肖賢 張維中

【摘 要】針對卡爾曼濾波（KF）在對非線性目標(biāo)系統(tǒng)目標(biāo)跟蹤問題時易出現(xiàn)跟蹤精度較低，濾波發(fā)散等問題，將不敏卡爾曼濾波器（UKF）運用在非線性系統(tǒng)的目標(biāo)跟蹤中。通過不敏卡爾曼濾波器在非線性目標(biāo)跟蹤中的應(yīng)用和仿真結(jié)果比較表明，不敏卡爾曼濾波與傳統(tǒng)卡爾曼濾波器和擴展卡爾曼濾波器（EKF）相比，提高了濾波精度，改善了濾波性能，具有較好的跟蹤效果。

【關(guān)鍵詞】不敏卡爾曼濾波 機動目標(biāo) Matlab 擴展卡爾曼濾波 非線性系統(tǒng)

卡爾曼濾波器[1]依據(jù)最小均方誤差準(zhǔn)則獲得目標(biāo)的動態(tài)估計，但是在實際系統(tǒng)中，大部分的觀測數(shù)據(jù)與目標(biāo)的動態(tài)參數(shù)之間的關(guān)系均是非線性的。對于非線性的濾波問題，很多方法對此傳統(tǒng)的卡爾曼濾波算法進(jìn)行了擴展研究。其中比較突出的是EKF，UCMKF，PF等方法。通常對于非線性系統(tǒng)的處理的辦法是運用線性化將非線性的問題轉(zhuǎn)換成線性問題，套用KF來進(jìn)行求解。當(dāng)系統(tǒng)的動態(tài)模型與觀測模型所得到的線性化誤差較大時，濾波器跟蹤容易發(fā)散，在對非線性系統(tǒng)進(jìn)行kalman濾波時，必須求非線性函數(shù)的Jacobi矩陣，對于摩西復(fù)雜的系統(tǒng)，求取方法繁瑣且容易出錯。另外，在工程應(yīng)用之中，模型線性化過程較為復(fù)雜，不易得到。如果假設(shè)模型與真是模型不相符合，就會出現(xiàn)濾波發(fā)散。引起濾波發(fā)散的主要原因包括，系統(tǒng)過程噪聲與量測噪聲參數(shù)選取對過程噪聲影響較大、系統(tǒng)初始狀態(tài)和初始協(xié)方差的假設(shè)值偏差過大、不準(zhǔn)確線性化或者降維處理、計算誤差。

1 卡爾曼濾波器與擴展卡爾曼濾波器[2]

1.1卡爾曼濾波器

假設(shè)在雜波環(huán)境中跟蹤 個目標(biāo)， 為第 時刻目標(biāo) 的狀態(tài)向量，則目標(biāo)的狀態(tài)方程為：

（1）

其中， ， 為已知矩陣，噪聲向量 是具有零均值和已知協(xié)方差矩陣且與目標(biāo)初始狀態(tài)統(tǒng)計獨立的高斯隨機向量。

設(shè) 為 時刻確認(rèn)矩陣的量測數(shù)，則目標(biāo)的狀態(tài)方程為：

（2）

其中，測量矩陣 是已知的，每個 都是與所有其他噪聲向量獨立的零均值高斯噪聲向量，其協(xié)方差矩陣是已知的。

應(yīng)用kalman濾波器步驟如下所示：

（1）狀態(tài)一步預(yù)測：

（3）

（2）狀態(tài)估計：

（4）

（3）濾波增益：

（5）

（4）一步預(yù)測均方誤差：

（6）

（5）估計均方誤差：

（7）

1.2擴展卡爾曼濾波器[3-5]

在實際應(yīng)用系統(tǒng)中，其量測以及過程通常是非線性的，不能夠直接運用卡爾曼濾波器。但是我們可以通過泰勒級數(shù)展開的方式，獲得非線性系統(tǒng)的線性近似表達(dá)式，從而采用卡爾曼濾波算法，用來解決非線性問題。這就是擴展卡爾曼濾波器（Extended Kalman Filter，EKF）。

擴展卡爾曼濾波針對非線性量測方程 在 處做泰勒展開并取得其一次項，可得：

（8）

利用導(dǎo)數(shù)線性化的卡爾曼濾波算法的精度依賴于目標(biāo)狀態(tài)動態(tài)模型以及以前的狀態(tài)估計 。如能夠保證 充分小，就能夠達(dá)到一定的濾波精度。EKF雖然被廣泛的運用于解決非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計問題，但是其濾波效果在很多復(fù)雜系統(tǒng)之中難以令人滿意，模型線性化誤差最終會影響目標(biāo)的估計精度，甚至導(dǎo)致發(fā)散。引入了一種新的濾波方法。

2 不敏卡爾曼濾波[6-9]

不敏卡爾曼濾波是運用不敏變化的思想對卡爾曼濾波器進(jìn)行改進(jìn)得到的一種新算法。此算法用有線的參數(shù)來近似隨機量的統(tǒng)計特性，用一組精確的sigma點經(jīng)過非線性模型的映射來傳遞隨機信息的特性。假設(shè)非線性系統(tǒng)中的狀態(tài)向量的初始均值與協(xié)方差為 ， 。

UKF算法中的初始向量是由原始向量，過程噪聲以及量測噪聲組成[10]。其初始值和協(xié)方差定義如下：

與 為過程噪聲與量測噪聲的協(xié)方差陣。不敏卡爾曼濾波器的過程如下所示：

（1）用不敏變換過程中的方法計算sigma點的權(quán)值，并運用下式計算sigma點

（9）

（2）sigma點的一步預(yù)測：

（10）

（3）狀態(tài)預(yù)測：

（11）

（12）

（4）計算量測預(yù)測采樣點：

（13）

（5）估計量測預(yù)測值：

（14）

（6）估計信息協(xié)方差矩陣：

（15）

（7）估計互協(xié)方差矩陣：

（16）

（8）計算增益矩陣：

（17）

（9）狀態(tài)更新：

（18）

（10）協(xié)方差更新：

（19）

3 仿真實驗

本文模擬二維平面內(nèi)的多機動目標(biāo)跟蹤問題，載機狀態(tài)向量為 。 為 時刻的量測值。其中 為 時刻的偏航角。量測值為非線性。其協(xié)方差陣 與 如下所示：

圖1描述載機與目標(biāo)在二維環(huán)境中的運動。雷達(dá)總采樣100個時間周期，載機與目標(biāo)機均做勻速直線運動，載機初始狀態(tài)[1e5 16 1e5 0]，目標(biāo)機初始運動狀態(tài)為[2e5 10 2e5 -10]。

經(jīng)過100次蒙特卡洛仿真，每次仿真時間為100s，采樣間隔為1s。設(shè)定均方根誤差作為測量指標(biāo)。均方根誤差的定義為：

（20）

從圖2 中可以看出利用KF方法的估計性能最差，利用EKF 方法能夠得到較好的估計，但是仍然與真實估計由較大差距，而UKF方法能夠得到更高的估計精度。仿真實驗結(jié)果證實了所提出方法的有效性。

4 結(jié)語

傳統(tǒng)卡爾曼濾波技術(shù)在對非線性目標(biāo)進(jìn)行跟蹤的過程中，因狀態(tài)方程的單一性會大大降低目標(biāo)跟蹤精度，為了改善目標(biāo)跟蹤性能運用不敏卡爾曼濾波技術(shù)提高了濾波精度，改善了濾波性能，通過仿真表明UKF可以使得非線性系統(tǒng)濾波具有較高的精度，對噪聲也具有較好的適應(yīng)性能。

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