呂紀(jì)遠(yuǎn)，張海聯(lián)，葉東明，李九人

（載人航天總體研究論證中心，北京 100094）

考慮測控約束的非特殊點雙沖量變軌規(guī)劃算法研究

呂紀(jì)遠(yuǎn)，張海聯(lián)，葉東明，李九人

（載人航天總體研究論證中心，北京 100094）

非特殊點雙沖量變軌問題中，使用近地點遠(yuǎn)地點雙沖量變軌可以得到最優(yōu)的速度增量，但沒有考慮測控覆蓋范圍的約束。針對這個問題，對一般橢圓軌道的雙脈沖變軌問題進(jìn)行了介紹，在此基礎(chǔ)上，將測控約束與非特殊點雙脈沖變軌問題進(jìn)行綜合考慮，借助軌道外推、測控覆蓋分析得到一套變軌規(guī)劃算法，能夠在考慮測控覆蓋的約束下得到非特殊點雙沖量變軌的最優(yōu)解。仿真結(jié)果表明，規(guī)劃算法優(yōu)化出的速度增量與特殊點變軌相比增加很少，且發(fā)動機工作期間滿足測控約束。

非特殊點變軌；雙脈沖；測控約束

1 引言

軌道機動和軌道控制方法很多，尤其對于軌道面內(nèi)的升降軌機動，研究頗為成熟。已知兩個共面圓軌道之間的過渡，霍曼變軌是最省燃料的方式；而對于共面同軸同向橢圓軌道之間的過渡，文獻(xiàn)［1］中亦有證明：在小橢圓近地點和大橢圓遠(yuǎn)地點施加脈沖最省燃料。但是，在具體與工程實際結(jié)合方面，常規(guī)的軌道控制理論仍有諸多需要補充的地方。對于有測控弧段約束，無法在特殊點變軌的共面橢圓，如何在測控弧段內(nèi)實現(xiàn)其最省燃料的機動方式，是許多航天器軌道控制必須解決的關(guān)鍵問題。

本文針對共面橢圓軌道之間的非特殊點變軌進(jìn)行研究，軌道機動位置不在近地點或遠(yuǎn)地點。Lawden［2］和Bender［3］早在1962年就對這種一般性軌道控制問題開展了研究，提出了180°對稱周向控制的最佳模式，但是我國的實際測控條件并不一定能滿足相位差180°的要求，這就對實際工程應(yīng)用提出了較為苛刻的約束。本文對一般性軌道控制算法進(jìn)行推導(dǎo)，然后借助優(yōu)化算法，解決了機動控制中從任意范圍的真近點角施加脈沖，將小橢圓軌道變?yōu)榇髨A軌道的最優(yōu)控制問題。

2 一般橢圓雙脈沖軌道控制數(shù)學(xué)模型

首先介紹一般橢圓的雙脈沖變軌算法［4］。

令（1）、（2）、（T）分別表示初始軌道、目標(biāo)軌道和轉(zhuǎn)移軌道，下標(biāo)1、2、T表示軌道（1）、（2）、（T）的參數(shù)，第二下標(biāo)表示在第一下標(biāo)軌道上該參數(shù)的條件（見圖1）。例如，f1T表示在初始軌道上向轉(zhuǎn)移軌道過渡的脈沖作用點的真近點角。由于轉(zhuǎn)移軌道的拱線與初始軌道的拱線并不一定重合，因此一般情況下f1T≠fT1。

圖1 雙脈沖拱線變軌示意圖Fig.1 Two-impulses orbit transfer method

令轉(zhuǎn)移軌道相對于初始軌道的轉(zhuǎn)動控制值為ΔωT，目標(biāo)軌道相對于初始軌道的轉(zhuǎn)動控制值為Δω，則脈沖作用點真近點角的關(guān)系如式（1）：

如圖1所示，在第一脈沖作用點，有式（2）：

在第二脈沖作用點，有式（3）：

上述各式中vr、vt表示徑向、切向速度。兩次脈沖總的速度增量Δv可以由（2）和（3）聯(lián)立得式（4）：

確定雙脈沖拱線變軌最省燃料的過渡方式，就是在一定的約束條件下求Δv的極小值。

3 考慮約束的軌道機動規(guī)劃算法

3.1 約束條件

我國地面測控覆蓋范圍有限，對變軌時刻存在較大約束。為確保機動過程可控，一般情況下，要求軌控發(fā)動機工作時航天器要在測控弧段內(nèi)?；诠?jié)省燃料的考慮，變軌點通常選在近地點和遠(yuǎn)地點附近，考慮測控約束條件下一般的做法是，對近地點和遠(yuǎn)地點測控覆蓋情況進(jìn)行篩選，在滿足測控條件的圈次對軌道機動的速度增量進(jìn)行迭代優(yōu)化。

