單上求，侯中喜，朱炳杰，高顯忠

動(dòng)態(tài)滑翔動(dòng)力學(xué)建模與風(fēng)梯度能量獲取*

單上求，侯中喜，朱炳杰，高顯忠

(國(guó)防科技大學(xué) 航天科學(xué)與工程學(xué)院， 湖南 長(zhǎng)沙 410073)

為簡(jiǎn)化問題描述和便于數(shù)學(xué)操作，對(duì)無(wú)動(dòng)力飛機(jī)的動(dòng)態(tài)滑翔問題做了假設(shè)，并在這些假設(shè)下建立了無(wú)動(dòng)力飛機(jī)動(dòng)態(tài)滑翔的動(dòng)力學(xué)模型，即三維速度空間中只有一個(gè)輸入變量的常微分方程組。之后，從理論上得到了這個(gè)三維速度空間中機(jī)械能可以增加的最大范圍，即能增紡錘體內(nèi)部，并推導(dǎo)出最大的機(jī)械能增加率。得出更大的風(fēng)梯度、更小的阻力系數(shù)和更小的面質(zhì)比更加有利于飛機(jī)獲取能量的結(jié)論，該結(jié)論加深了對(duì)動(dòng)態(tài)滑翔能量觀點(diǎn)的認(rèn)識(shí)，對(duì)實(shí)踐有指導(dǎo)意義。

動(dòng)態(tài)滑翔；風(fēng)梯度能量獲??；無(wú)動(dòng)力滑翔

(CollegeofAerospaceSciencesandEngineering,NationalUniversityofDefenseTechnology,Changsha410073,China)

不難證明無(wú)動(dòng)力飛機(jī)飛行在平靜的空氣中即便做出任何機(jī)動(dòng)都會(huì)最終飄落到地面。但人們觀察到在自然界中的一些鳥類如信天翁能夠飛行很長(zhǎng)時(shí)間而不撲打翅膀[1]。信天翁可以在一次獵食飛行中飛行長(zhǎng)達(dá)3 600～15 000km[2]。在如此長(zhǎng)距離的飛行中如果時(shí)刻保持撲打翅膀信天翁會(huì)耗盡體能。假如人造飛行器能夠像信天翁一樣飛行，那么航時(shí)和航程將會(huì)顯著擴(kuò)展，或是節(jié)省大量的能源。如果臨近空間長(zhǎng)航時(shí)飛行器能夠使用這項(xiàng)技術(shù)是非常有前途的。那些鳥類之所以能夠飛這么久是由于環(huán)境中的上升氣流或非均勻風(fēng)場(chǎng)。陸地鳥類傾向利用上升氣流(靜態(tài)滑翔)，而海洋鳥類主要利用風(fēng)梯度(動(dòng)態(tài)滑翔)[1]。后者正是單上求等的研究焦點(diǎn)。

Rayleigh勛爵或許是探索動(dòng)態(tài)滑翔物理秘密的第一人。他解釋了為什么信天翁不可能在水平均勻風(fēng)場(chǎng)條件下不拍打翅膀飛行。他還給出了后來(lái)研究者普遍使用的對(duì)于動(dòng)態(tài)滑翔的描述性分析。他展示了穿過(guò)兩層水平切變風(fēng)的環(huán)形運(yùn)動(dòng)的物理觀點(diǎn)[3]。簡(jiǎn)而言之，當(dāng)信天翁在不同風(fēng)速的切變風(fēng)場(chǎng)中飛行時(shí)，它總是試圖獲得額外的空速用以保持飛行高度。

