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        Excel作圖和二分法結(jié)合解超越方程的一種方法

        2015-10-22 01:04:59廖幫全
        大學(xué)物理實(shí)驗(yàn) 2015年2期
        關(guān)鍵詞:二分法作圖單元格

        廖幫全

        (天津工業(yè)大學(xué),天津 300387)

        Excel作圖和二分法結(jié)合解超越方程的一種方法

        廖幫全

        (天津工業(yè)大學(xué),天津 300387)

        利用Excel作圖和二分法結(jié)合解超越方程,既能總體上把握解的概況,又能快速地得到各個(gè)解的高精度近似結(jié)果,是一種簡(jiǎn)單、實(shí)用的超越方程解法。

        Excel;超越方程;作圖法;二分法

        超越方程的解法主要有作圖法、迭代法兩大類。使用Mathematica、Matlab等軟件可以很方便地解超越方程[1];但這些解法需要一定的軟件基礎(chǔ),入門門檻較高;而且軟件本身也比較昂貴,軟件普及程度較低。Excel軟件發(fā)布以后,學(xué)者們提出了一些利用Excel解超越方程的方法[2-5]。這些利用Excel軟件解超越方程的方法,一般以“單變量求解”法或迭代方法為基礎(chǔ),能給出一些解,很有益。但是,單變量求解工具只能給出一個(gè)解,而且初始值不同時(shí)解的精確程度的差異較大;迭代計(jì)算法對(duì)初值依賴性也較大,有時(shí)可能能給出一個(gè)解,有時(shí)可能發(fā)散。二分法實(shí)質(zhì)是在確定有解的兩個(gè)數(shù)值區(qū)間插入中值后迭代計(jì)算、快速逼近結(jié)果。以上使用Excel軟件的3類解法的共同缺點(diǎn)是不能知道解的個(gè)數(shù),不能把握整體情況。因此,當(dāng)超越方程有多個(gè)解時(shí),這3類方法都有可能會(huì)漏掉一些解。我們提出一種利用Excel作圖和二分法結(jié)合解超越方程的方法,其中,作圖過程與手工繪圖過程類似,能從整體上把握解的個(gè)數(shù);二分法可以快速逼近,迅速得到每個(gè)具體的解。解法思路簡(jiǎn)單、過程直觀,有一定實(shí)用價(jià)值。

        1 單變量求解工具及迭代法給出的解的情況

        1.1單變量求解工具給出的解的情況

        物理學(xué)中在從黑體輻射的普朗克公式推導(dǎo)維恩位移定律時(shí)會(huì)遇到一個(gè)超越方程[6,7],如下所示,

        現(xiàn)在我們使用幾種方法對(duì)方程(1)進(jìn)行求解。使用參考文獻(xiàn)[2-7]所提供的Excel軟件中的“單變量求解”法求解時(shí),在其中“可變單元格”對(duì)應(yīng)的單元格中不輸入數(shù)值(空單元格)或輸入0時(shí)解為0;輸入1時(shí),解為-7.027 69×10-5。這給出了超越方程(1)的平庸解x=0的近似解,沒有給出真正需要的解x=4.965 1的近似解。

        我們知道方程(1)有兩個(gè)解,于是,嘗試改變“可變單元格”對(duì)應(yīng)的單元格中輸入的數(shù)值,以確認(rèn)“單變量求解”工具能否得到另一個(gè)解。我們發(fā)現(xiàn),在“可變單元格”對(duì)應(yīng)的單元格中輸入其它數(shù)值,比如-3、-2、-1、-0.5、0.5、1.5等值時(shí)得到的仍是零解的近似解;輸入數(shù)值2、3等值時(shí),可得到超越方程(1)的另一個(gè)解的近似解。這表明,在輸入某些初值時(shí)可以得到方程的另一個(gè)真正需要的解。但問題是由于使用這種方法求解時(shí)并不知道有幾個(gè)解,嘗試輸入不同數(shù)值時(shí)不可能無限次嘗試,因而存在得到一些解后就不再嘗試的可能性;而且,即便想更多地嘗試也不知道應(yīng)該怎么嘗試,只能盲目嘗試;由此可見,對(duì)有多個(gè)解的方程存在漏掉某些解的可能性。

