侯健等

摘要： 針對大型索網(wǎng)天線結(jié)構(gòu)分析存在拉索單元抗拉不抗壓引起的本構(gòu)非線性和大變形引起的幾何非線性等難點，基于參變量變分原理和非線性有限元法，開發(fā)大型索網(wǎng)天線結(jié)構(gòu)在軌變形分析與預(yù)測軟件LFAS，實現(xiàn)周邊桁架式索網(wǎng)天線結(jié)構(gòu)的參數(shù)化建模、靜力分析、動力分析以及找形分析等功能；該軟件按模塊化設(shè)計，可以方便地擴展其他功能模塊.數(shù)值算例表明：LFAS具有更高的收斂性和精度，特別適合大型索網(wǎng)天線結(jié)構(gòu)的高精度分析和控制.

關(guān)鍵詞： 索網(wǎng)天線； 幾何非線性； 本構(gòu)非線性； 參變量變分原理； 非線性有限元

中圖分類號： V414.1；O343.5文獻標志碼： B

0引言

隨著軍事電子偵察、空間科學、地球觀測和通信等的快速發(fā)展，大口徑、高增益、高頻率、寬頻帶大型空間天線成為發(fā)展趨勢.周邊桁架式可展開天線口徑可達6～150 m，該類型天線結(jié)構(gòu)具有空間熱穩(wěn)定性好和收縮比大等特點，是大型可展天線結(jié)構(gòu)的理想形式.

目前，主要通過商業(yè)通用有限元軟件和實驗2種途徑分析大型索網(wǎng)天線結(jié)構(gòu).大型索網(wǎng)天線對型面精度要求很高，因此有限元模型必須建立在能夠準確描述天線結(jié)構(gòu)力學特性的基礎(chǔ)上.然而，一些通用有限元軟件在處理結(jié)構(gòu)幾何非線性問題時，采用近似的幾何非線性，當結(jié)構(gòu)產(chǎn)生較大變形時，計算結(jié)果往往產(chǎn)生較大誤差；對于拉索單元拉壓模量不同的問題，通用有限元軟件基本采用傳統(tǒng)的計算方法，即初始時刻假定單元彈性模量并計算變形，根據(jù)當前變形判斷單元拉壓狀態(tài)是否與之前假設(shè)一致，若不一致，則反復迭代直至一致.在求解精度較高時，這種試湊的方法往往不穩(wěn)定，甚至不收斂.同時，隨著索網(wǎng)可展開天線的口徑尺寸越來越大，地面熱真空環(huán)境下的全尺寸模擬實驗愈發(fā)困難，國內(nèi)高精度變形測量手段的缺乏和巨額實驗費用等都是制約地面實驗的客觀條件.

綜上分析，開發(fā)一套收斂穩(wěn)定、求解精度高以及符合工程人員需求的、專門針對索網(wǎng)天線結(jié)構(gòu)的分析軟件十分必要.本文提出的基于參變量變分原理的非線性有限元法能夠很好地處理索網(wǎng)天線結(jié)構(gòu)的本構(gòu)非線性以及幾何非線性問題，并在此基礎(chǔ)上開發(fā)大型索網(wǎng)天線結(jié)構(gòu)變形分析和預(yù)測軟件LFAS.LFAS能夠使工程人員方便、快速地進行索網(wǎng)天線結(jié)構(gòu)有限元建模、在軌變形分析和預(yù)測、模態(tài)分析、預(yù)應(yīng)力設(shè)計、在軌反射面精度調(diào)整和變形控制等相關(guān)研究.

2LFAS設(shè)計

2.1LFAS構(gòu)架及設(shè)計流程

為實現(xiàn)大型索網(wǎng)天線結(jié)構(gòu)在軌變形分析與預(yù)測功能，LFAS以基于參變量變分原理的非線性有限元理論作為底層程序理論支撐，利用MATLAB開發(fā)GUI軟件界面.

LFAS分為4大功能模塊，見圖2.LFAS總體構(gòu)架見圖3.由圖3可知：LFAS在進行在軌變形分析時，溫度場的計算需要借助于ANSYS等有限元軟件，并將溫度場作為邊界條件，從而實現(xiàn)在軌熱變形分析.