理論上講只要有陡峭的風(fēng)梯度就可以進(jìn)行動(dòng)態(tài)滑翔。實(shí)際生活中，這樣的情形可能發(fā)生在山坡背風(fēng)側(cè)的分離流中以及地面邊界層或陣風(fēng)里[1]。Idrac的文章指出試驗(yàn)顯示隨高度增高而加劇的風(fēng)場(chǎng)總是存在于信天翁飛行的海面上空[4]。圣地亞國(guó)家實(shí)驗(yàn)室成功地在山坡背風(fēng)側(cè)進(jìn)行了遙控動(dòng)態(tài)滑翔試驗(yàn)[5]。Gordon的論文描述了由NASA支持的全尺寸滑翔機(jī)有人動(dòng)態(tài)滑翔試驗(yàn)[5]。實(shí)際上，大量的遙控滑翔機(jī)愛好者經(jīng)常在山坡背風(fēng)側(cè)實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)滑翔，例如每年八月底舉行的名為Rosendal山坡周末的滑翔活動(dòng)[6]。氣象氣球測(cè)量的數(shù)據(jù)也展示了梯度風(fēng)場(chǎng)幾乎存在于地面以上30km范圍內(nèi)的每一個(gè)高度上[7]。這意味著動(dòng)態(tài)滑翔的適用范圍很廣闊。盡管如此，目前還沒有確信證據(jù)證實(shí)全自主動(dòng)態(tài)滑翔已經(jīng)成功實(shí)現(xiàn)。

另一方面，對(duì)于動(dòng)態(tài)滑翔的理論研究在Rayleigh之后仍在繼續(xù)。Wood把動(dòng)態(tài)滑翔的運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化為一個(gè)二維模型并給出了基于空速的常微分方程，他研究和模擬了在對(duì)數(shù)風(fēng)場(chǎng)中的兩類完整的飛行循環(huán)[8]。Hendriks推導(dǎo)出了三自由度質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程并且得到了不沉降解的條件[9]。

由于計(jì)算機(jī)革命，很多以往認(rèn)為難以進(jìn)行的計(jì)算如今可以在個(gè)人計(jì)算機(jī)上完成。因此，動(dòng)態(tài)滑翔路徑規(guī)劃就成了近年來(lái)的熱門話題。Boslough的報(bào)告使用了遺傳算法優(yōu)化Rayleigh循環(huán)[1]。Zhao使用NPSOL軟件數(shù)值優(yōu)化了無(wú)動(dòng)力飛機(jī)[10]和有動(dòng)力飛機(jī)[11]動(dòng)態(tài)滑翔的最小循環(huán)。Sachs導(dǎo)出了動(dòng)態(tài)滑翔的最優(yōu)控制問題并且給出了數(shù)值結(jié)果[12]，還計(jì)算出使用他所提供方法生成軌跡的最小風(fēng)切變強(qiáng)度[13]。Deittert利用微分平滑特點(diǎn)簡(jiǎn)化了該最優(yōu)化問題[14]。高顯忠采用了一個(gè)簡(jiǎn)化的分段模型用以優(yōu)化動(dòng)態(tài)滑翔問題[15]。文獻(xiàn)[16]是一篇比較全面地介紹動(dòng)態(tài)滑翔的綜述文章，更多細(xì)節(jié)內(nèi)容可資借鑒。

1 系統(tǒng)模型

1.1 飛機(jī)與風(fēng)場(chǎng)假設(shè)

為了簡(jiǎn)化問題但不破壞問題的本質(zhì)，對(duì)飛機(jī)和風(fēng)場(chǎng)做出了假設(shè)。

對(duì)于飛機(jī)，假設(shè)如下：

1)飛機(jī)無(wú)動(dòng)力，即沒有推力作用于其上；

2)飛機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)是瞬間完成的，只需考慮飛機(jī)的平移動(dòng)力學(xué)；

3)飛機(jī)是自穩(wěn)定的，即飛機(jī)始終指向空速方向；

4)傾側(cè)角是系統(tǒng)唯一的控制輸入，可以通過(guò)偏轉(zhuǎn)副翼實(shí)現(xiàn)，且傾側(cè)角可瞬間到達(dá)。

文獻(xiàn)[10-12]、[14]和[17]做了和以上第二條同樣的假設(shè)。第三條和第四條假設(shè)意味著飛機(jī)沒有了改變升阻比的能力，只有一個(gè)傾側(cè)角控制輸入讓系統(tǒng)更加清晰，在數(shù)學(xué)上更易操作。根據(jù)第三條假設(shè)，由于飛機(jī)始終是零攻角，因此飛機(jī)的升力系數(shù)和阻力系數(shù)近似不變[18]。第三條和第四條假設(shè)同文獻(xiàn)[13]所做的假設(shè)一致。

