秦　利　劉福才　梁利環(huán)　金振林

燕山大學工業(yè)計算機控制工程河北省重點實驗室,秦皇島,066004

基于滑模的混聯(lián)仿人空間機械臂軌跡跟蹤控制

秦利劉福才梁利環(huán)金振林

燕山大學工業(yè)計算機控制工程河北省重點實驗室,秦皇島,066004

針對空間高速目標抓取任務中對手臂伸出定位基本動作的要求,提出一種4-DOF串并混聯(lián)仿人機械臂。重點設計了以球面并聯(lián)機構為機構原型的高承載力肩關節(jié)以及輕量化的驅動裝置與低慣量的布置形式?？紤]混聯(lián)的結構特點，利用李群李代數(shù)法并結合虛功原理推導了機械臂的動力學方程，該方法可避免約束反力的處理與邏輯開鏈的劃分以及大量的微分運算。在此基礎上，針對混聯(lián)結構的強非線性和強耦合性,使用滑?？刂破鲗C械臂進行軌跡跟蹤控制，驗證了所提滑?？刂破鞯挠行浴?/p>

混聯(lián)仿人機械臂;球面并聯(lián)機構;動力學建模;李群李代數(shù)法;滑?？刂?/p>

0　引言

仿人機器人具有效仿人類的運動機理以及感知協(xié)調、思維決策等方面的能力，其應用需求已從傳統(tǒng)的工業(yè)延伸至航天、軍事、醫(yī)療等領域。仿人機器人研究的最終目標之一是輔助或替代人類完成諸如外科手術、太空作業(yè)、日常服務等復雜、精密、繁重的操作任務。目前，具有代表性的研究成果可大致分為三類[1-3]:ASIMO、HUBO、匯童等仿人機器人，研究重點在于行走能力，臂部操作是輔助研究；HRP-2、Justin等仿人機器人實現(xiàn)了多傳感器配合下的臂部基本操作；Cog、DAV等仿人機器人實現(xiàn)了具有自主思維與學習能力的臂部協(xié)調操作。上述仿人機器人臂部均為串聯(lián)結構,執(zhí)行的操作對機械臂運動精度、速度以及承載能力要求不高。然而，當操作任務具有快速、大負載、高精度等特點時，機械臂的性能則顯得十分重要。串聯(lián)結構具有較大的工作空間，但自由度的增加往往造成關節(jié)承載能力的下降和位置累積誤差的增大。并聯(lián)機構具有剛度高、速度快、精度好等優(yōu)點，但工作空間上難以滿足操作要求。相比之下,混聯(lián)結構可以兼容串并聯(lián)結構的特點[4],更適應仿人機械臂操作能力方面的要求。現(xiàn)有典型混聯(lián)仿人機械臂主要有清華大學劉辛軍等[5]提出的7-DOF仿人機械臂,燕山大學金振林等[6]設計的6-DOF仿人機械臂,以及上海交通大學SJTU-HR1仿人機器人的臂部[7],研究的側重點多集中于機構綜合與位置分析，動力學分析與控制研究較少[8]。

與串聯(lián)或并聯(lián)機械臂不同,串并混聯(lián)仿人機械臂傳動鏈的結構復雜,具有強耦合性,給其動力學和運動學的分析建模以及軌跡跟蹤控制帶來很大困難?；谟嬎懔氐那梆伩刂品椒ㄊ菍崟r性較強的一種基本控制方法，但因其魯棒性不強，往往在存在擾動的情況下難以對機械臂進行有效的控制。而滑模變結構控制作為常用的魯棒控制方法，對系統(tǒng)的內部及外部擾動均具有很強的魯棒性，這對于機械臂的控制非常有利，它可以削弱由于隨機干擾或負載變化對系統(tǒng)控制性能的影響。所以,機器人控制是近年來滑模變結構控制理論的主要應用環(huán)境之一。文獻[9]根據(jù)控制任務的要求采用基于滑模的控制方法完成了機器人的跟蹤任務。文獻[10]針對輪式移動機器人的輸出跟蹤問題,設計了輸出跟蹤的動態(tài)滑?？刂破鳎抡娼Y果驗證了該控制器的良好性能。然而，以上研究只針對串聯(lián)或并聯(lián)機械臂，對于串并混聯(lián)機械臂軌跡跟蹤控制的研究較少。