MATLAB提供的圖形設(shè)計界面的實現(xiàn)方式包括2種：一種是使用可視化界面環(huán)境；另一種是編寫程序.LFAS采用第一種設(shè)計途徑.LFAS開發(fā)過程的基本步驟為：1）分析需要實現(xiàn)的功能，明確任務(wù)；2）繪制草圖，從美觀、專業(yè)、功能完善以及使用者習慣等角度安排頁面布局；3）利用GUI提供的插件設(shè)計靜態(tài)界面；4）編寫程序?qū)崿F(xiàn)程序的動態(tài)功能；5）程序測試.

2.2LFAS功能簡介

在開發(fā)LFAS的過程中充分考慮用戶進行有限元分析計算的習慣，按照模型建立、靜力分析、動力分析、找形分析的順序排列主菜單.本軟件的各個功能模塊均可獨立使用，也可相互關(guān)聯(lián)使用，模塊化的軟件設(shè)計思路為以后其他模塊的開發(fā)減少工作量，也給編程工作帶來極大的方便.LFAS已實現(xiàn)的主要功能如下.

1）模型建立.LFAS提供2種幾何模型生成途徑：一種是通過導入天線結(jié)構(gòu)的節(jié)點坐標以及單元節(jié)點映射等生成幾何模型；另外一種是參數(shù)化生成幾何模型.參數(shù)化建模所需的參數(shù)主要包括2類：一類是結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)，用來描述結(jié)構(gòu)的幾何特征，包括天線的直徑、前索網(wǎng)反射面焦距、后索網(wǎng)反射面焦距和天線周邊桁架的高度等；另一類是網(wǎng)格疏密控制參數(shù)，用來控制網(wǎng)格的疏密，包括主上懸拉索分段數(shù)和周邊桁架邊數(shù)等.對已生成的幾何模型給定幾何約束并設(shè)置材料物理屬性參數(shù)（彈性模量、泊松比、密度和單元截面面積等），即可生成結(jié)構(gòu)分析有限元模型.

2）靜力分析.根據(jù)模型建立模塊提供的有限元模型，通過定義模型邊界條件、施加預(yù)應(yīng)力、設(shè)置求解精度和迭代步數(shù)、給定位移和參變量初值等計算天線結(jié)構(gòu)在預(yù)拉力作用下的結(jié)構(gòu)變形.靜力分析的計算結(jié)果可以選擇輸出節(jié)點位移和單元應(yīng)力等并保存成文件.在求解完成后，軟件還提供后處理子模塊，用于查看結(jié)構(gòu)位移、應(yīng)力云圖和拉索結(jié)構(gòu)應(yīng)力云圖等，同時可以檢測結(jié)構(gòu)是否存在松弛單元及查看上懸索型面精度信息等.需要說明的是，在邊界條件設(shè)置界面上可以設(shè)置是否考慮溫度場和重力場的作用，其中溫度場數(shù)據(jù)需要導入，此時的計算結(jié)果即為大型索網(wǎng)天線結(jié)構(gòu)在軌變形分析和預(yù)測結(jié)果.

3）動力分析.LFAS采用剛度法，并采用協(xié)調(diào)質(zhì)量陣簡化模型，最終將大型索網(wǎng)天線結(jié)構(gòu)自由振動問題轉(zhuǎn)化為特征值求解問題.LFAS采用MATLAB內(nèi)置函數(shù)對問題進行求解，計算完成后輸入所需的模態(tài)階數(shù)可以得到相應(yīng)階數(shù)的自振頻率，并查看相應(yīng)階數(shù)的振型圖.同時，在查看后處理結(jié)果時可以通過參數(shù)設(shè)置選擇是否顯示結(jié)構(gòu)原始形態(tài)和振型圖比例等.

4）找形分析.在找形分析模塊中，LFAS采用改進的逆迭代法.該方法需要在靜力分析的基礎(chǔ)上進行，因而有限元模型的參數(shù)需要在靜力分析模塊進行設(shè)置.通過給定型面收斂精度和迭代步數(shù)即可進行計算，每一步迭代過程的收斂曲線可實時顯示.在計算完成之后，同樣可以在后處理界面進行結(jié)果查看和輸出等操作.

3算例驗證和軟件演示

3.1幾何非線性驗證

文獻[56]對圖4所示二桿桁架結(jié)構(gòu)進行過討論.在該算例中，假設(shè)所有變量均無量綱，2桿具有相同的彈性模量，桿的橫截面積

A=1，a=100，b=10.收斂精度設(shè)為‖Δu‖<1E-6.為進行對比，同時運用ANSYS對該算例進行求解.求解結(jié)果見表1.