        1.2迭代計(jì)算法給出的解的情況

        使用參考文獻(xiàn)[5]所提供的迭代計(jì)算法對(duì)方程(1)求解時(shí),可將方程(1)變形如下,

        當(dāng)初值為負(fù)值時(shí),包括1.1節(jié)方法中的近似解-7.02769×10-5,計(jì)算結(jié)果發(fā)散;當(dāng)初值為0時(shí)解為0;當(dāng)初值為正數(shù)時(shí)才能得到另一真正需要的解。

        另外,這個(gè)零解不是迭代計(jì)算法計(jì)算得到的,即,如果不輸入初值“0”,無論是輸入正值還是負(fù)值都不能得到零解。這表明,這個(gè)零解實(shí)際是碰巧輸入初值0后才得到的,是一個(gè)特殊的解。如果某個(gè)方程也存在這類特殊數(shù)值的解,則依靠迭代計(jì)算法自身很難得到這類解。

        從這里可以看出,迭代計(jì)算法確實(shí)對(duì)初值有較大依賴性[5]。同時(shí),迭代計(jì)算法也有不知道存在幾個(gè)解的問題,在嘗試變更初值時(shí)也具有盲目性。

        由上述可知,用Excel軟件解超越方程時(shí),單變量求解法和迭代計(jì)算法自身都不能知道解的個(gè)數(shù),存在漏掉一些解的可能性;另外,嘗試變更初值時(shí)也都具有盲目性。

        作圖法能直觀看出解的個(gè)數(shù),二分法是一種快速逼近結(jié)果的方法,如果將作圖法和二分法結(jié)合起來求解超越方程,可以彌補(bǔ)單變量求解法和迭代計(jì)算法的不足,有一定的優(yōu)勢(shì)。

        2 用Excel作圖和二分法結(jié)合解超越方程的方法及示例

        解超越方程的一種常用方法是作圖法。其原理是,畫出兩條曲線,曲線的交點(diǎn)即為方程的解。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是直觀,能看出曲線的變化趨勢(shì),可以整體上把握有幾個(gè)解;對(duì)可能有解的區(qū)域,可以采用減小數(shù)據(jù)間隔、增加數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的方法進(jìn)一步確認(rèn)。作圖法的缺點(diǎn)是手工繪圖時(shí)曲線的交點(diǎn)實(shí)際上有一定大小,難以對(duì)應(yīng)到小刻度范圍,因而精度有限、得到的解比較粗略。

        Excel有作圖功能。用Excel作圖時(shí),可以插入很多數(shù)據(jù),得到很小刻度范圍內(nèi)的曲線變化情況,可以對(duì)圖形進(jìn)行放大,從而彌補(bǔ)手工作圖的不足。

        用Excel軟件作圖時(shí),利用兩列數(shù)據(jù)繪制曲線。其中,兩列數(shù)據(jù)可以都是手動(dòng)輸入的,也可以一列數(shù)據(jù)是手動(dòng)輸入的,另一列數(shù)據(jù)是在前一列數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上通過一定的函數(shù)關(guān)系自動(dòng)計(jì)算出來的。在解超越方程前,我們將超越方程簡(jiǎn)單變形,變成f(x)=0的齊次方程形式。齊次方程的左邊是一個(gè)函數(shù)y=f(x),可以據(jù)此繪制曲線;齊次方程的右邊等價(jià)于y=0的一條曲線,即X軸;這兩條曲線的交點(diǎn),也就是齊次方程左邊函數(shù)對(duì)應(yīng)的曲線與X軸的交點(diǎn),即是方程的解。

