蘇亞鳳，李普選，徐忠鋒，張孝林

（西安交通大學(xué)，陜西西安 710049）

初始狀態(tài)對(duì)自組織演化過程的影響

蘇亞鳳，李普選，徐忠鋒，張孝林

（西安交通大學(xué)，陜西西安 710049）

從實(shí)驗(yàn)上系統(tǒng)研究了在強(qiáng)電場(chǎng)下處于介質(zhì)中的大量金屬小球從不同初始狀態(tài)通過自組織演化為分形的過程；用Sandbox方法定量分析了最終形成的穩(wěn)定樹枝狀分形的維數(shù)。結(jié)果表明:不同初始狀態(tài)形成分形的過程完全不同，但最終的樹枝狀分形的維數(shù)基本相同。分析認(rèn)為，小球之間的相互作用存在臨界作用距離，不同初始狀態(tài)相鄰小球之間的平均間距不同，因而演化過程不同；而維數(shù)相同正是系統(tǒng)耗散相同的體現(xiàn)。

自組織；分形；Sandbox方法；分維數(shù)

自組織是指開放系統(tǒng)在遠(yuǎn)離平衡的條件下，在一定的外部因素作用下自發(fā)地由無序走向有序的過程。自組織現(xiàn)象廣泛存在于自然界中，例如宇宙正在從原有的混沌狀態(tài)演化成一個(gè)生機(jī)勃勃的大自然；生物體的成長(zhǎng)與功能的進(jìn)化；天空中規(guī)則的“云街”的形成；晶體的沉積和生長(zhǎng)等都屬于自組織［1-3］。近30多年來，在實(shí)驗(yàn)上發(fā)現(xiàn)并研究了很多有趣的自組織的過程，如枝晶的可控生長(zhǎng)［4］、金屬氣體沉積［5］、電化學(xué)金屬沉積［6-9］、處于電場(chǎng)中的大量粒子運(yùn)動(dòng)行為［10-12］等。但未見對(duì)自組織過程隨初始狀態(tài)演化過程不同作系統(tǒng)報(bào)道。

實(shí)驗(yàn)小組曾實(shí)時(shí)拍攝了大量金屬小球在強(qiáng)電場(chǎng)下形成的樹枝狀分形的過程，并研究了分形維數(shù)與所加電壓的變化關(guān)系，發(fā)現(xiàn)電壓越高，形成的分形維數(shù)越?。?2］。進(jìn)一步系統(tǒng)研究了小球從緊密聚集的初始狀態(tài)和不同隨機(jī)離散分布的初始狀態(tài)通過不同的自組織演化形成分形的過程，發(fā)現(xiàn)了完全不同于文獻(xiàn)［11］所描述的形成過程，并分析了不同初始狀態(tài)對(duì)應(yīng)不同自組織演化過程的原因；定量分析了分形維數(shù)與初始狀態(tài)的關(guān)系。此研究對(duì)金屬氣體沉積、金屬電化學(xué)沉積過程、超分子凝聚等自組織過程的研究具有借鑒意義。

1　實(shí) 驗(yàn)

1.1實(shí)驗(yàn)裝置

實(shí)驗(yàn)裝置在文獻(xiàn)［12］中有詳細(xì)說明，現(xiàn)簡(jiǎn)述如下:如圖1所示，處于中央位置的陽(yáng)極為帶有尖端的金屬細(xì)桿，陰極是寬為1 cm、圍繞在直徑為15 cm的盤狀玻璃皿外圍的銅帶。兩極電壓被限制在10～11 kV間。盤中金屬小球是半徑為1.5 mm，質(zhì)量約為111 mg的光滑不銹鋼球。金屬小球被置于蓖麻油介質(zhì)中，介質(zhì)高度以浸沒小球?yàn)橐?。圖中所示的視頻攝像裝置與計(jì)算機(jī)連接，可以即時(shí)記錄實(shí)驗(yàn)的整個(gè)過程。

圖1　實(shí)驗(yàn)裝置

1.2實(shí)驗(yàn)過程

（1）依照?qǐng)D1連接電路及攝像裝置。將小球以聚集的狀態(tài)平鋪于陽(yáng)極周圍，形狀大約為圓形。

（2）打開視頻記錄，接通高壓電源，調(diào)節(jié)電壓，觀察小球運(yùn)動(dòng)行為；待小球達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后，斷開電源，停止視頻記錄。