本文針對空間高速目標抓取任務中對手臂伸出定位基本動作的要求，提出一種4-DOF混聯(lián)仿人機械臂。為解決混聯(lián)仿人機械臂拓撲結構復雜、動力學求解與控制比較困難的問題，利用虛功原理結合李群李代數(shù)的相關運算公式，建立了形式簡潔、便于工程實現(xiàn)的動力學方程，針對動力學方程的強非線性的特點，使用滑?？刂破鲗ζ鋭恿W進行了軌跡跟蹤控制的仿真和分析，為混聯(lián)仿人機械臂的動力學分析與控制提供了新方法。

1　機構描述

1.1結構布局說明

人類手臂具有高度的靈活性與冗余性。對于手臂自由度的分布,Mark[11]認為肩部3個自由度、肘部1個自由度、腕部3個自由度,這是目前仿人手臂采用較多的構型。神經生理學研究結論表明臂部與手部姿態(tài)相互獨立,腕部位置是由肩、肘兩關節(jié)確定的[12]。因此,對于高速目標抓取任務中手臂伸出定位基本動作的研究，重點是肩、肘部的設計。故而選擇本文所提混聯(lián)仿人機械臂的自由度布局為：肩部3個自由度，肘部1個自由度，暫不涉及腕關節(jié)。

肩部為典型的球窩關節(jié)，需承載懸臂的自重及外部負載，是手臂中最靈活且受力最大的部位。而球形關節(jié)在構件結構與驅動方式的實現(xiàn)上都比較復雜，多以串聯(lián)形式將3個自由度分開實現(xiàn)，關節(jié)負載能力非常有限。觀察人類肩部結構，肩部內收/外展的運動范圍最大，直接限制臂部的工作空間。而承載最大的是與重力指向相同的伸/屈方向運動。

基于以上生理結構、承載能力與工作空間的綜合分析,選擇該機械臂傳動鏈結構為：以轉動副實現(xiàn)肩部內收/外展(即偏航方向)運動，以一種5個轉動副構成的2-DOF球面并聯(lián)機構(以下簡稱5R 2-DOF SPM)實現(xiàn)伸/屈(即俯仰方向)和內/外旋(即橫滾方向)兩個方向的運動，肘部采用一轉動低副，肩部、大臂、肘部、小臂串接。圖1是該機械臂的Solidworks裝配圖。5R 2-DOF SPM的裝配圖見圖2。5R 2-DOF SPM包含2個主動桿、2個從動桿和5個轉動副。如圖2所示,該機構各轉動副軸線相交于機構轉動中心o2且每條運動支鏈上相鄰轉動副軸線兩兩垂直。整個機構由兩條運動支鏈構成,支鏈1(簡稱D1)為Rs1→L1→Rs3→L3→Rs4→L4，支鏈2(簡稱D2)為Rs2→L2→Rs5。

1.肩部驅動裝置1　2.基座　3.機架及驅動裝置連接件　4.上下離合器　 5.肩部驅動裝置2　6.肩部固件　7.5R 2-DOF SPM　8.大臂　9.肘部驅動裝置　10.肘部　11.小臂圖1　機械臂整體裝配圖

圖2　5R 2-DOF SPM機構裝配圖

肩部驅動裝置1驅動與基座連接的轉動副，控制肩部在偏航(yaw)方向的轉動;肩部驅動裝置2經由上下離合器及齒輪嚙合通過轉動副Rs1和Rs2分別驅動主動桿L1和L2,通過支鏈1實現(xiàn)L4的橫滾(roll)運動,支鏈2實現(xiàn)L2的俯仰(pitch)運動。大臂連接件穿過與L2固連的Rs5與L4固接,從而將5R 2-DOF SPM輸出的俯仰和橫滾兩方向的旋轉運動傳遞給大臂;小臂經由肘部轉動副與大臂相串聯(lián)，由肘部驅動裝置控制實現(xiàn)俯仰方向的運動。

