達(dá)佳麗，韓曉玲

（西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，蘭州730070）

三階三點(diǎn)邊值問題3個(gè)正解的存在

達(dá)佳麗，韓曉玲*

（西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，蘭州730070）

運(yùn)用Avery-Peterson不動(dòng)點(diǎn)定理，研究了三階三點(diǎn)邊值問題

邊值問題；正解；Avery-Peterson不動(dòng)點(diǎn)定理

文獻(xiàn)［1］-［4］研究了不同邊值問題正解的存在性，尤其是文獻(xiàn)［5］運(yùn)用了Guo-Krasnoselskii研究了三階三點(diǎn)邊值問題

正解的存在性.

文獻(xiàn)［6］運(yùn)用了Avery-Peterson不動(dòng)點(diǎn)定理研究一類二階邊值問題

3個(gè)正解的存在性.

受文獻(xiàn)［5］、［6］的啟發(fā)，本文利用Avery-Peterson不動(dòng)點(diǎn)定理［6］研究三階三點(diǎn)邊值問題［5］

3個(gè)正解的存在性.這里λ＞0為參數(shù)，0＜η＜1， α，β且α，β＞0.本文假設(shè):

（H1）f:［0，1］×［0，+∞）→［0，+∞）連續(xù).

（H2）q:［0，1］→［0，∞）是連續(xù)的，且?t0（η，1），使得q（t0）＞0.

1　預(yù)備知識(shí)

首先整理一些對主要結(jié)果至關(guān)重要的引理及定義，可參見文獻(xiàn)［5］、［7］.

定義1［7］設(shè)E為Banach空間，P?E為E中的錐.如果映射φ:P→+非負(fù)連續(xù)，且滿足

則稱φ為凹函數(shù).

定義2［7］設(shè)E為Banach空間，P?E為E中的錐.如果映射φ:P→+非負(fù)連續(xù)，且滿足

則稱φ為凸函數(shù).

有唯一解

引理2［5］引理1給出的G（t，s）有如下性質(zhì):

引理3［5］設(shè)條件（H3）成立并且h:［0，1］→［0，+∞）是連續(xù)的，則邊值問題的解非負(fù)且滿足

引理4［5］假設(shè)條件（H1）～（H3）成立，則算子T:K→K是全連續(xù)的.

本文主要結(jié)果的證明基于以下定理的應(yīng)用.

設(shè)φ和θ為定義在P上的非負(fù)連續(xù)凸函數(shù)，φ為定義在P上的非負(fù)連續(xù)凹函數(shù)，ψ為定義在P上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，a、b、c和d為正常數(shù).定義以下集合:

定理1設(shè)P為實(shí)Banach空間E中的一個(gè)錐，φ和θ為定義在P上的非負(fù)連續(xù)凸函數(shù)，φ為定義在P上的非負(fù)連續(xù)凹函數(shù)，ψ為定義在P上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，且滿足ψ（kx）≤kψ（x）（0≤k≤1），使得對某些正常數(shù)M、d，對所有的，有φ（x）≤ψ（x），‖x‖≤Mφ（x）成立.假設(shè)為全連續(xù)算子，且存在正數(shù)a、b和c，其中a＜b，使得下列條件成立:

（S1）當(dāng)xP（φ，θ，φ，b，c，d）時(shí)，｛xP（φ，θ，φ，b，c，d）:φ（x）＞b｝≠?且φ（Tx）＞b；

（S2）當(dāng)xP（φ，φ，b，d）且θ（Tx）＞c時(shí)，φ（Tx）＞b；

（S3）當(dāng)xR（φ，ψ，a，d）且ψ（x）=a時(shí)，0R（φ，ψ，a，d），ψ（Tx）＜a，則T至少有3個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x1，x2，，滿足φ（xi）≤d（i=1，2，3）；b＜φ（x1）；a＜ψ（x2），φ（x2）＜b；ψ（x3）＜a.

2　主要結(jié)果

定理2假設(shè)條件（H1）～（H3）、（A1）～（A3）成立，則問題（1）至少有3個(gè)正解u1，u2，u3，且滿足

所以定理1中的條件（S1）成立.

則定理1中的條件（S2）成立.

所以定理1中的條件（S3）成立，因此邊值問題（1）至少有3個(gè)正解u1，u2，u3，且滿足

如果q（t）在t=0，1上奇異，則（H2）被代替:

我們同樣有以下定理:

定理3假設(shè)條件（H1）、、（H3）、（A1）～（A3）成立，則問題（1）至少有3個(gè)正解u1，u2，u3，且滿足

［1］Graef J R，Yang B.Positive solutions of a nonlinear third order eigenvalue problem［J］.Dynamic Systems and Applications，2006，15:97-110.

［2］Feng Y Q，Liu S Y.Solvability of a third-order two-point boundary value problem［J］.Applied Mathematics Letters，2005，18:1034-1040.

［3］Amam H.Fixed-point equations and nonlinear eigenvalue problems in ordered Banach spaces［J］.SIAM Review，1976，18:620-709.

［4］Guo D，Lakshmikantham V.Nonlinear problems in abstract cones［M］.New York:Academic Press，1988.

［5］Feng X F，F(xiàn)eng H Y，Bai D L.Eigenvalue for a singular third-order three-point boundary value problem［J］.Applied Mathematics and Computation，2013，219:9783-9790.

［6］白占兵，孫蘇菁.一類二階邊值問題三個(gè)正解的存在

性［J］.山東科技大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2007，26（5）: 87-90.

Bai Z B，Sun S J.The existence of triple positive solution of some second-order boundary value problems［J］.Applied Mathematics and Computation，2007，26（5）:87-90.

［7］Du Z J，Ge W G，Lin X J.Existence of solutions for a class of third-order nonlinear boundary value problems［J］.Journal of Mathematical Analysis and Application，2004，294:104-122.

【中文責(zé)編：莊曉瓊英文責(zé)編：肖菁】

Existence of Three Positive Solutions for a Third-Order Three-Point Boundary Value Problem

Da Jiali，Han Xiaoling*
（College of Mathematics and Statistics，Northwest Normal University，Lanzhou 730070，China）

Existence of positive solutions to the following third-order three-point boundary value problem is considered，the main tool is Avery-Peterson fixed point theorem.Where f:［0，1］×［0，+∞）→［0，+∞）is continous，λ＞0 is a parameter，0＜η＜1，α，β，and α，β＞0.

boundary value problem；positive solution；Avery-Peterson fixed point theorem

O175.8

A

1000-5463（2015）03-0148-03

2014-11-20《華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）》網(wǎng)址:http://journal.scnu.edu.cn/n

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11101335）

韓曉玲，教授，Email:335855313@qq.com.

3個(gè)正解存在的充分條件，其中f：［0，1］×［0，+∞）→［0，+∞）連續(xù)，λ＞0為參數(shù)，0＜η＜1，α，β且α，β＞0.