向 丹

（廣東技術(shù)師范學(xué)院自動(dòng)化學(xué)院，廣州 510635）

基于自適應(yīng)采樣的復(fù)雜曲面拋磨軌跡生成算法及其性能對(duì)比*

向 丹

（廣東技術(shù)師范學(xué)院自動(dòng)化學(xué)院，廣州 510635）

針對(duì)拋磨機(jī)器人面向復(fù)雜曲面加工運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃困難，不能隨曲率自適應(yīng)采樣所導(dǎo)致的軌跡規(guī)劃精度不高等問(wèn)題，提出了一種基于自適應(yīng)采樣的NURBS曲面拋磨軌跡生成算法，首先針對(duì)已建立的CAD模型進(jìn)行自由曲面數(shù)據(jù)點(diǎn)提取，并建立了求取一條P次NURBS曲線數(shù)學(xué)模型，其次，針對(duì)得到的NURBS曲線進(jìn)行基于杠桿原理的曲線自適應(yīng)采樣離散，最后，自動(dòng)生成機(jī)器人拋磨連續(xù)軌跡。算法性能對(duì)比實(shí)驗(yàn)表明：文章自適應(yīng)采樣算法能在曲線曲率大處小間距采樣，采樣點(diǎn)分布密集，而在曲率平緩處大間距采樣，采樣點(diǎn)分布較稀疏，達(dá)到了采樣點(diǎn)隨曲率自適應(yīng)分布的效果，同時(shí)，自適應(yīng)采樣算法的擬合曲線與理論曲線接近，生成軌跡精度高。

復(fù)雜曲面；拋磨機(jī)器人；NURBS曲線；自適應(yīng)采樣

0 引言

在產(chǎn)品加工制造過(guò)程中，拋磨是一道重要的工序，直接影響產(chǎn)品的外觀和質(zhì)量。隨著數(shù)控加工技術(shù)和CAD/CAM技術(shù)不斷成熟以及工業(yè)機(jī)器人的廣泛應(yīng)用，拋磨機(jī)器人逐步代替了傳統(tǒng)人工拋磨作業(yè)［1-2］。而機(jī)器人要完成所規(guī)定的拋光任務(wù)都必須進(jìn)行軌跡規(guī)劃，其軌跡規(guī)劃是軌跡跟蹤控制的基礎(chǔ)，也是機(jī)器人作業(yè)質(zhì)量好壞的關(guān)鏈［3-5］。傳統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃是采用在線編程人工示教的方法，但是這種方法無(wú)法完成復(fù)雜曲面加工，同時(shí)還存在在線編程加工精度低，示教耗時(shí)長(zhǎng)難度大，使用不夠靈活等缺點(diǎn)，目前常用的運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃一般是采用離線編程的方法，通過(guò)導(dǎo)入計(jì)算機(jī)內(nèi)的CAD模型，生成示教數(shù)據(jù)，間接地對(duì)機(jī)器人進(jìn)行示教，不但求取軌跡精度高，編程時(shí)間短，而且還可以完成復(fù)雜曲面運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃［6］。常用的離線編程方法主要有：參數(shù)法［7］、截面線法［8］、導(dǎo)動(dòng)面法［9］等，這些方法對(duì)較為簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)軌跡具有顯著性，特別適用于曲率平坦的區(qū)域，在面對(duì)曲率變化劇烈的區(qū)域時(shí)，由于其采樣的均勻性不能隨著曲率的變化而自適應(yīng)分布，所以，導(dǎo)致軌跡規(guī)劃精度不高。

針對(duì)拋磨機(jī)器人面向復(fù)雜曲面加工運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃困難，不能隨曲率自適應(yīng)采樣所導(dǎo)致的軌跡規(guī)劃精度不高等問(wèn)題，提出了一種基于自適應(yīng)采樣的NURBS曲面拋磨軌跡生成算法，首先針對(duì)已建立的CAD模型進(jìn)行自由曲面數(shù)據(jù)點(diǎn)提取，并建立了求取一條P次NURBS曲線數(shù)學(xué)模型，其次，針對(duì)得到的NURBS曲線進(jìn)行基于杠桿原理的曲線自適應(yīng)采樣離散，最后，自動(dòng)生成機(jī)器人拋磨連續(xù)軌跡。同時(shí)為了比較本文自適應(yīng)采樣算法優(yōu)越性，與常用的等參數(shù)采樣算法、等弧長(zhǎng)采樣算法進(jìn)行了性能對(duì)比實(shí)驗(yàn)。

