空間相對較小。光筆測量機準確度和測量范圍均能滿足要求，但目前只有進口產(chǎn)品，價格較高。

鑒于此，研發(fā)一款面向汽車底盤測量的專用高準確度低成本儀器對于底盤檢測以及碰撞修復后的質(zhì)量評估具有重要意義，同時也有較好的市場前景[1]。本文在充分考慮汽車底盤結(jié)構(gòu)及特點的基礎上，結(jié)合雙平行關節(jié)測量機[2]和柔性關節(jié)坐標測量機的優(yōu)點，研制了測量設備，并開展后續(xù)相應測量誤差建模、儀器標定方法等研究工作。

1 樣機及測量模型

汽車底盤的尺寸較大，一般在4500mm×2000mm范圍內(nèi)，但在高度及垂直方向上尺寸較小，一般在300mm以內(nèi)，同時對測量準確度的要求也相對較低。針對這些特點，基于關節(jié)臂測量機的相關技術(shù)，進行了結(jié)構(gòu)設計和樣機研制。

如圖1所示，儀器主要由底座、5個關節(jié)、3段連接桿件和測頭4部分組成。根據(jù)底盤在水平面內(nèi)X-Y方向尺寸大，而Z方向尺寸較小的特點，儀器采用雙平行關節(jié)擴大在X-Y方向的量程，關節(jié)4繞Y軸回轉(zhuǎn)滿足Z方向所需量程，關節(jié)3、4、5的軸線分別垂直正交，測頭可繞X軸回轉(zhuǎn)，測頭在實際測量中有 3 個工位，它們分別與 X 軸成 0°、45°、90°，以方便測量底盤上的孔及槽。每個關節(jié)上用一對P4級NSK精密角接觸球軸承、一個圓光柵傳感器、一個滑環(huán)實現(xiàn)信號輸出和關節(jié)無限回轉(zhuǎn)。各關節(jié)配獨立的測量電路和信號采集，用藍牙傳輸至計算機。根據(jù)用戶對精度要求的不同，可選配不同準確度等級的圓光柵，甚至在一臺儀器上，5個關節(jié)所用圓光柵的準確度等級也可以不同，離底座越遠的關節(jié)，其圓光柵準確度越低。在實際測量中，其操作方式與關節(jié)臂測量機相似，由操作者拖動測頭至被測點，手動觸發(fā)同步采集5個圓光柵讀數(shù)值，換算出空間坐標[3]。

圖1 底盤測量儀結(jié)構(gòu)

測量儀為空間串聯(lián)式開鏈連桿結(jié)構(gòu)，與傳統(tǒng)串聯(lián)式機器人類似，依照機器人學中常用的D-H建模方法[4]，在每個關節(jié)處分別建立參考坐標系。如圖2所示，其中坐標系O0X0Y0Z0為基座坐標系，O1X1Y1Z1到O5X5Y5Z5分別為在5個關節(jié)處所建立的參考坐標系。由于測量儀末關節(jié)與測頭點不重合，需要一個齊次矩陣將其聯(lián)系起來，在與末關節(jié)相連的測量臂末端處建立參考坐標系O6X6Y6Z6，在測頭處建立參考坐標系 O7X7Y7Z7。

圖2 測量儀運動學模型

儀器前3個關節(jié)平行，如直接采用D-H建模，得到的齊次矩陣將是病態(tài)的[4-5]，Robert P.JUDD[6]提出了平行關節(jié)軸的4參數(shù)修正模型，能很好地解決這個問題，但在運用到后面兩個相鄰垂直關節(jié)時，齊次矩陣又會變?yōu)槠娈愱?。Veitschegger[7]在此基礎之上提出了5參數(shù)MDH模型，本質(zhì)上是增加一繞y軸的旋轉(zhuǎn)變換：Rot（yi，βi），該模型既克服了D-H模型在兩平行關節(jié)處齊次矩陣病態(tài)的問題，又解決了4參數(shù)修正模型在相互垂直的兩相鄰關節(jié)處齊次矩陣奇異的問題。

