陳思宇，劉銳鵬

（1.華北電力大學(xué)自動(dòng)化系，河北保定071003；2.西安通信學(xué)院陜西西安710106）

采樣法交流電參量測(cè)量的誤差分析

陳思宇1，劉銳鵬2

（1.華北電力大學(xué)自動(dòng)化系，河北保定071003；2.西安通信學(xué)院陜西西安710106）

基于采樣法對(duì)交流電參量進(jìn)行測(cè)量，信號(hào)的離散采樣和數(shù)字量化是引入測(cè)量誤差的主要因素。分析了采樣和量化的隨機(jī)特性，借助能反映采樣和量化影響的相應(yīng)電參量的標(biāo)準(zhǔn)差給出了有效值和有功功率等主要交流電參量測(cè)量的誤差公式。通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了理論的正確性，并分析了小信號(hào)情況下誤差的仿真結(jié)果偏離理論值的原因。

采樣測(cè)量法；誤差分析；有效值；有功功率

基于采樣法對(duì)交流電參量進(jìn)行測(cè)量具有響應(yīng)快、穩(wěn)定性好以及適用于任意波形的周期信號(hào)等優(yōu)點(diǎn)。采樣法的測(cè)量誤差主要源于采樣的不同步和信號(hào)的量化［1-2］。不同步采樣問題已得到了廣泛深入的研究，主要有采樣參數(shù)預(yù)估法和對(duì)信號(hào)加窗兩種方法。采樣參數(shù)預(yù)估法思路簡(jiǎn)單［3-4］，但算法的實(shí)現(xiàn)依賴于所選用的微處理器及外圍電路。信號(hào)加窗法通用性好，特別是通過加卷積窗可以極大地降低采樣的不同步帶來的測(cè)量誤差［1］，當(dāng)選用3階以上的卷積窗時(shí)不同步誤差將遠(yuǎn)小于量化誤差可以忽略［2］。實(shí)際上對(duì)因信號(hào)的離散采樣和數(shù)字量化而引入的量化誤差也已得到了研究［2，5-6］，但理論研究和仿真驗(yàn)證還不夠全面，特別是未見對(duì)不同信號(hào)幅度情況下量化誤差的分析研究。文中以理論推導(dǎo)和數(shù)值仿真兩種方式對(duì)有效值和有功功率等交流電參量的采樣法測(cè)量的量化誤差進(jìn)行研究。

1　基于采樣法的交流電參量測(cè)量

設(shè)交流電壓u（t）與電流i（t）均是頻率為f（周期T=1/f）的周期信號(hào)，則電壓和電流的有效值分別為u（t）和i（t）在一個(gè)周期內(nèi)的均方根，有功功率為瞬時(shí)功率u（t）i（t）在一個(gè)周期內(nèi)的平均值?；诓蓸臃▽?duì)交流電參量進(jìn)行測(cè)量，首先要對(duì)交流電信號(hào)進(jìn)行等間隔采樣。若以時(shí)間間隔對(duì)交流電進(jìn)行等間隔采樣，則得到的離散電壓序列us（n）和離散電流序列is（n）分別為u（nts）和i（nts）。

假設(shè)：1）所選的ts恰好能使一個(gè)信號(hào)周期被分為N等份，即ts=T/N；2）電壓和電流信號(hào)均只包含有限次諧波，且最高諧波的階次不超過k。則當(dāng)N＞2k時(shí)，交流電的有效值和有功功率可以由以下求和公式嚴(yán)格給出［7］

2　測(cè)量誤差分析

工程中采樣序列us（n）和is（n）還要進(jìn)一步通過A/D轉(zhuǎn)換為量化序列uq（n）和iq（n），則交流電參量測(cè)量的計(jì)算式為

顯然，由于量化序列不等于采樣序列，依據(jù)量化序列只能得到交流電參量的近似值。交流電參量的測(cè)量精度不僅與A/D轉(zhuǎn)換的二進(jìn)制量化位數(shù)、周期內(nèi)采樣點(diǎn)數(shù)等因素有關(guān)，還與交流電的具體波形或諧波成分有關(guān)?？紤]到采樣初相位和量化序列的隨機(jī)性，交流電參量的測(cè)量誤差也是隨機(jī)的。對(duì)各電參量的測(cè)量誤差本文借助其標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行定量分析。

為了分析方便，同時(shí)也考慮到交流電近似于正弦變化，在下面的誤差分析過程中假設(shè)被測(cè)信號(hào)只有基波分量而忽略2次以上諧波。交流電壓和電流的相位差用φ表示，則正弦交流電的有功功率為

再假設(shè)A/D轉(zhuǎn)換的量化結(jié)果為b位二進(jìn)制數(shù)，交流電壓和交流電流的測(cè)量量程分別為Ur和Ir，則相應(yīng)的量化步長(zhǎng)分別為