1 截交線數(shù)學(xué)模型建立

1.1 自由曲面數(shù)據(jù)點(diǎn)提取

針對(duì)已建立的CAD模型，首先，利用截平面法切割復(fù)雜曲面得到一系列的截交線，如圖1所示，該截交線即為機(jī)器人拋磨軌跡，由于截平面間的距離及拋磨走刀步長(zhǎng)難以控制，易造成刀具在曲面平坦處加工密集，在陡峭處加工稀疏，從而導(dǎo)致加工精度不高，為此，使用系統(tǒng)提供的STL文件提取一系列離散理論坐標(biāo)點(diǎn)，設(shè)從每條截交線離散得到的數(shù)據(jù)坐標(biāo)點(diǎn)集合為該離散坐標(biāo)點(diǎn)是為后續(xù)NURBS曲線擬合做準(zhǔn)備。

圖1 截面法生成軌跡

1.2 一條P次NURBS曲線求解

在把離散點(diǎn)擬合成NURBS曲線時(shí)，首先要指定這些離散點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)參數(shù)值，使之有序組合成節(jié)點(diǎn)矢量，其次將離散數(shù)據(jù)點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)矢量代入NURBS曲線定義公式，求解出控制點(diǎn)，最后將控制點(diǎn)、曲線擬合次數(shù)及節(jié)點(diǎn)矢量再代入NURBS曲線定義公式中，即可得到NURBS曲線。

（1）一條P次NURBS曲線定義［10］：

一條P次NURBS曲線可以由多邊形控制頂點(diǎn)來(lái)定義，由分段有理多項(xiàng)式矢函數(shù)表示：

其中，di為控制頂點(diǎn)，wi為權(quán)因子且wi＞0，wi的大小影響著曲線的形狀，在本文中令wi=1，Ni，p（u）為β樣條基函數(shù)，是由節(jié)點(diǎn)矢量U=按Cox-De Boor遞推公式得出，表示如下：

根據(jù)上述定義，k=P就是一條P次NURBS曲線表達(dá)式。

（2）節(jié)點(diǎn)矢量計(jì)算：

設(shè)每相鄰兩點(diǎn)之間的連線成為一條弦，令每條截交線構(gòu)成的弦長(zhǎng)之和為L(zhǎng)，利用弦長(zhǎng)參數(shù)法求取，于是有：

（3）控制點(diǎn)反算：

從式（6）可以看出，系數(shù)矩陣中的元素全部是樣條的基函數(shù)并且這些基函數(shù)的值只與節(jié)點(diǎn)值有關(guān)系，由此可以反算求解出曲線擬合所需的所有控制點(diǎn)dn。

最終，把控制點(diǎn)dn、曲線擬合次數(shù)P及節(jié)點(diǎn)矢量U再代入式（1），則得到一條P次NURBS曲線。

2 基于杠桿原理的曲線自適應(yīng)采樣離散

拋磨觸點(diǎn)的分布情況影響著機(jī)器人的加工路徑，決定著加工精度及效率，為了得到合理的拋磨觸點(diǎn)，本文采用基于杠桿原理的采樣處理處理方法對(duì)擬合生成的曲線進(jìn)行離散化。把曲線上各處的曲率函數(shù)K（μ）看作是各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，質(zhì)量越大越靠近支點(diǎn)，質(zhì)量越小越遠(yuǎn)離支點(diǎn)，則曲線曲率大的地方密集采樣，曲率小的地方稀疏采樣。

（1）NURBS曲率計(jì)算：

（2）杠桿原理采樣：

C（u）為反應(yīng)曲線彎曲程度的特征函數(shù)，其值越大，曲面越彎曲，所需的采樣也就越多，其計(jì)算公式為：

將曲線上各處的曲率函數(shù)K（u）看做是各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到平衡時(shí)有：

該式即為NURBS曲率的平衡公式，其中，ui為第i個(gè)采樣點(diǎn)，也是系統(tǒng)平衡支點(diǎn)，uij為第i個(gè)采樣點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)的任意點(diǎn)。

對(duì)式（9）進(jìn)行處理得：

可通過(guò)如下迭代求解：

迭代終止條件為：

其中，s為迭代次數(shù)，ε為給定精度。

3 算法實(shí)現(xiàn)及其性能對(duì)比

3.1 算法實(shí)現(xiàn)

根據(jù)以上所述，可知利用機(jī)器人對(duì)復(fù)雜曲面進(jìn)行拋磨加工時(shí)，運(yùn)動(dòng)軌跡自動(dòng)生成算法流程如圖2所示。

