劉中寧（遂寧中學(xué)校，四川　遂寧　629000）

古塔的變形趨勢數(shù)學(xué)模型

劉中寧
（遂寧中學(xué)校，四川遂寧629000）

本文要解決古塔各層中心位置坐標(biāo)的通用求法，用數(shù)量關(guān)系刻畫該塔傾斜、彎曲、扭曲的變形情況，還要分析該塔的變形趨勢這些問題.我們用每層測得的數(shù)據(jù)作多元線性回歸擬合，通過M atlab軟件和Excel編程計算，得到各層的平面方程，在此平面上，用與到各測量點的距離相等的點建立超定方程求出層中心.用各層平面法向量分別對z軸的傾斜角、在oxy平面內(nèi)的方位角、與x軸的方向角、與y軸的方向角來刻畫傾斜和扭曲和用每三層層中心點所確定圓的曲率這些量各自的最大值來刻畫傾斜、扭曲和彎曲程度，也可用各量的相對偏移量來表述.用各量4次測量計算的數(shù)據(jù)進(jìn)行二次曲線擬合來描述古塔變形的變化趨勢.

多元線性回歸擬合；超定方程；初等數(shù)學(xué)模型；最大值

1　問題

某古塔已有上千年歷史，是我國重點保護(hù)文物.管理部門委托測繪公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月對該塔進(jìn)行了4次觀測.討論以下問題：

1.給出確定古塔各層中心位置的通用方法，并列表給出各次測量的古塔各層中心坐標(biāo).

2.分析該塔傾斜、彎曲、扭曲等變形情況.

3.分析該塔的變形趨勢.

2　問題分析

問題1：計算古塔各層中心位置.

我們用每層測得的數(shù)據(jù)作多元線性回歸擬合，得到的線性函數(shù)就是該層的平面方程，在此平面上，用與到各測點的距離相等的點就是層中心.

問題2：古塔傾斜、彎曲、扭曲的刻畫.

我們用各層平面法向量分別對z軸的傾斜角、在oxy平面內(nèi)的方位角、與x軸的方向角、與y軸的方向角來刻畫傾斜和扭曲和用每三層層中心點所確定圓的曲率這些量各自的最大值來刻畫傾斜、扭曲和彎曲程度.由于前后各兩次采集的數(shù)據(jù)應(yīng)該分別是同一測位，我們分成兩組比較各自的量差，得到偏移度，它們可以直觀地反映出古塔傾斜、彎曲、扭曲的變形特征.

問題3：古塔的變形趨勢.

我們分析上述四個時間段的相關(guān)量的最大值的變化規(guī)律，分別用曲線擬合來預(yù)測古塔的變形趨勢.

3　模型假設(shè)

1、假設(shè)古塔的變形只受自然因素影響，不受人為影響.

2、假設(shè)古塔在1000年前基底是水平的，沒有傾斜、彎曲、扭曲的任何變形.

3、假設(shè)每次的測量誤差在允許精度范圍內(nèi).

4　符號說明

r,R:圓的半徑.α：直線的傾角.θ：直線的方位角.β：直線的軸向角.K:曲線的曲率.t:時間.

5　模型建立與求解

查閱有關(guān)參考書籍，設(shè)各層測點的坐標(biāo)Mi(xi,yi,zi)i=1，2…m,中心位置坐標(biāo)P(a,b,c)，平面的動點坐標(biāo)M(x,y,z).

收稿日期:2015-06-24

作者簡介：劉中寧（1976-），男，四川遂寧人，四川省遂寧中學(xué)校中學(xué)一級教師.

對于問題1，我們建立各層測點的平面方程數(shù)學(xué)模型：

由于這些點不全在一個平面上，因此用多元線性回歸擬合方法求出系數(shù)A，B和C的值，同時求得層平面的法向量n軋=(B,C,-1).

在所求的平面上求出到各測點的距離相等的點的坐標(biāo)，它就是各層面的中心坐標(biāo)，建立如下數(shù)學(xué)模型：

簡化上述模型得：

解關(guān)于a、b、c的超定方程，得到層面中心位置坐標(biāo)。

表5.1

?

對于問題2，我們由層平面法向量求關(guān)于z軸的傾斜角、oxy平面的方位角、與x軸的方向角和與y軸的方向角的數(shù)學(xué)模型：

取古塔相鄰層面三個中心點Pi(ai,bi,ci),i=1,2,3作一個三角形，其三邊的長度分別是e、f、g，用外接圓的半徑的倒數(shù)來近似代替古塔的彎曲程度，數(shù)學(xué)模型如下：

代入相關(guān)數(shù)據(jù)求出各量測了四次的最大值和兩組的偏移值。

表5.2

對于問題3，以時間為自變量，以問題2中求得各量的最大值為函數(shù)，為了預(yù)測古塔的變化，我們建立數(shù)學(xué)模型是：

y=a+bx+cx2

作曲線擬合求出擬合函數(shù)，通過計算數(shù)值或作圖，來預(yù)報古塔的變形.

表5.3

圖5.1

對于傾斜角的變化趨勢，我們得到二次多項式擬合函數(shù)是α=0.00000055108737-0.00005723778793t-0. 47932928200295t2傾斜角的變化趨勢如圖5.1所示.

對于方位角的變化趨勢，我們得到二次多項式擬合函數(shù)是θ=-0.0004391492+1.48271078t-1035.014389t2方位角的變化趨勢如圖5.2所示。

圖5.2

圖5.3

對于軸方向角的變化趨勢，我們得到二次多項式擬合函數(shù)是θx=-0.000010972110+0.122235092439t-109. 856699568783t2

x軸方向角的變化趨勢如圖5.3所示.

對于y軸方向角的變化趨勢，我們得到二次多項式擬合函數(shù)是θy=-0.000140331180+0.508784645805t-365.232291811525t2

y軸方向角的變化趨勢如圖5.4所示.

圖5.4

圖5.5

對于曲率K的變化趨勢，我們得到二次多項式擬合函數(shù)是K=-0.00000185490615+0.00556761279620t-3. 68633539644t2

曲率的變化趨勢如圖5.5所示.

[1]馬莉.MATLAB數(shù)學(xué)建模實驗與建模[M].北京：清華大學(xué)出版社，2010：61-62.

[2]華信卓越.Excel2007公式、函數(shù)與圖表[M].北京：電子工業(yè)出版社，2008:12-14.

[4]梁海奎.古塔變形測量方法探討[EB/OL].[2013-09-15].http://wenku.baidu.com/view.

[5]章紹輝.數(shù)學(xué)建模[M].北京：科學(xué)出版社，2010:48,62.

責(zé)任編輯：張隆輝

TU 196.1

A

1672-2094（2015）04-0169-06