該混聯(lián)仿人機械臂在設計上有以下幾個優(yōu)點:①并聯(lián)結構使累計誤差更小，精度更高；②兩組驅動裝置經由并聯(lián)結構共同承載懸臂及末端負載，使肩部承載能力提高；③肩部驅動裝置放置于肩部固件上，減小了運動構件的質量和驅動裝置的自重載荷；④肘部驅動裝置內嵌于中空的大臂中，避免置于桿件外部，從而降低了運動慣性，提高了機械臂的動態(tài)特性;⑤5R 2-DOF SPM為正交并聯(lián)機構，加工精度更高。

1.2坐標系建立及位置分析

設系統(tǒng)的廣義坐標為q=(q1,q2,q3,q4)T,各關節(jié)坐標系設置如圖3所示。系{0}-o0x0y0z0為基坐標系,系{2}-o2x2y2z2為5R 2-DOF SPM固定坐標系,系{3}-o3x3y3z3為5R 2-DOF SPM隨動坐標系,系{4}-o4x4y4z4為肘關節(jié)坐標系,系{5}-o5x5y5z5為末端坐標系。系{2}與系{3}原點重合于5R 2-DOF SPM的轉動中心,z3與Rs5軸線重合,x3與Rs4軸線重合,從而,5R 2-DOF SPM俯仰方向的輸出是z3正向與y2負向的夾角,橫滾方向的輸出是x3正向與x2負向的夾角。

圖3　機械臂坐標系示意圖

設單位矢量e與Rs3軸線重合,根據(jù)5R 2-DOF SPM各傳動鏈中相鄰轉動副軸線垂直的特點,容易得到幾何關系:x3=e×z3,y3=z3×x3。從而求得系{3}的坐標軸單位矢量x3、y3、z3在系{2}中的表達式：

(1)

從而,可以得到系{3}到系{2}的變換矩陣A3=[x3y3z3]。使用D-H法可求得系{1}到系{0}的變換矩陣A1,系{2}到系{1}的變換矩陣A2,系{4}到系{3}的變換矩陣A4，末端到系{4}的變換矩陣A5,計算T=A1A2A3A4A5,可得末端坐標系到基系的變換矩陣與正運動學模型的解析解。同理可求得各關節(jié)位置在基系中的解析解。

2　動力學分析及建模

混聯(lián)仿人機械臂動力學分析的難點是閉環(huán)與被動關節(jié)的處理，目前主要的處理方法是,利用符號推導等方式將混聯(lián)傳動鏈的閉環(huán)切開等效為串聯(lián)結構[13]。傳統(tǒng)動力學建模方法主要有Lagrange法與Newton-Euler法，前者形式簡單，但需大量微分運算,計算復雜度為O(N4)；后者計算復雜度為O(N),但被動關節(jié)導致未知運動學參數(shù)的存在,令推導過程復雜。李群李代數(shù)法由于其物理意義明確、表達形式簡潔而被應用于多體系統(tǒng)的分析中,以往的應用主要是利用伴隨映射改進開鏈遞推公式[14],以及利用驅動螺旋理論對并聯(lián)機構建模[15]。本文的應用重點在于處理混聯(lián)傳動鏈中的被動關節(jié)，得到簡潔的動力學解析解。求解思路如下：利用螺旋理論的結論公式將被動關節(jié)的運動學參數(shù)表示為驅動關節(jié)相關參數(shù)的組合，并應用李代數(shù)伴隨算子和對偶伴隨算子實現(xiàn)其不同坐標系中的變換，整理出連桿質心速度螺旋系數(shù)的計算式；然后應用Klein內積使開鏈和閉鏈中的連桿具有統(tǒng)一形式的動力學表達式；最后利用虛功理論推導出只包含連桿力螺旋與質心速度螺旋的表達式，從而得到計算復雜度低的動力學解析解。具體計算方法如下。