在此采用5參數(shù)MDH模型，相鄰關節(jié)變換的齊次矩陣如下：

式中：θi——xi-1軸與xi軸之間的夾角；

di——相鄰兩桿（連桿i-1和連桿i）所連接的3條軸心線所確定的兩條公法線之間的距離；

ai——zi軸和zi-1軸軸心線的公法線長度；

αi——zi軸和zi-1軸軸心線的夾角；

βi——關節(jié)軸線從yi-1軸到y(tǒng)i軸所轉(zhuǎn)過的角度。

此處將測量儀模型中的非關節(jié)變換A0和A6也統(tǒng)一寫成齊次矩陣A的形式，則測量儀由基坐標系到測頭坐標系的齊次變換T矩陣可表示為

由此，可以得出測頭坐標表達式：

式中 s、c為 sin、cos符號的簡寫。

2 誤差分析及建模

影響底盤測量儀精度的誤差源很多，從儀器結(jié)構(gòu)特點及測量模型來看，測量儀的誤差來源主要有以下方面[8]：角度傳感器引起的誤差、結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差、力變形誤差、熱變形誤差、部件運動誤差、數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)誤差、軸系回轉(zhuǎn)誤差等。在這些主要誤差源中，除了數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)誤差，其他項誤差都會以一定的形式表現(xiàn)或使儀器的實際結(jié)構(gòu)參數(shù)發(fā)生變化，這就需要通過標定來進行修正。與關節(jié)臂測量機、并聯(lián)機構(gòu)、機器人相似，標定也是提高底盤測量儀精度的一項重要措施，在底盤測量儀標定中有兩個關鍵步驟：首先是用底盤測量儀測量特定的標準件來獲取誤差參數(shù)信息；其次是完成參數(shù)識別，即將所獲誤差參數(shù)代入測量誤差模型構(gòu)成非線性誤差方程組，并通過特定的優(yōu)化算法收斂求解出結(jié)構(gòu)參數(shù)，再將其替換到測量模型中[9]。

2.1 標定建模

在測量模型式（3）中包含23項結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差，分別是5個關節(jié)的零位誤差Δθi0，測頭工位誤差Δθ6，關節(jié)扭角誤差 Δαi，連桿長度誤差 Δai，基座高度誤差 Δd0，連桿距離誤差 Δd3、Δd4、Δd5，測頭長度誤差Δd6，以及平行關節(jié)結(jié)構(gòu)所引入的誤差 Δβ1、Δβ2。運用偏微分法可得到測量誤差模型為

基于空間兩點距離公式可以寫出測量儀的距離標定模型：

式中：d——測得的空間兩點間距；

Θ1，Θ2——指測量儀在測量空間第1點和第2點時的關節(jié)轉(zhuǎn)角輸出向量；

b——23個待辨識參數(shù)所組成的向量。

2.2 誤差測量及參數(shù)辨識

在標定中，儀器通過測量專門研制的三維球列來獲取測量誤差信息，獲取足夠多組的（ Θ1，Θ2，b）測量樣本后，將測量值與標準值相減，其差值F可表示為

將測得的誤差值代入式（4），得到一個非線性誤差方程組，求解方程即可獲得待辨識參數(shù)的估計值。此處采用常用的高斯-牛頓法（G-N法）求解。

對距離標定模型中的各項待辨識參數(shù)求偏導可以求得其Jacobin矩陣：

在應用高斯-牛頓法進行參數(shù)辨識時，通常會要求Jacobin矩陣列線性無關。這里考慮該矩陣中各列的線性相關性，可以得到：

此處4個偏導均為零說明相應的4個結(jié)構(gòu)參數(shù)（ θ10、θ6、d0、d3）對距離標定結(jié)果沒有影響，應將 Jacobin矩陣中的對應列予以剔除。剔除后，將19項線性無關的參數(shù)重新編號，并依然記它們?yōu)?b1，b2，…，b19，則相應的Jacobin矩陣即改寫為如下形式：