航天器初始軌道與初始目標(biāo)軌道是另一組約束條件。本文設(shè)定目標(biāo)橢圓與原軌道共面，且指定其偏心率e2和長半軸a2作為目標(biāo)約束。

3.2 規(guī)劃算法

規(guī)劃算法分為三步，具體為：

1）軌道外推和篩選第一次變軌點

根據(jù)初始軌道要素和高精度軌道動力學(xué)模型對軌道進(jìn)行外推，同時按照測站位置數(shù)據(jù)篩選每圈會經(jīng)過哪些測站，以距離測站最近的點作為變軌點，進(jìn)而得到一系列可用的脈沖變軌點集合，用真近點角表示為｛f1T｝。

2）用優(yōu)化算法確定最佳轉(zhuǎn)移的Δv1和Δv2

首先分析兩次變軌所需的速度增量與哪些變量相關(guān)：

根據(jù)橢圓運動方程，可知在第一次變軌點，有式（5）：r1T

是第一次脈沖作用點的地心距，令rT1為轉(zhuǎn)移軌道上第一次脈沖作用點的地心距，則r1T=rT1，并且有式（6）：

式（6）中有三個未知數(shù)，fT1、eT和pT，可將fT1作為待優(yōu)化的變量，列方程組求解轉(zhuǎn)移軌道的偏心率eT和半通徑pT。

方程組的第一個方程根據(jù)r1T=rT1給出，第二個方程可根據(jù)第二次脈沖作用點的r2T=rT2給出，即式（7）：

式（7）中，fT2同（6）中的fT1一樣作為待優(yōu)化變量。由于目標(biāo)軌道只約束軌道長半軸a2和偏心率e2，沒有約束f2T，因此f2T也需要作為待優(yōu)化變量。式（5）、（6）和（7）構(gòu)成方程組如式（8）：

方程組（8）中，已知量為初始軌道的e1、p1、f1T和目標(biāo)軌道的e2、p2，待優(yōu)化變量為三個真近點角fT1、fT2和f2T，可以用這些量表示et和pt如式（9）：

進(jìn)而根據(jù)（2）、（3）和（4）求得速度增量Δv。

在上述理論的基礎(chǔ)上，選擇一套優(yōu)化算法對三個脈沖變軌點fT1、fT2和f2T進(jìn)行優(yōu)化即可，即在給定的初始軌道和脈沖變軌點集｛f1T｝，以及目標(biāo)軌道長半軸a2和偏心率e2的條件下，使用方程組（9）和（2）、（3）、（4）求得最小的雙脈沖轉(zhuǎn)移速度增量Δv。

此規(guī)劃算法適用于目標(biāo)軌道為任意橢圓的情形，當(dāng)目標(biāo)軌道的偏心率e2=0，待優(yōu)化變量減少為fT1和fT2兩個時，計算可簡化。

3）得出整個變軌規(guī)劃的結(jié)果

根據(jù)第二步的優(yōu)化結(jié)果，將Δv1在對應(yīng)的位置上進(jìn)行施加，考察在給定的發(fā)動機推力下，施加速度增量Δv1會不會導(dǎo)致開關(guān)機點在測控覆蓋范圍外，從而篩選出第一次變軌的施加圈次；然后考察在給定的發(fā)動機推力下，施加Δv2時的第二變軌點經(jīng)過哪些測站，并確保開關(guān)機點在測站覆蓋范圍內(nèi)，從而篩選出第二變軌點的變軌圈次，得出整個變軌規(guī)劃的結(jié)果。

對于第一步和第三步，通過測控覆蓋分析完成；對于第二步優(yōu)化，可考慮使用0～360°遍歷三個待優(yōu)化角度的方法獲得最小速度增量Δv，以得到全局最優(yōu)解。

4 仿真

4.1 參數(shù)設(shè)置

以常見的近地小偏心率橢圓軌道為例，驗證雙沖量變軌算法有效性，此變軌需求常見于入軌后軌道圓化或航天器升軌控制。設(shè)航天器的初始軌道歷元為2014年7月30日00：00：00，初始軌道參數(shù)見表1，變軌的目標(biāo)軌道為400 km圓軌道。

表1 航天器初始軌道要素Table 1 The initial six orbit elements

航天器質(zhì)量設(shè)置為5000 kg，推力器推力為1000 N，大氣阻力面質(zhì)比為0.004，考慮地球J2攝動，所使用的地面測站包括目前我國在全球的所有可用測站。