寫出圖3所示基座、肘關節(jié)轉動副螺旋$i(i=1,4)以及5R 2-DOF SPM各轉動副螺旋$Rsj(j=1,2,…,5)的Plücker坐標：

(2)

設ωRsj(j=1,2,…,5)為轉動副Rsj(j=1,2,…,5)的角速度，利用開環(huán)速度螺旋遞推公式[16]可分別列出并聯(lián)機構輸出速度VL4在支鏈D1及D2中的表達式，整理后可得關于ωRsj的非齊次線性方程組：

(3)

求解上式,便可得到用廣義關節(jié)速度的線性組合表示的被動關節(jié)角速度：

(4)

基于式(4)進一步可得并聯(lián)機構各連桿速度螺旋VL n：

(5)

進一步推導可得基系螺旋系數(shù)$*0與剛體坐標系螺旋系數(shù)$*的關系式:

(6)

以及連桿Δ的質心速度螺旋系數(shù)$Δcm*與其開環(huán)速度螺旋系數(shù)$*0之間的關系式：

$Δcm*=[P($*0)P($*0)×rΔcm+D($*0)]T

(7)

式中,rΔcm為連桿質心位矢在基系中的表達。

利用式(5)～式(7)可得各桿件質心速度螺旋在基系中的表達：

(8)

式中,Vscm為肩部整體的速度螺旋;Vuacm為大臂的速度螺旋；Vfacm為小臂的速度螺旋;VLncm(n=1,2,3,4)為并聯(lián)機構各連桿的速度螺旋。

剛體受到的力螺旋[16]對剛體做的功可由李代數(shù)的Klein內積計算得出,則系統(tǒng)總功W的表達式為

W=KL(Vscm,Fs)+KL(Vuacm,Fua)+KL(Vfacm,Ffa)+

KL(VL1cm,FL1)+KL(VL2cm,FL2)+

KL(VL3cm,FL3)+KL(VL4cm,FL4)+

(9)

式中,τi為關節(jié)驅動力矩;Fs為肩部整體受到的力螺旋;Fua為大臂受到的力螺旋；Ffa為小臂受到的力螺旋；FL i(i=1,2,3,4)為并聯(lián)機構各連桿受到的力螺旋；KL(·)表示Klein內積運算。

假設機構處于平衡狀態(tài)時驅動關節(jié)速度為0，根據(jù)虛功定理可得系統(tǒng)動力學方程：

(10)

進而可得驅動力矩表達式,寫為矩陣形式為

(11)

3　控制器設計

由于該混聯(lián)仿人機械臂具有串并混聯(lián)的結構特點，其動力學模型具有很強的非線性，當使用常規(guī)的PD或PID進行關節(jié)空間軌跡跟蹤控制時，很難達到控制任務的要求,為此,設計滑?？刂破?。具體分析與設計如下。

變換系統(tǒng)動力學模型式(11)，可得

(12)

若考慮系統(tǒng)的擾動則系統(tǒng)的動力學模型可寫為

(13)

定義系統(tǒng)的跟蹤誤差為

e=qd-q

(14)

(15)

式中,qd和q分別為系統(tǒng)期望和實際的關節(jié)位置矢量。

選取滑模面如下：

(16)

式中,KP∈R4×4為正定比例增益矩陣；KI∈R4×4為正定積分增益矩陣；KD∈R4×4為正定微分增益矩陣。

對式(16)求導并將式(12)和式(13)代入得

(17)

(18)

為抑制控制器輸出抖動，使用飽和函數(shù)作為趨近率,則切換控制律設計為

Ts=Krsat(s/ki)

(19)

式中，Kr為正定對角矩陣；ki為正常數(shù)；sat(·)為飽和函數(shù)。則系統(tǒng)的控制律為

T=Teq+Ts

(20)

取李雅普諾夫函數(shù)為

(21)

對V(t)求導可得

(22)