（3）依照（1）和（2）的過程，拍攝小球初始狀態(tài)為各種隨機(jī)離散分布時(shí)的自組織演化過程。

2　實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

2.1不同初始狀態(tài)的小球自組織演化過程

通過多次實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)強(qiáng)電場(chǎng)下處于介質(zhì)中的金屬小球的運(yùn)動(dòng)行為均呈典型的自組織演化過程。為了對(duì)比，研究了在實(shí)驗(yàn)條件大體相同、而小球初始狀態(tài)不同時(shí)的自組織演化過程。圖2所示為溫度大約為18～20℃、電壓為11 kV的條件下密集堆積成圓形狀的200個(gè)金屬小球通過自組織形成分形的整個(gè)過程。接通電源后，在0～1 s內(nèi)，小球幾乎同時(shí)迅速向四周運(yùn)動(dòng)，并連成有分支的串狀，如圖2中（a）～（b）所示。在1～5 s內(nèi)，小球繼續(xù)逐漸向四周挪動(dòng)，到5s時(shí)小球已經(jīng)全部分開，并相互連接成樹枝狀結(jié)構(gòu)，見圖2（b）～（c）。在5～80 s內(nèi)，樹枝狀結(jié)構(gòu)逐漸擴(kuò)展長(zhǎng)大，但整體形態(tài)基本不變，如圖2（d）～（g）。隨著時(shí)間的推移，小球進(jìn)一步分散開，但樹枝狀結(jié)構(gòu)基本未變，在大約122秒時(shí)形成最終的穩(wěn)定的分形結(jié)構(gòu)，如圖2（h）所示。

圖2　初始狀態(tài)為密集放置時(shí)小球隨時(shí)間的演化過程

圖3為溫度大約為30～31℃、電壓為10 kV條件下拍攝的200個(gè)金屬小球隨機(jī)分散放置時(shí)通過自組織過程形成分形的整個(gè)過程。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn):接通電源的瞬間，最靠近中央陽(yáng)極的金屬小球首先被推搡與其鄰近小球連接成串狀，被連接的小球再與自己最靠近的小球相互連接，見圖3（a）～（b）。在10s的時(shí)間內(nèi)，連接體已經(jīng)發(fā)展到最外圍的小球，如圖3（c）所示。此后時(shí)間內(nèi)，連接起來的部分緩緩蠕動(dòng)吸收其鄰近的其它小球，使連接體緩慢擴(kuò)張，見圖3（c）～（d）。其間，連接體的枝頭如蠕蟲一樣左右運(yùn)動(dòng)，并將離散的小球吸引至最近的分枝中，樹枝狀結(jié)構(gòu)逐漸顯現(xiàn)出來，見圖3（d）～（g）。圖3 （g）～（h）顯示形成的樹枝狀結(jié)構(gòu)枝頭繼續(xù)做類蠕蟲運(yùn)動(dòng)，俘獲鄰近離散的小球加入，同時(shí)整體向四周伸展生長(zhǎng)，大約在87 s時(shí)整個(gè)系統(tǒng)達(dá)到了一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)，見圖3（h）所示。

圖3　初始狀態(tài)為隨機(jī)離散放置時(shí)小球隨時(shí)間演化過程

進(jìn)一步研究了小球從密到疏逐漸變化隨機(jī)放置的演化過程。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn):初始狀態(tài)不同，自組織過程不同。若初始狀態(tài)為密集放置，小球幾乎同時(shí)運(yùn)動(dòng)來參與分形的形成過程（見對(duì)圖2所述）；而最疏散放置的情況，則自組織大致是從中央陽(yáng)極處的小球運(yùn)動(dòng)開始、到邊緣形成串狀后，再做類蠕蟲運(yùn)動(dòng)，逐漸納入兩邊小球，次序是由近及遠(yuǎn)、逐步擴(kuò)大，形成樹枝狀結(jié)構(gòu)。初始狀態(tài)介于密集和最疏散放置中間的，則形成過程也介于以上二者之間，即既存在同時(shí)運(yùn)動(dòng)的一些小球，也存在由中央向邊緣依次連接并吸收鄰近小球的現(xiàn)象。

雖然形成過程不同，但形成的最終穩(wěn)定的樹枝狀結(jié)構(gòu)很相似，如圖4所示，其中，（a）～（f）均為初始狀態(tài)圖，（a′）～（f′）為各自對(duì)應(yīng)的最終穩(wěn)定分形結(jié)構(gòu)。我們的實(shí)驗(yàn)溫度就是環(huán)境溫度，圖（a′）～（c′）是在溫度為18～20℃、電壓為11 kV的條件下的實(shí)驗(yàn)照片，圖（d′）～（f′）是在溫度為30～31℃、電壓為10 kV的條件下拍攝的最終穩(wěn)定形態(tài)?？梢钥闯?，圖（a′）～（c′）三圖小球形成的樹枝狀結(jié)構(gòu)非常相似；與圖（d′）～（f′）也很相似，但圖（d′）～（f′）相對(duì)（a′）～（c′）圖比較分散。