根據(jù)理論解，當F=758.396時，自由節(jié)點發(fā)生躍變.由表1可知：隨著載荷接近躍變臨界值，ANSYS求解結(jié)果誤差變大，當載荷繼續(xù)增大時，ANSYS不能得到收斂解.這說明ANSYS在節(jié)點位移較小時能夠得到較準確的解，當節(jié)點位移較大時并不能得到準確解，甚至不收斂，而本文算法始終與理論解保持一致.由圖5中拉伸狀態(tài)和壓縮狀態(tài)2段曲線可以看出：當λ>0時，單元伸長率Δ<0，單元受壓；當λ=0時，Δ>0，單元受拉.

3.2算法收斂性驗證

雙模量桁架梁模型見圖6，整個結(jié)構(gòu)共包含95個節(jié)點，310個單元.桿單元的拉伸彈性模量E+=2×109 Pa；壓縮彈性模量E-=2×107 Pa；外載荷P1=0.5 kN，P2=0.5 kN，P3=0.5 kN；迭代收斂精度為‖Δu‖<1E-3.對該算例進行小變形分析時，軟件算法應(yīng)變表達式中不包含位移的高階項，因而在平衡方程中也只包含位移的1次項，可以將原平衡方程和互補條件轉(zhuǎn)化為標準互補問題直接運用Lemke算法求解，不需要進行NewtonRaphson迭代，因此求解效率極大提高.

表2給出2種算法的比較，圖7為運用傳統(tǒng)方法進行求解的迭代曲線.顯然，‖Δu‖呈周期振蕩變化，因此傳統(tǒng)算法不能得到收斂結(jié)果.

由以上算例可以看出，傳統(tǒng)算法在某些情況下可能產(chǎn)生振蕩，導致不能收斂，而本文算法始終具有良好的收斂性.

3.3大型索網(wǎng)天線結(jié)構(gòu)分析

考慮某30 m口徑索網(wǎng)天線，其高度為3.6 m，上、下懸索反射面焦距分別為18和360 m，桁架邊數(shù)為30，主上懸拉索節(jié)點數(shù)為12.利用LFAS參數(shù)化建模功能建立幾何模型，見圖8.索網(wǎng)天線的物理參數(shù)見表3.對索網(wǎng)結(jié)構(gòu)中所有拉索單元施加100 N的初始預(yù)應(yīng)力，設(shè)收斂精度誤差為‖Δu‖<1E-4.分別運用LFAS和ANSYS對該算例進行求解，計算結(jié)果位移云圖見圖9.

比較2種軟件的計算結(jié)果得到的型面精度均方根誤差見表4.

比較圖9和表4可知：在本文設(shè)定的工況下，LFAS與ANSYS計算所得型面精度差別可以忽略不計，證明LFAS對大型索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的分析正確、有效.

在此工況下，對以上結(jié)果分析可以發(fā)現(xiàn)整個索網(wǎng)結(jié)構(gòu)中有6根拉索單元產(chǎn)生松弛現(xiàn)象，且存在個別拉索單元應(yīng)力過大、應(yīng)力分布不均勻的現(xiàn)象.運用LFAS對索網(wǎng)結(jié)構(gòu)進行找形分析且拉索不能松弛.找形分析所得型面精度收斂曲線見圖11.

圖11顯示索網(wǎng)天線結(jié)構(gòu)型面精度均方根誤差迭代變化趨勢，型面精度的初始均方根誤差由為1.155 mm，經(jīng)過76步迭代，達到滿足型面精度要求的9.955E2 mm.由圖11及查看后處理結(jié)果可知：均方根誤差呈單調(diào)下降的趨勢，索網(wǎng)結(jié)構(gòu)中沒有出現(xiàn)松弛單元，收斂曲線沒有出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象，算法穩(wěn)定.

上述算例分析證明LFAS對大型索網(wǎng)天線結(jié)構(gòu)的計算可行、正確.

4結(jié)論

基于參變量變分原理和非線性有限元法，用MATLAB開發(fā)大型索網(wǎng)天線結(jié)構(gòu)在軌變形分析與預(yù)

測軟件LFAS.LFAS包含索網(wǎng)結(jié)構(gòu)分析中的模型建立、靜力分析、動力分析和找形分析等模塊，其模塊化的軟件設(shè)計思路為以后擴展其他功能模塊提供方便.算例證明：LFAS對大型索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的求解分析正確、有效，尤其在高精度分析求解時表現(xiàn)出更穩(wěn)定的收斂性，特別適用于大型索網(wǎng)天線結(jié)構(gòu)的高精度分析和控制研究.

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（編輯于杰）