同時參數(shù)向量b也變成19維的列向量，將b中各參數(shù)的理論值作為初始值進行G-N迭代至滿足收斂條件時得到的向量b*中的各元素的數(shù)值即為相應待辨識參數(shù)的估計值，亦即標定結(jié)果。

3 標定實驗

3.1 三維球列設計

柔性關節(jié)坐標測量機的標定方法較多，如單點錐窩法、大尺寸量塊法、直角三坐標法、激光跟蹤儀法等[10-12]?？紤]到底盤測量儀的結(jié)構(gòu)特點，期望選擇一種標定實物，其結(jié)構(gòu)能保證在進行標定測量實驗時，儀器的標定測量狀態(tài)能和它將來的實際工作狀態(tài)相似，這樣便于保證儀器的工作精度。為此，選擇了三維球列，三維球列法在直角坐標測量機標定及并聯(lián)機構(gòu)標定中應用比較多，在歐洲和日本應用廣泛[13-14]。

在確定三維球列尺寸時采用以下策略：汽車底盤總體具有一定的對稱性，將其均分為4個象限，選取2個象限，將該部分從整個底盤上切割下來以方便測量。在其內(nèi)X，Y方向上分別按照間距100mm取點，用底盤測試儀獲得各點相對高度數(shù)據(jù)，結(jié)合實驗條件對這些樣本數(shù)據(jù)進行分析、綜合、取整，最終選取了12個數(shù)據(jù)點作為三維球列的Z坐標，如表1所示。

表1 標定桿高度

所制三維球列如圖3所示，各標定桿的間距為200mm，各桿頂端留有錐窩嵌入鋼球，鋼球選自軸承的滾珠，圓度誤差及尺寸誤差均在1 μm以下，這樣的結(jié)構(gòu)及尺寸基本模擬了底盤輪廓的尺寸特征，球列上各球之間的中心距用三坐標測量機預先測得，并視為標準尺寸用于標定。

3.2 標定測量

圖3 使用三維球列進行標定實驗

如圖3所示，在實際標定中，拉開三維球列與測量儀的距離，并分別將三維球列放置在儀器的前后左右，盡量模仿儀器測量底盤時的工作狀態(tài)。測量儀在每個鋼球上各采5個點，用于計算球心坐標，并同步記錄各個關節(jié)編碼器的角度值。完成數(shù)據(jù)采集后，通過球心間距與球列間距標準值組成的目標函數(shù)進行G-N迭代，直到獲得滿足精度要求的參數(shù)修正值。數(shù)據(jù)處理程序用Matlab軟件編寫，修正值如表2、表3所示。

將表2、表3中參數(shù)的修正值代入測量模型后，獲得新的測量模型，使用修正模型重新測量三維球列球間距，部分新測量誤差如表4所示。

表2 結(jié)構(gòu)參數(shù)初始及標定值1）

表3 結(jié)構(gòu)參數(shù)初始及標定值

表4 標定后的儀器測量誤差

通過數(shù)據(jù)分析可知，標定前，測量儀的測距準確度一般在mm級，標定后該測量儀的測距誤差均在±0.5mm以內(nèi)，總體上測量值偏小，說明樣機內(nèi)還有系統(tǒng)誤差沒有消除，但測量準確度同標定之前相比有明顯提高。

4 結(jié)束語

1）運用5參數(shù)MDH法建立了汽車底盤測量儀的測量模型、測量誤差模型，給出了基于三維球列法的參數(shù)標定模型。

2）依據(jù)汽車底盤的結(jié)構(gòu)特點，設計和研制了三維球列標定實物，以貼近儀器工作狀態(tài)的方式進行標定測量。

3）運用高斯-牛頓法實現(xiàn)儀器結(jié)構(gòu)參數(shù)的辨識，標定后儀器準確度在4 m范圍內(nèi)可達0.5 mm，儀器準確度明顯提高。

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