        下面以超越方程(1)為例,詳細(xì)說明解超越方程的過程。這里,Excel軟件以Excel 2003為例。

        令y=5e-x+x-5,在Excel中繪制曲線。具體方法如下:在Excel中任選一單元格,比如B3,在B3開始的列里輸入-2、-1、0、1、2、……;在前一列數(shù)據(jù)頂端右側(cè)選一單元格,比如C3,在此單元格中輸入函數(shù)“=5?EXP(-B3)+(B3)-5”,會(huì)得到一個(gè)數(shù)據(jù),此例中為29.9;然后選中此單元格,按住填充柄往下拉,可得到一列數(shù)據(jù),如表1所示。

        表1 方程(1)左端函數(shù)對(duì)應(yīng)的兩列數(shù)據(jù)

        利用表1的兩列數(shù)據(jù),繪制平滑線散點(diǎn)圖,可得到圖1。

        圖1 根據(jù)表1的數(shù)據(jù)繪制的平滑線散點(diǎn)圖

        從圖1中可以看出,除x=0的點(diǎn)外,曲線與X軸還有一個(gè)交點(diǎn),其橫坐標(biāo)在5附近,放大后可以進(jìn)一步看出此點(diǎn)介于4、5之間。這兩個(gè)交點(diǎn)是方程的兩個(gè)解。進(jìn)一步觀察可知,在x<-2 或x>10的情況下,曲線都呈遠(yuǎn)離X軸的變化趨勢(shì),故不會(huì)再有其它解。為了求方程的非零解,可以在4和5之間插入數(shù)據(jù),逐步逼近。在B列中4和5之間插入數(shù)據(jù)時(shí)不必等間隔地插入4. 1、4.2、……、4.9等9個(gè)數(shù)據(jù),可以插入4和5的中間值,即,在此待插單元格(比如,B10)中輸入“=(B9+B11)/2”,即插入了4.5。選中C9單元格,按住填充柄下拉到C10,C10值就自動(dòng)算出了。同時(shí),圖1上的曲線圖中也自動(dòng)增加了此插入值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)、曲線也自動(dòng)再次平滑了,如圖2所示。

        圖2 插入數(shù)值后曲線變化情況

        觀察圖2可知,曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)介于4.5 和5之間。觀察數(shù)據(jù)可知,x列4.5對(duì)應(yīng)的f(x)<0,而5對(duì)應(yīng)的f(x)>0;要達(dá)到f(x)=0,x值對(duì)應(yīng)的f(x)值應(yīng)介于這兩個(gè)符號(hào)不同的f(x)值之間。因此,要得到更精確的解,需在此兩行中間插入x、f(x)數(shù)據(jù)。根據(jù)這個(gè)規(guī)律,可在數(shù)據(jù)表格中f(x)值符號(hào)相反的相鄰兩行中插入其對(duì)應(yīng)x值的中值,逐步逼近,得到方程的近似解。

        插入中值可以有多種方法。一種方法是利用Excel軟件中的函數(shù)功能實(shí)現(xiàn)自動(dòng)插入中值。這種方法的指導(dǎo)思想是:在某兩個(gè)異號(hào)的f (x1)、f(x2)對(duì)應(yīng)的x1、x2之間插入(x1,x2)的中點(diǎn)x′,讓Excel算出f(x′);利用Excel中的邏輯函數(shù)判斷f(x′)與f(x1)、f(x2)的同號(hào)異號(hào)關(guān)系,并在x′及與f(x′)異號(hào)的f(x1)或f(x2)對(duì)應(yīng)的x1或x2之間插入新的中間值,如此循環(huán),快速逼近。

        下面是結(jié)合表1的數(shù)值利用Excel軟件中的函數(shù)功能實(shí)現(xiàn)自動(dòng)插入中間值及逐步逼近的方法:

        (1)在9行和10行之間插入若干行;