電壓和電流的量化序列分別為

其中eu（n）和ei（n）對(duì)應(yīng)電壓和電流的量化誤差，均為隨機(jī)變量。eu（n）和ei（n）分別在區(qū)間［-Δu/2，Δu/2］和［-Δi/2，Δi/2］內(nèi)近似服從均勻分布，二者均值為0，方差分別為

將式（10）代入式（4），進(jìn)一步取電壓有效值的一階展開近似

式中第二項(xiàng)的數(shù)學(xué)期望為0，可見電壓有效值的估計(jì)是無偏估計(jì)。

采樣的初相位不同，計(jì)算結(jié)果也不同。假設(shè)初相位是隨機(jī)的，借助標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)測(cè)量誤差進(jìn)行定量分析。結(jié)合式（12）并利用不同時(shí)間之間eu（n）的相互獨(dú)立性，可得出電壓有效值的標(biāo)準(zhǔn)差為

其特點(diǎn)是與被測(cè)電壓的大小無關(guān)，故可定義相對(duì)于電壓量程電壓有效值的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差為

同理，電流情況下的標(biāo)準(zhǔn)差分別為

以上理論分析可知，采樣法測(cè)量的交流電有效值的誤差與被測(cè)信號(hào)的幅度無關(guān)，主要決定于A/D轉(zhuǎn)換的量化位數(shù)和周期內(nèi)采樣點(diǎn)數(shù)。

將式（10）和式（11）代入式（3），有功功率為

式中后三項(xiàng)對(duì)應(yīng)測(cè)量誤差，數(shù)學(xué)期望為0，故有功功率也是無偏估計(jì)。誤差中的最后一項(xiàng)遠(yuǎn)小于另外兩項(xiàng)，分析中可忽略不計(jì)。結(jié)合式（12）、式（13）并利用不同的eu（n）、ei（n）之間的相互獨(dú)立性，可得出有功功率的標(biāo)準(zhǔn)差為

可見采樣法測(cè)量的交流電有功功率的誤差不僅與數(shù)A/D轉(zhuǎn)換的量化位數(shù)和周期采樣點(diǎn)有關(guān)，還與被測(cè)信號(hào)的幅度有關(guān)。電壓、電流信號(hào)的幅度越大，有功功率的誤差越大，當(dāng)電壓、電流均達(dá)到滿量程時(shí)有功功率的標(biāo)準(zhǔn)差取最大值

3　數(shù)值仿真與結(jié)果分析

以下對(duì)采樣法的測(cè)量誤差進(jìn)行數(shù)值仿真，研究信號(hào)的幅度、A/D轉(zhuǎn)換的量化位數(shù)以及周期內(nèi)采樣點(diǎn)數(shù)對(duì)測(cè)量誤差的影響。仿真中采用只含基波的交流電（正弦交流電）進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，主要電參量取典型值：交流電頻率f=50 Hz，電壓測(cè)量量程Ur=300 V，電流測(cè)量量程Ir=100 A。每次實(shí)驗(yàn)只改變信號(hào)的幅度、A/D轉(zhuǎn)換的量化位數(shù)以及周期內(nèi)采樣點(diǎn)數(shù)中的一個(gè)電參量，其余取如下固定值：電壓有效值量U=220 V，電流有效值I=70A，A/D轉(zhuǎn)換的量化位數(shù)b=10，周期內(nèi)采樣點(diǎn)數(shù)N=61。電參量的測(cè)量誤差由采樣初相位隨機(jī)給出的1 000次測(cè)量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差表示，在計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差中所用到的數(shù)學(xué)期望用真值代入。

表1為交流電壓變化時(shí)電壓有效值標(biāo)準(zhǔn)差的理論值與數(shù)值仿真結(jié)果。實(shí)驗(yàn)中電壓的量化步長(zhǎng)Δu≈0.8 V，交流電壓的幅度變化范圍覆蓋小至量化步長(zhǎng)，大至電壓量程?？梢钥闯觯?）當(dāng)信號(hào)幅度超過測(cè)量量程時(shí)仿真結(jié)果小于理論值，這是由于電路對(duì)大信號(hào)箝位所致；2）當(dāng)信號(hào)小至量化步長(zhǎng)的數(shù)量級(jí)時(shí)仿真結(jié)果明顯偏離理論值，這是因?yàn)榇藭r(shí)誤差的均勻分布假設(shè)失效所致；3）信號(hào)幅度小于量程且遠(yuǎn)大于量化步長(zhǎng)時(shí)仿真結(jié)果與理論分析相一致。

表2給出了改變A/D轉(zhuǎn)換器的二進(jìn)制量化位數(shù)時(shí)測(cè)量交流電壓標(biāo)準(zhǔn)差的理論值與數(shù)值仿真結(jié)果。A/D轉(zhuǎn)換的量化位數(shù)分別取常見的8、10、12、14和16。從表中數(shù)據(jù)可知，仿真結(jié)果與理論分析相一致。