圖4　不同初始狀態(tài)及其對(duì)應(yīng)的最終樹枝狀結(jié)構(gòu)：圖（a）～（f）均為初始狀態(tài)，圖（a′）～（f′）為各自對(duì)應(yīng)的最終樹枝狀結(jié)構(gòu)

2.2演化過程不同原因分析

處于蓖麻油中的小球不僅受靜電力的作用，還受到油的粘滯阻力的作用。若小球開始運(yùn)動(dòng)，兩球之間的靜電力必須大于油的靜粘滯阻力。實(shí)驗(yàn)和理論表明［13-15］，電場(chǎng)越強(qiáng)，處于電介質(zhì)中兩小球的靜電相互作用力越大；兩小球之間的間距越小，兩小球的靜電相互作用力也越大。因此對(duì)應(yīng)一個(gè)電場(chǎng)，存在一個(gè)臨界作用距離，小于此距離，小球之間由于靜電相互吸引會(huì)產(chǎn)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)，大于此距離，則小球不會(huì)運(yùn)動(dòng)；而電場(chǎng)越強(qiáng)，臨界作用距離越大。實(shí)驗(yàn)中從中央陽(yáng)極到周緣陰極，電場(chǎng)基本呈輻射狀遞減趨勢(shì)，因此臨界作用距離從中央到周緣是從大到小遞減變化的。對(duì)圖2 （a）所示的聚集初始狀態(tài)，小球相互緊靠圍繞在陽(yáng)極周圍，間距均小于臨界作用距離。因此，一旦加上電壓，所有小球同時(shí)相互吸引作用，小球間介質(zhì)被擊穿而同時(shí)帶上正電荷，因靜電排斥而同時(shí)向四周運(yùn)動(dòng)。在此后的時(shí)間內(nèi)是已經(jīng)形成的分形的長(zhǎng)大過程。而對(duì)圖3（a）所示的小球疏散隨機(jī)放置的初始狀態(tài)，由于靠近中央位置處電場(chǎng)較強(qiáng)，臨界作用距離較大，因此在中央位置附近間距小于此位置的臨界作用距離的小球迅速連接起來，并逐漸吸收在臨界作用距離以內(nèi)的其它小球，小球串逐漸加長(zhǎng)，且出現(xiàn)分枝。當(dāng)連接體到達(dá)邊緣時(shí)，串之間由于存在相互作用而出現(xiàn)類蠕蟲運(yùn)動(dòng)，伴隨者與鄰近小球距離的變化，逐漸俘獲了進(jìn)入臨界作用距離范圍內(nèi)的小球，根據(jù)作用力的不同或納進(jìn)小球串，或使其成為小球串的分枝。直到將臨界作用距離范圍內(nèi)的所有小球吸收為止。圖3（h）中剩余的離散小球位于臨界作用距離以外，因此沒有被鏈條俘獲。初始小球平均間距介于密集（如圖4（a））和最疏散放置（如圖4（f））中間的，即既存在一些小球同時(shí)運(yùn)動(dòng)，也存在由中央向邊緣依次連接并吸收鄰近小球的運(yùn)動(dòng)過程。

2.3分形維數(shù)的計(jì)算

分形是具有擴(kuò)展對(duì)稱性的自相似結(jié)構(gòu)，在幾何性質(zhì)上可以用分維數(shù)表示。我們利用Sandbox法［16］計(jì)算了所形成的分形的維數(shù)。由于分形由中心向四周生長(zhǎng)，且只有一個(gè)生長(zhǎng)中心，因此計(jì)算維數(shù)時(shí)盒取為圓形，圓心選在生長(zhǎng)中心處，如圖5所示。由于圓中象素?cái)?shù)目與小球數(shù)目成正比，因此只需要數(shù)出各圓中的小球數(shù)目N，量出各圓的直徑d（或半徑），計(jì)算出lnN和lnd，做出lnN與lnd關(guān)系曲線，相應(yīng)的擬合直線斜率即為圖形的分形維數(shù)D。

圖5　穩(wěn)定的樹枝狀結(jié)構(gòu)和Sandbox法

2.4不同初始狀態(tài)演化形成的分形維數(shù)分析

對(duì)圖4（a′）～（f′）圖分別取類似于圖5的不同直徑的圓盒，其中對(duì)圖4（f′）中圓盒未取類似于（d′）和（e′）中的最小圓盒的原因是其內(nèi)部存在離散的金屬小球，這些小球一開始處于與鄰近小球距離大于臨界作用距離以外的位置而未參與形成樹枝狀結(jié)構(gòu)，因此圓盒取得較大些，分別數(shù)出各圓盒對(duì)應(yīng)的小球數(shù)目。圖（6）是用Matlab計(jì)算出的相應(yīng)的小球數(shù)目對(duì)數(shù)與各圓盒直徑對(duì)數(shù)的關(guān)系圖?？梢钥闯觯恳粋€(gè)圖中二者是相關(guān)性較好的直線關(guān)系，符合分形的最基本特征，直線的斜率即為分形的維數(shù)。