        (2)單元格B9中的值4是區(qū)間的一個(gè)端點(diǎn)值,在單元格E9中輸入?yún)^(qū)間的另一個(gè)端點(diǎn)值5(也可以用引用單元格的方式引用),這里,B9、E9中的值對(duì)應(yīng)x1、x2;在G9中插入公式“=(B9+ E9)/2”(即中點(diǎn)x′);

        (3)單元格C9中公式“=5?EXP(-B9)+B9-5”保留,在單元格F9、H9中分別輸入公式“=5?EXP (-E9)+E9-5”、“=5?EXP(-G9)+G9-5”后,在C9、F9、H9中顯示相應(yīng)的f(x1)、f(x2)、f(x′);

        (4)在單元格B10中輸入“=IF(C9?H9<0,B9,G9)”,在單元格E10中輸入“=IF(F9?H9<0,E9,G9)”,以根據(jù)f(x1)、f(x2)、f(x′)的同號(hào)異號(hào)關(guān)系確定下一個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)B10、E10取B9、G9還是取G9、E9;

        (5)選中C9,按住填充柄往下拉,得C10;選中F9、G9、H9,按住填充柄往下拉,得F10、G10、H10;再選中B10~H10,按住填充柄往下拉若干行,Excel會(huì)自動(dòng)計(jì)算,直到f(x)在小數(shù)點(diǎn)后28位近似為0;

        (6)曲線圖上也對(duì)應(yīng)增加了這些數(shù)值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。

        圖3給出了多次插入數(shù)據(jù)后對(duì)應(yīng)f(x)值與0差異在-5×10-14到5×10-14之間的x值局部數(shù)據(jù)圖及多次插入數(shù)值后的曲線。從這數(shù)據(jù)及曲線可以看出,在取小數(shù)點(diǎn)后14位時(shí),方程的非零解介于4. 96511423174422與4.96511423174434之間,約為4.96511423174428。

        圖3 多次插入中值后的局部數(shù)據(jù)圖

        當(dāng)方程有多個(gè)解時(shí),可以在曲線與X軸的每一個(gè)交點(diǎn)附近分別插入數(shù)值進(jìn)行逐步逼近,從而求得每一個(gè)解。

        另外,在插入中值時(shí),也可以每一步都手動(dòng)插入,得到的結(jié)果一致,但操作過程需特別細(xì)心,此處不贅述。

        3 有關(guān)的一點(diǎn)討論

        3.1二分法的一點(diǎn)改進(jìn)

        二分法實(shí)質(zhì)是在x1、x2之間插入數(shù)值時(shí)x1、x2的系數(shù)都按0.5計(jì)算。這樣插入數(shù)值,收斂速度有點(diǎn)慢。為加快收斂速度,可以改變x1、x2的系數(shù)值。通過觀察發(fā)現(xiàn)|f(x1)|、|f(x2)|一般不相等,其中有一個(gè)會(huì)小一點(diǎn)。我們可以對(duì)其中小一點(diǎn)的f(x)賦予更大的權(quán)重;比如,插入的數(shù)值變更為{|f(x2)|/[|f(x1)|+|f(x2)|]}x1+{1-|f(x2)|/[|f (x1)|+|f(x2)|]}x2;更特別的情況是,在|f(x1)|<1且|f(x2)|<1時(shí),可以在將二分法中插入的數(shù)值簡(jiǎn)單變更為|f(x2)|x1+(1-|f(x2)|)x2。

        結(jié)合本例,可以在第2小節(jié)中第3步和第4步之間插入1步:在單元格I9中輸入“=ABS(F9)/ (ABS(C9)+ABS(F9))”,在單元格G9中輸入“= B9?I9+E9?(1-I9)”(其中,ABS(C9)表示數(shù)值為C9的絕對(duì)值)。同樣方法處理,可以得到解介于4. 96511423174406和5之間,約為4.96511423174428。按二分法插入數(shù)值,經(jīng)過44次插值才得到結(jié)果;按這種改進(jìn)的方法插入數(shù)值,經(jīng)過5次插值即可得到結(jié)果,大大加快了收斂速度。