圖4　混聯(lián)仿人機械臂滑?？刂葡到y(tǒng)框圖

4　仿真研究

為了驗證本文所設計控制方法的有效性,使用控制器式(20)對該混聯(lián)仿人機械臂進行軌跡跟蹤控制仿真研究?？刂破鲄?shù)為：KI=diag(1000,1200,1200,1200)，KD=diag(4,4,4,4),ki=100,KP=diag(100,80,80,80),Kr=diag(1.5,1.5,1.5,1.5)。系統(tǒng)仿真參數(shù)如表1所示(表中，a1、d4、d5含義見圖3)。仿真環(huán)境為MATLAB 7.0，仿真時間為10 s，仿真結果如圖5、圖6所示。

表1　仿真實驗參數(shù)表

(a)關節(jié)空間期望軌跡與實際軌跡對比圖

(b)關節(jié)空間跟蹤誤差

(c)工作空間期望軌跡與實際軌跡對比圖

(d)關節(jié)驅動力矩圖5　無擾動時滑模控制仿真結果

圖6　有擾動時工作空間期望軌跡與實際軌跡對比

使用PD控制器對混聯(lián)仿人機械臂進行軌跡跟蹤控制時，即使無外界擾動，系統(tǒng)也最終發(fā)散，無法穩(wěn)定運行，由此可以說明串并混聯(lián)機械臂控制的復雜性及所提控制方案的優(yōu)點。

5　結語

針對未來空間自主在軌服務的任務需求，在分析人類手臂結構及運動機理的基礎上，提出了一種以2-DOF球面并聯(lián)機構串聯(lián)轉動低副布置傳動鏈的新型4-DOF串并混聯(lián)仿人機械臂,該機械臂結構緊湊、位置分析簡單、承載能力好，且不存在移動副，更便于控制與維護。在動力學建模方面，闡述了閉環(huán)與被動關節(jié)的處理方法，以及利用虛功原理與Klein算子的動力學推導過程，并給出質心速度螺旋系數(shù)的計算公式。最后應用該動力學解析解，設計了滑?？刂破鲗ζ溥M行軌跡跟蹤控制，通過與PD控制進行對比說明串并混聯(lián)機械臂控制的復雜性且突出了滑?？刂破鞯膬?yōu)越性。研究結果為同類型混聯(lián)機構的設計、分析以及應用研究提供了經驗。下一步的研究工作將分析該機械臂在不同重力環(huán)境下的動力學特性與控制問題。

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(編輯蘇衛(wèi)國)

Hybrid Humanoid Space Mechanical Arm Trajectory Tracking Control Based on Sliding Mode

Qin Li Liu FucaiLiang LihuanJin Zhenlin

Key Lab of Industrial Computer Control Engineering of Hebei Province,Yanshan University,Qinhuangdao,Hebei,066004

To study the reaching motion of arm in high-speed target grasp tasks,a 4-DOF hybrid humanoid space mechanical arm was presented.The design of the shoulder joint with high bearing capacity which was based on spherical parallel manipulator,light weight device drivers and layout form with low moment of inertia were stressed on.Considering the structure characteristics of hybrid mechanism,the dynamics analyses were investigated using the principle of virtual work and Lie group and Lie algebra.This method can avoid the processing of constraint reaction and the division of logic open-chains and a lot of differential operations.The trajectory tracking task was completed by using the sliding mode control(SMC) which could cope with the high nonlinearity and couplings of the hybrid humanoid space mechanical arm. Simulation results show the effectiveness of the SMC.

hybrid humanoid mechanical arm;spherical parallel manipulator;dynamics modeling;Lie groups and Lie algebra;sliding mode control

2013-07-03

國家高技術研究發(fā)展計劃(863計劃)資助項目

TP242.2DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.04.002

秦利,女，1984年生。燕山大學電氣工程學院博士研究生。主要研究方向為機器人技術、智能控制。劉福才(通信作者),男，1966年生。燕山大學電氣工程學院教授、博士研究生導師。梁利環(huán)，女,1990年生。燕山大學電氣工程學院碩士研究生。金振林，男，1962年生。燕山大學機械工程學院教授、博士研究生導師。