規(guī)劃和仿真的步長為1 s，考察航天器過測站的情況，以5°仰角為測站觀察范圍。

4.2 規(guī)劃結(jié)果

按照3.2節(jié)規(guī)劃算法的第一步，得到的可用真近點角集合｛f1T｝整理如表2（僅截取第四圈過測站的結(jié)果）。

表2 第四圈過測站情況統(tǒng)計Table 2 The statistics of passing the measurement stations in circle 4

此時可以根據(jù)其它工程具體約束選擇施加第一次變軌脈沖的真近點角，本文選擇在遠(yuǎn)望五1的測控覆蓋區(qū)內(nèi)實施第一次脈沖，即真近點角為11.07°時作為標(biāo)稱脈沖施加點。

然后根據(jù)步驟二優(yōu)化得到相應(yīng)的速度增量和轉(zhuǎn)移軌道參數(shù)，結(jié)論如下：

此方法所需總的速度增量為56.56 m/s，而理論上最優(yōu)的近地點遠(yuǎn)地點變軌方案所需的總的速度增量為56.32 m/s，可見差別很小。

然后按照3.2節(jié)第三步，以第四圈的f1T點為基準(zhǔn)，考察第二次脈沖時間點過測站情況（截取第五圈情況統(tǒng)計，見表3）。

其中在測站圣地亞哥附近，可以實現(xiàn)施加航天器軌控發(fā)動機工作時的測控覆蓋，從而得到整套變軌流程：以第四圈f1T=11.07°為基準(zhǔn)施加第一次速度增量，Δv1=8.69 m/s；以第五圈fT2=180.00°為基準(zhǔn)施加第二次速度增量，Δv2= 47.89 m/s。總的速度增量僅比理論最優(yōu)方案增加0.34 m/s。

表3 第五圈過測站情況統(tǒng)計Table 3 The statistics of passing the measurement stations in circle 5

本算例僅針對一次一般性的變軌需求進(jìn)行了算法驗證，事實上，此算法可對任何涉及測控覆蓋約束的共面變軌需求進(jìn)行求解，從結(jié)論中可以看出，相對于最優(yōu)的霍曼轉(zhuǎn)移，變軌速度增量增加很小。

5 結(jié)論

本文所設(shè)計的變軌規(guī)劃策略，從算法角度就考慮了非特殊點變軌問題，并將測控范圍作為基本約束，與現(xiàn)有做法相比，優(yōu)點在于不需要多次迭代計算，可直接求得在考慮實際測控覆蓋范圍約束下的共面軌道機動策略。此外，由于求解過程中引入優(yōu)化，最終所需速度增量與特殊點變軌相比也增加很少。本文從工程實際角度引入約束并進(jìn)行求解，所得算法可為實際應(yīng)用提供參考。

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［1］ 劉暾，趙鈞.航天器軌道動力學(xué)［M］.哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社.哈爾濱.2011：41-45.

Liu Dun，Zhao Jun.The Spacecraft Orbital Dynamics［M］. Harbin：Harbin Institute of Technology Press，2011：41-45. （in Chinese）

［2］ Lawden D F.Impulsive Tranfer between Elliplical Orbits in Optimization Techniques［M］.Leitmann G..Academay Press，1962：107-122

［3］ Bender D F.Optimum coplanar two-impulse transfer between elliptic orbits［J］.Aerospace Enginering 1962（10）：56-63.

［4］ 章仁為.衛(wèi)星軌道姿態(tài)動力學(xué)與控制［M］.北京航空航天大學(xué)出版社.北京，2006：77-79.

Zhang Renwei.Satellite Orbit Attitude Dynamics And Control ［M］.Beijing：Beihang University Press，2006：77-79.（in Chinese）

Research on Non-special Points Two-impulse Orbit Transfer Planning with Tracking，Telemetry and Control Constraints

LV Jiyuan，ZHAGN Hailian，YE Dongming，LI Jiuren
（Manned Space System Reasearch Center，Beijing 100094，China）

The problem of non-special points two-impulse orbit transfer was studied.In general，the application of special points orbit transfer method can get optimal result.However，this method doesn't take into account the tracking，telemetry and control（TT&C）constraints.In this paper，the two-impulse transfer of ellipse orbit was introduced at first.Then，considering the TT&C constraints，the method of orbit extrapolation and TT&C coverage analysis were used to get a new algorithm.Simulation result shows that the velocity increment obtained by the new algorithm is only a little more than that of the optimal result，and can meet the TT&C constraints during the engine firing.

non-special points orbit transfer；two-impulse；tracking，telemetry and control（TT&C）constraints

V556

A

1674-5825（2015）06-0560-04

2014-07-30；

2015-08-24

呂紀(jì)遠(yuǎn)（1984-），男，博士，助理研究員，研究方向為載人航天任務(wù)分析與仿真。E-mail：kokyo52@163.com