        3.2插入數(shù)值的區(qū)間不必特別精準(zhǔn)

        從圖1上可以粗略看出曲線與X軸交點(diǎn)位于(4,6)之間,我們也可以在(4,6)之間插入數(shù)值。按二分法插入數(shù)值時(shí),得到的解與在(4,5)之間按二分法插入數(shù)值得到的解相同;插值次數(shù)為45次。按二分法的改進(jìn)方法插入數(shù)值時(shí),經(jīng)過8次插值,得到解介于4.96511423174416和6之間,約為4.96511423174428。在(4,6)間插入數(shù)值與在(4,5)間插入數(shù)值得到的解的結(jié)果、插值次數(shù)基本相當(dāng),這表明插入數(shù)值的區(qū)間不必特別精準(zhǔn)就能得到解。

        3.3計(jì)算結(jié)果的精度

        Excel 2003函數(shù)計(jì)算結(jié)果能精確到小數(shù)點(diǎn)后30位。用這種方法得到的自變量的解可以精確到小數(shù)點(diǎn)后14位。如果要得到更高精度的解,則需要換用其它工具,比如,編寫程序求解。一般來說,精確到小數(shù)點(diǎn)后14位可以滿足常規(guī)科研、工程的需要。

        3.4其它超越方程的解法

        其它超越方程,解法類似。當(dāng)有些函數(shù)在Excel中的對(duì)應(yīng)形式不知道時(shí),可以在Excel的函數(shù)功能中查找函數(shù)的表達(dá)式并引用。方法如下:點(diǎn)擊“f(x)(插入函數(shù))”,彈出對(duì)話框→或選擇類別(C)”中選擇“數(shù)學(xué)與三角函數(shù)”→從“選擇函數(shù)(N)”中選擇需要的函數(shù)形式。如果這種方法不能直接找到想要的函數(shù),可以將方程變換到通過這里的函數(shù)來表達(dá)的式子。

        3.5對(duì)于方程解的情況的判斷

        觀察曲線是否與X軸相交,很容易判斷方程是否有解及解的個(gè)數(shù)。但,描繪曲線時(shí),數(shù)據(jù)總有一個(gè)范圍,不可能取所有值;如果方程取值范圍過窄,或者取值間隔過大,可能導(dǎo)致本來有解但曲線上顯示不相交的情況。這時(shí),可加大取值范圍觀察曲線在X軸從正負(fù)方向上變大時(shí)的變化趨勢(shì),在曲線與X軸可能相交的區(qū)域縮小取值間隔并對(duì)圖形進(jìn)行放大。如果能結(jié)合方程的實(shí)際意義規(guī)定的取值范圍來描繪曲線,那么判斷曲線是否相交、相交幾次將會(huì)更方便,判斷方程是否有解、有幾個(gè)解也更方便。

        4 結(jié) 論

        利用Excel作圖功能畫出平滑線散點(diǎn)圖,在曲線與X軸各個(gè)交點(diǎn)附近插入數(shù)值,不斷逼近,可以得到超越方程的近似解。此方法以繪制曲線為基礎(chǔ),比較直觀,多次插入數(shù)值后解的精度很高,能滿足常規(guī)科研、工程的需要,不失為超越方程的一種簡(jiǎn)單、實(shí)用的解法。

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        A Method to Solve Transcendental Equation by Combining Excel Graphing and Dichotomy

        LIAO Bang-quan
        (Tianjin Polytechnic University,Tianjin 300387).

        Combining Excel graphing and dichotomy,we can solve transcendental equation.Through this method we can know the solutions’number and obtain the solutions quickly.It is one kind of simple,practical method for solving transcendental equation.

        Excel;transcendental equation;graphing method;dichotomy

        O4-39

        A

        10.14139/j.cnki.cn22-1228.2015.02.031

        1007-2934(2015)02-0109-04

        2014-11-12

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