另一方面，對(duì)于風(fēng)場(chǎng)該假設(shè)只有隨著高度呈均勻線性變化的單向水平切變風(fēng)。如圖1所示，風(fēng)速的改變正比于高度差，這意味著風(fēng)梯度是飛機(jī)所在局部區(qū)域的斜率。這里假設(shè)的風(fēng)場(chǎng)實(shí)際是全局風(fēng)場(chǎng)的局部近似。該風(fēng)場(chǎng)假設(shè)同文獻(xiàn)[10]和[11]中的假設(shè)相同。

1.2 坐標(biāo)系

坐標(biāo)系的定義如圖1所示。O-xyz是一個(gè)非慣性系，原點(diǎn)O在水平面內(nèi)同飛機(jī)所在高度的風(fēng)一起運(yùn)動(dòng)，即與飛機(jī)所在當(dāng)?shù)氐娘L(fēng)具有相同的速度。z軸豎直向上指向天空。對(duì)于x軸，如果風(fēng)速隨著高度增大，x軸就指向風(fēng)速的反方向；如果風(fēng)速隨著高度減小，則x軸指向風(fēng)的方向。y軸由右手定則決定。在圖1中，慣性系O0-x0y0z0與非慣性O(shè)-xyz在初始時(shí)刻重合且永遠(yuǎn)固連在地面上。

圖1 坐標(biāo)系和風(fēng)場(chǎng)Fig.1 Coordinates and wind field

1.3 動(dòng)力學(xué)方程

根據(jù)1.1節(jié)中的四條假設(shè)，三維的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程足以描述這個(gè)問題。由于O-xyz坐標(biāo)系相對(duì)于慣性坐標(biāo)系沒有旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，因此飛機(jī)所受的力只有氣動(dòng)力、重力和牽連慣性力[19]，如圖2所示。

圖2 作用在飛機(jī)上的力Fig.2 Forces acting upon the aircraft

由于參考系隨風(fēng)移動(dòng)，牽連慣性力Fi可以表示為

(1)

(2)

(3)

其中：ρ是空氣密度；v是速度大小，數(shù)值上等于空速；s是翼面積[18]。CL和CD分別是升力系數(shù)和阻力系數(shù)，且滿足以下關(guān)系：

(4)

其中L/D是升阻比。為了使用方便，定義

(5)

(6)

升力和阻力在O-xyz坐標(biāo)系里可以表示成

(7)

(8)

其中，vx，vy和vz是速度的三個(gè)坐標(biāo)分量，v是速度的大小，而φ是傾側(cè)角。那么，動(dòng)力學(xué)方程可以根據(jù)牛頓定律[19]給出

(9)

將PLm=PL/m和PDm=PD/m代入式(9)，最終得到

(10)

其中，vx，vy和vz是系統(tǒng)狀態(tài)，而φ是唯一的系統(tǒng)輸入。后面關(guān)于機(jī)械能增加率的討論也將在這個(gè)三維速度空間中討論。

2 機(jī)械能增加率

令E代表非慣性系O-xyz中的機(jī)械能，根據(jù)動(dòng)能定理[19]，則機(jī)械能的變化等于阻力和慣性力做功，因?yàn)樯κ冀K垂直于運(yùn)動(dòng)方向，故其不做功。因此可得

dE=-Ddl+mGwvzdx

(11)

其中dl為線元，可以表示為

dl=vdt

(12)

將式(12)代入式(11)得到

(13)

所以，單位質(zhì)量的機(jī)械能增加率

(14)

由式(14) 可見，機(jī)械能的瞬時(shí)改變不受控制輸入傾側(cè)角φ的影響，只是速度空間中的系統(tǒng)瞬時(shí)位置的函數(shù)，傾側(cè)角φ在該時(shí)刻只影響系統(tǒng)下一刻的走向。令式(14)右側(cè)為函數(shù)

(15)

直角坐標(biāo)系中的速度可以按式(16)轉(zhuǎn)換為球坐標(biāo):

(16)

其中，r是徑向速度，θ是俯仰角，ψ是偏航角。便于畫圖，將式(16)代入式(15)，可得其球坐標(biāo)形式

(17)