圖2 本文算法流程圖

3.2 算例及其性能對(duì)比

利用上述算法，針對(duì)如下任意曲面，生成的拋磨軌跡如下圖3所示。

圖3 任意復(fù)雜曲面及其拋磨軌跡

為了比較本文自適應(yīng)采樣算法優(yōu)越性，與常用的等參數(shù)采樣算法、等弧長(zhǎng)采樣算法進(jìn)行了性能對(duì)比實(shí)驗(yàn)。等參數(shù)采樣算法采樣如圖4所示，等弧長(zhǎng)采樣算法采樣如圖5所示，自適應(yīng)采樣算法采樣如圖6所示。

圖4 等參數(shù)采樣

圖5 等弧長(zhǎng)采樣

圖6 自適應(yīng)采樣

從圖4、圖5、圖6可看出，自適應(yīng)采樣算法采樣點(diǎn)較之其他算法在曲線曲率大處采樣間距最小，分布較密，而在曲率平緩處分布較稀疏，達(dá)到了采樣點(diǎn)隨曲率自適應(yīng)分布的效果，說(shuō)明采用自適應(yīng)采樣算法得到的采樣點(diǎn)，能更好的突出曲線的特征，更準(zhǔn)確的反映復(fù)雜曲面拋磨加工軌跡信息。

圖7 三種采樣點(diǎn)的NURBS擬合曲線與理論曲線對(duì)比

法能更高精度的逼近理論曲線，于是對(duì)上述三種方算采樣到的10個(gè)離散點(diǎn)進(jìn)行NURBS曲線擬合處理，如圖7所示。

從圖7可知，自適應(yīng)采樣擬合曲線與理論曲線最接近，優(yōu)于參數(shù)采樣算法和等弧長(zhǎng)采樣算法，進(jìn)一步地說(shuō)明了自適應(yīng)采樣算法生成軌跡精度較之其他算法生成精度更高。

5 結(jié)論

（1）本文提出了基于自適應(yīng)采樣的NURBS曲面軌跡生成算法，首先，針對(duì)已建立的CAD模型進(jìn)行自由曲面數(shù)據(jù)點(diǎn)提取，并建立了求取一條P次NURBS曲線數(shù)學(xué)模型，其次，針對(duì)得到的NURBS曲線進(jìn)行基于杠桿原理的曲線自適應(yīng)采樣離散，最后，自動(dòng)生成機(jī)器人拋磨連續(xù)軌跡。

（2）算法性能對(duì)比實(shí)驗(yàn)表明：本文自適應(yīng)采樣算法能在曲線曲率大處小間距采樣，采樣點(diǎn)分布密集，而在曲率平緩處大間距采樣，采樣點(diǎn)分布較稀疏，達(dá)到了采樣點(diǎn)隨曲率自適應(yīng)分布的效果，同時(shí)，自適應(yīng)采樣算法的擬合曲線與理論曲線接近，生成軌跡精度高。

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（編輯 趙蓉）

Trajectory Generation Algorithm and its Performance Comparison for Complex Curved Surface Polishing Based on Adaptive Sampling

XIANG Dan
（College of Automation，Guangdong Polytechnic Normal University，Guangzhou 510635，China）

According to the problem about complex surface machining movement trajectory difficulty and trajectory planning not with precision curvature adaptive sampling to cause is nothigher，The paper put forward a trajectory generation algorithm for NURBS surface based on adaptive sampling.Firstly，established CAD model free surface data points are extracted，and the establishment of seeking a P mathematical model of NURBS，secondly，according to the NURBS curves obtained curve based on discrete adaptive lever principle，finally，the automatic generation of robot polishing continuous path.Experiments indicate that：the performance comparison algorithm of adaptive sampling algorithm can sample in curvature at small distance sampling distribution，dense，and curvature in the gentle place large space sampling，the sampling points are sparsely distributed，reach the effect，sampling point with curvature adaptive distribution at the same time，fitting curve and theoretical curve of adaptive sampling algorithms to generate near，trajectory precision is high.

complex curved surface；polishing robot；NURBS curve；adaptive sampling

TH16；TG506

A

1001-2265（2015）06-0017-03 DOI：10.13462/j.cnki.mmtamt.2015.06.005

2015-02-02；

2015-03-05

2014年廣東省特色創(chuàng)新項(xiàng)目（自然科學(xué)類(lèi)）（2014KTSCX146）；廣東省教育廳科技創(chuàng)新項(xiàng)目（2013KJCX0121）；2013廣東優(yōu)秀青年教師培養(yǎng)計(jì)劃資金資助（Yq2013110）

向丹（1980—），女，湖北宜昌人，廣東技術(shù)師范學(xué)院副教授，博士，主要從事機(jī)電一體化方面的教學(xué)與科研工作，（E-mail）gzhbrxd@ 163.com。