圖6　盒直徑和小球數(shù)目的對(duì)數(shù)圖及擬合直線的斜率

圖6是計(jì)算出的圖4（a′）～（f′）的相應(yīng)的小球數(shù)目對(duì)數(shù)與各圓盒直徑對(duì)數(shù)的關(guān)系圖?？梢钥闯?，每一個(gè)圖中二者是相關(guān)性較好的直線關(guān)系，符合分形的最基本特征，直線的斜率即為分形的維數(shù)。圖4中（a′）～（c′）圖分維數(shù)約為1.76，圖4（d′）～（f′）圖分維數(shù)在1.54左右，而圖4（a′）～（c′）與圖4（d′）～（f′）實(shí)驗(yàn)條件稍有差異（見3.1節(jié)），分維數(shù)也是稍有差異，僅差0.2左右。這個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，不管是從聚集態(tài)的自組織演化，還是從隨機(jī)離散態(tài)自組織演化，也不管離散的小球間的間距在一定范圍內(nèi)如何變化，所得的穩(wěn)定形態(tài)有著相似的結(jié)構(gòu)，其統(tǒng)計(jì)結(jié)果是基本相同的，即分維數(shù)大致相同。分形維數(shù)也描述了系統(tǒng)的耗散，實(shí)驗(yàn)條件相同時(shí)，耗散相同，導(dǎo)致分維數(shù)相同。不同微觀形態(tài)的分維數(shù)相同，意味著其遵循著相同的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，此實(shí)驗(yàn)充分體現(xiàn)了耗散結(jié)構(gòu)多樣性與規(guī)律性的統(tǒng)一。

需要說明的是，此實(shí)驗(yàn)對(duì)環(huán)境溫度很敏感。這里出現(xiàn)的電壓越大分維數(shù)反而較大，與文獻(xiàn)［12］中報(bào)導(dǎo)的結(jié)論不同的原因是:兩組實(shí)驗(yàn)的溫度不同，相差10℃以上，電壓較大的溫度較低，導(dǎo)致其蓖麻油的粘滯性較大，小球分散程度低，因而分維數(shù)稍高些。

3　結(jié) 論

處于強(qiáng)靜電場(chǎng)下的大量金屬小球初始狀態(tài)不同，自組織演化過程不同。聚集的初始狀態(tài)，所有小球幾乎同時(shí)相互作用，參與形成分形，再一起擴(kuò)展；小球離散隨機(jī)放置的初始狀態(tài)，則是處于臨界作用距離以內(nèi)的部分小球先聚集在一起，形成串狀或帶分枝的串狀做類蠕蟲運(yùn)動(dòng)，再將鄰近小球依次納入，逐漸形成分形。

雖然不同初始狀態(tài)自組織演化過程不同，但最終均呈現(xiàn)為穩(wěn)定的樹枝狀結(jié)構(gòu)，且其分維數(shù)基本相同。原因是相同實(shí)驗(yàn)條件下系統(tǒng)的耗散相同，導(dǎo)致描述系統(tǒng)耗散的分維數(shù)相同。本實(shí)驗(yàn)結(jié)果有利于理解金屬沉積和超分子凝聚過程中的簇團(tuán)聚等現(xiàn)象。

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Influence of Experimental Initial State on the Process of Self-organization Evolution

SU Ya-feng，LI Pu-xuan，XU Zhong-feng，ZHANG Xiao-lin
（Xi’an Jiaotong University，Shaanxi Xi’an 710049）

The self-organization evolution processes of large-number metallic balls from different initial states to the fractal structures are observed systematically under high voltage.The fractal dimensions of final stable dendritic fractal structures are calculated by the sandbox method.The result shows that although the self-organization evolution processes are quite different with different initial states，their fractal dimensions are almost the same.Our analysis suggests that there exists a critical interaction distance between metal balls，the averaged distances between neighboring balls are different in different initial states which result in different evolution processes，while the same fractal dimension reflects the direct embodiment of the same dissipation of the system.

self-organization evolution；fractal；sandbox method；fractal dimension

O415.3

A

10.14139/j.cnki.cn22-1228.2015.02.017

1007-2934（2015）02-0060-06

2014-11-03

西安交通大學(xué)教師發(fā)展中心教改重點(diǎn)項(xiàng)目（08129006）

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