表3給出了周期內(nèi)采樣點(diǎn)數(shù)不同時(shí)交流電壓的標(biāo)準(zhǔn)差的理論值與數(shù)值仿真結(jié)果。從表中數(shù)據(jù)可知，仿真結(jié)果與理論分析相一致。

采樣法測(cè)量中電流有效值與電壓有效值的計(jì)算過程完全相同，誤差的數(shù)值仿真結(jié)論也相同，因而不再單獨(dú)給出電流有效值測(cè)量的數(shù)值仿真與分析。

表1　交流電幅值對(duì)有效值測(cè)量誤差的影響Tab.1The effect of AC amplitude on RMS measurement

表2　A/D量化位數(shù)對(duì)有效值測(cè)量誤差的影響Tab.2The effect of A/D quantization number on RMS measurement

表3　采樣點(diǎn)數(shù)對(duì)有效值測(cè)量誤差的影響Tab.3The effect of sample number on RMS measurement

表4、表5、表6分別給出了交流電流的有效值、A/D轉(zhuǎn)換的量化位數(shù)以及周期內(nèi)采樣點(diǎn)數(shù)改變時(shí)交流電有功功率標(biāo)準(zhǔn)差的理論值與數(shù)值仿真結(jié)果。類似于電壓有效值測(cè)量的仿真結(jié)果，只有電流的幅值小至量化步長(zhǎng)的數(shù)量級(jí)時(shí)仿真結(jié)果明顯偏大，其他情況仿真結(jié)果與理論值均吻合很好。有功功率測(cè)量誤差的仿真實(shí)驗(yàn)中沒有改變交流電壓，這是因?yàn)閷?shí)際中電壓是相對(duì)穩(wěn)定量，不會(huì)大幅度變化。

表4　交流電幅值對(duì)功率測(cè)量誤差的影響Tab.4The effect of AC amplitude on power measurement

表5　A/D量化位數(shù)對(duì)功率測(cè)量誤差的影響Tab.5The effect of A/D quantization number on power measurement

表6　采樣點(diǎn)數(shù)對(duì)功率測(cè)量誤差的影響Tab.6The effect of sample number on power measurement

數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)表明，交流電有效值和有功功率的測(cè)量誤差與理論分析基本一致，但當(dāng)被測(cè)信號(hào)幅度小至量化步長(zhǎng)數(shù)量級(jí)時(shí)測(cè)量誤差明顯偏大。由于供電期間不可能出現(xiàn)小電壓情況，為了確保測(cè)量精度設(shè)計(jì)中應(yīng)重點(diǎn)提高對(duì)電流進(jìn)行A/D轉(zhuǎn)換的位數(shù)。另外，在理論分析和數(shù)值仿真中對(duì)被測(cè)信號(hào)均作了正弦近似，周期內(nèi)采樣點(diǎn)數(shù)可以取較小的值。實(shí)際上交流電中30次以上的諧波分量才能忽略，所以設(shè)計(jì)時(shí)周期內(nèi)采樣點(diǎn)數(shù)一般不小于61。

4　結(jié)束語

通過理論推導(dǎo)和數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)兩種方法，文中對(duì)通過采樣法測(cè)量而產(chǎn)生的交流電參量的測(cè)量誤差進(jìn)行了定量研究。研究表明測(cè)量誤差主要決定于A/D轉(zhuǎn)換的量化位數(shù)以及周期內(nèi)采樣點(diǎn)數(shù)的大小，并且當(dāng)被測(cè)信號(hào)幅度小至量化步長(zhǎng)數(shù)參考文獻(xiàn)：

量級(jí)時(shí)測(cè)量誤差較大。研究工作對(duì)基于采樣的交流電參量測(cè)量的誤差分析以及交流電參量測(cè)量?jī)x表的設(shè)計(jì)具有指導(dǎo)意義。

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Error analysis on sampling measurement of AC electrical parameters

CHEN Si-yu1，LIU Rui-peng2
（1.Department of Automation，North China Electric Power University，Baoding 071003，China；2.Xi'an Communications Institute，Xi'an 710106，China）

For the sampling measurement of AC electrical parameters，the errors are mainly caused by discrete sampling and digital quantization.By analyzing the randomicity of sampling and quantization，the measurement errors of AC electrical parameters are presented using the standard deviation formulas of RMS voltage，RMS current and active power etc.The theoretical correctness is examined by the numerical simulation and the deviation between the result of the numerical simulation and the theoretical value is analyzed for weak signal.

sampling measurement；error analysis；true RMS value；active power

TM933.4

A

1674-6236（2015）20-0120-03

2015-06-12稿件編號(hào)：201506131

陳思宇（1994—），女，陜西西安人。研究方向：測(cè)控技術(shù)與儀器。