若PDm等于0.003，Gw等于1.2，本文所有單位都是采用國(guó)際單位制，因此量綱符號(hào)都予以省略。圖3為函數(shù)(17)的等值面圖，同一等值面上的點(diǎn)具有相同的d(E/m)/dt，即等值面為等機(jī)械能增加率面。

圖3 函數(shù)f等值面圖(上半葉為半剖圖)Fig.3 Contour graph of function f(the upper half is semi-sectional view)

2.1 能增紡錘體

機(jī)械能增加率為0的等值面方程為

(18)

其恰好將速度空間分割為機(jī)械能增加率為正(面內(nèi)部機(jī)械能增加)與機(jī)械能增加率為負(fù)(面外部機(jī)械能減小)的兩部分。因此稱其所包裹的體為能增紡錘體(如圖3所示的曲面所包裹的體)。從式(18)還可以看出，Gw/PDm的比值越大，能增紡錘體的體積越大，直觀上講，系統(tǒng)增加機(jī)械能的可能性越大。因此，增加風(fēng)梯度Gw、減小阻力系數(shù)CD和減小面質(zhì)比s/m有利于能量獲取。同時(shí)由式(18)可見，能增紡錘體位于vx>0,vz>0或vx<0,vz<0的四個(gè)卦限內(nèi)。而系統(tǒng)只有在能增紡錘體內(nèi)才可能增加機(jī)械能，這印證了文獻(xiàn)[3]中正風(fēng)梯度(風(fēng)速隨高度增高而增大)下信天翁逆風(fēng)上升(對(duì)應(yīng)vx>0,vz>0)，順風(fēng)下降(vx<0,vz<0)可獲得能量的結(jié)論。

2.2 最大機(jī)械能增加率

(19)

(20)

轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)對(duì)應(yīng)于

(21)

其最大值為

(22)

這就是最大的機(jī)械能增加率，由式(22)可見，若想增加單位質(zhì)量的最大機(jī)械能增加率，可以增加風(fēng)梯度Gw、減小阻力系數(shù)CD和減小面質(zhì)比s/m。該結(jié)論和2.1節(jié)的結(jié)論相一致。

3 結(jié)論

直觀上看，無(wú)動(dòng)力飛機(jī)在切變風(fēng)場(chǎng)中能夠持續(xù)飛行在于其能量得到了補(bǔ)充。本文對(duì)于能量獲取問題，從理論上給出了比Rayleigh更加準(zhǔn)確的結(jié)論，即只有在能增紡錘體內(nèi)部才可能獲取額外的能量，而機(jī)械能增加的速率也有其極限值，并不是無(wú)限制的。更大的風(fēng)梯度Gw、更小的阻力系數(shù)CD和更小的面質(zhì)比s/m有利于飛機(jī)獲取額外的機(jī)械能。

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Dynamics modeling of dynamic soaring and energy gaining from the wind gradient

SHAN Shangqiu, HOU Zhongxi, ZHU Bingjie, GAO Xianzhong

Inordertosimplifythedescriptionoftheproblemsandtobeconvenientformathematicalmanipulation,aseriesofhypothesesaboutthedynamicglideproblemofunpoweredaircraftweremade.Underthesehypotheses,adynamicsmodelofdynamicsoaring,whichisa3-dimentionalordinarydifferentialequationsinthevelocityspacewithasingleinput,wasbuilt.Thelargestgrowingareaofmechanicalenergyinthisvelocityspace,whichiscalledenergy-gainedspindle,wasobtainedtheoreticallyandthemaximumrateofenergyincreasingwasalsodeduced.Theconclusionthatthelargerwindgradient,thesmallerdragandthesmallerarea-massratioaremoreinfavorofgainingenergyfortheenginesaircraftgivesadeeperunderstandingofthedynamicsoaringenergyanditcanhelpthepractice.

dynamicsoaring;windgradientenergygaining;unpoweredsoaring

2014-04-10

國(guó)家863計(jì)劃資助項(xiàng)目(2014AA7054035)

單上求(1987—)，男，遼寧錦州人，博士研究生，E-mail：ssq870424@126.com；侯中喜(通信作者)，男，教授，博士，博士生導(dǎo)師，E-mail：hzx@sina.com

10.11887/j.cn.201504008

http://journal.nudt.edu.cn

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