牛苗苗　孫燦　熊海涵

【摘要】在基于tsai一階徑向畸變標定方式的基礎上，提出了一種改進算法。算法結(jié)合傳統(tǒng)標定原理首先線性求解攝像機模型內(nèi)外參數(shù)，作為初值，應用于帶有二階徑向畸變，偏心畸變和薄棱鏡畸變的圖像矯正模型，通過最小二乘法求解6項畸變尺度因子。充分利用OpenCV視覺函數(shù)庫對圖像分步校正，避免了重復計算并判斷透鏡非線性映射。實驗結(jié)果表明，改進算法提高了系統(tǒng)標定精度，降低了計算時間復雜度，可以實現(xiàn)較高精度的單目視覺標定及立體視覺匹配的應用需求。

【關鍵詞】單目標定；畸變校正；立體匹配；tsai方法

計算機立體視覺技術的實現(xiàn)主要包括圖像獲取，攝像機標定，特征提取，立體匹配和三維重建五部分[1]。攝像機標定作為空間三維圖景到成像二維平面的首要條件，是立體視覺系統(tǒng)圖像深度測量的基礎部分。而夾角，都不可避免的作用在攝像機透視成像過程上。對于以上鏡頭徑向，切向畸變，目前標定方法主要分制造中所引起的光學鏡頭徑向曲率變化，裝配中導致 的多鏡頭光軸不同軸以及鏡頭與攝像機像平面存在的為傳統(tǒng)標定方法[2]，自標定方法[3]以及基于主動視覺的標定方法。典型的傳統(tǒng)標定方法主要有abdel-aziz和karara提出的直接線性變換法（DLT），hallert提出的非線性優(yōu)化法，tsai的兩步法以及張正友的平面模板法[4]。這其中tsai[5]兩步標定法的主要貢獻是在RAC條件下，用DLT方法求解透鏡矩陣系統(tǒng)參數(shù)，并以此作為初始迭代值，非線性優(yōu)化估計畸變參數(shù)，減少了求解參數(shù)空間維數(shù)，提高了線性求解速度和非線性求解精度，并廣泛應用于實時性較高的機器視覺場合。tsai的方法中只引入了一級徑向畸變，對于一些精度要求高的場合，往往需要引入切向畸變。本文在tsai方法基礎上，引入二級徑向畸變，偏心畸變，薄棱鏡畸變，全面分析攝像機透鏡模型，結(jié)合OpenCV視覺函數(shù)庫標定攝像機內(nèi)外參數(shù)，并給出畸變校正后的棋盤格圖像。

1.透鏡成像及畸變校正

圖1為廣泛應用于工業(yè)非接觸尺寸測量的基于徑向畸變的攝像機針孔模型[6]，O-XWYWZW為全局坐標系，攝像機透鏡光心與坐標系O-XCYCZC的原點重合，xc軸和yc軸分別與xw軸yw軸平行，zc軸與zw軸平行，O-XY為像平面坐標系，以mm為單位，O-UV為像素坐標系，以pixels為單位，點P在像素坐標系O-UV下的離散坐標（u，v）恒為整數(shù)值，?表示攝像機焦距，標定點P的成像過程由以下幾步坐標系轉(zhuǎn)換完成：（1）全局坐標系到攝像機坐標系的剛體變換；（2）像平面坐標系到像素坐標系的變換；（3）攝像機坐標系到像平面坐標系的變換；經(jīng)過上述坐標系齊次變換，得到點P全局坐標與像素坐標關系如下[7]：

式（1）中，M1為攝像機內(nèi)參數(shù)矩陣，ax，ay分別為x軸y軸上尺度焦距，單位為pixels，u0，v0為圖像中心坐標，M2為攝像機外參數(shù)矩陣，為3×3正交旋轉(zhuǎn)矩陣，平移矩陣，M為攝像機投影矩陣。攝像機標定的目的就是精確求解內(nèi)參數(shù)?x，?y，u0，v0和外參數(shù)矩陣R，T。由于無法避免透鏡畸變，（1）式中的待求解參數(shù)并不能代表實際的透鏡參數(shù)，因此需要引入非線性畸變校正攝像機投影矩陣各項參數(shù)。成像點 的坐標畸變轉(zhuǎn)換如下[8]：

式中，（xu，yu）和（xd，yd）表示點p在像平面坐標系O-XY下的無畸變坐標和畸變坐標，ζx，ζy為投影畸變在像平面x軸和y軸上的映射，tsai的標定方法中只考慮了一階徑向畸變，限制了復雜背景下對攝像機標定的高精度要求，擴展帶有二階徑向畸變，偏心畸變和薄棱鏡畸變的校正模型如下：

式中r2=xd2+yd2，k1，k2為徑向畸變尺度，p1，p2為切向畸變尺度，ε1，ε2為薄棱鏡畸變尺度在成像平面上的徑向和切向分量。通過求解（1），（3）式攝像機參數(shù)，空間點的三維坐標得以重建。

2.改進的標定方法

首先線性求解攝像機投影矩陣M，然后以M各項投影參數(shù)為初始迭代值，結(jié)合三項畸變模型，求解畸變系數(shù)，最后以中心點坐標區(qū)域局部最小值為數(shù)據(jù)擬合函數(shù)，全局優(yōu)化所求攝像機內(nèi)外參數(shù)初值和畸變因子。具體求解方法如下：（1）求解攝像機內(nèi)外參數(shù)。對于空間i=1，2，3...n個標定坐標點，由式（1）可以得到：

其中，（Xwi，Ywi，Zwi，1）表示標定靶第i個點的三維坐標的齊次坐標， 表示第（ui，vi，1）個點的圖像坐標的齊次坐標，為投影元素。為了消除攝像機坐標Zci的影響，可以將（4）式用線性方程表示如下：

根據(jù)線性模型的成像原理，每個已知的空間點全局坐標和像素坐標都不同的對應一個式（5）所表示的兩個線性方程，由（5）式可知，線性方程一共有12個待求投影參數(shù)，通常認為空間兩坐標系的變換并不受相乘系數(shù)的影響，因此對于（5）式，可令m12=1，當有足夠數(shù)量的對應點個數(shù)i，滿足2i≥11時，用最小二乘法對上述線性方程組求解，可在迭代過程中得到投影矩陣參數(shù)mj。為了進一步求解攝像機內(nèi)參數(shù)，旋轉(zhuǎn)矩陣和平移矩陣，將式（1）所表示的投影矩陣與攝像機內(nèi)外參數(shù)矩陣的關系擴展如下：

（6）

r3作為上述正交單位矩陣的第三行元素，|r3|=1。由等式兩邊左右對應關系可知，m12m3=r3，可以求出m12=1/|m3|，并結(jié)合（5）式所求投影參數(shù)，可以得到圖像中心坐標點，，透鏡尺度焦距在像平面坐標系X軸上的分量，在y軸上的分量，得到上述四項內(nèi)部參數(shù)后，旋轉(zhuǎn)矩陣和平移矩陣的各向量參數(shù)可以線性求出：

（2）求解畸變系數(shù)

綜合（1），（2），（3）式可以得到下式畸變坐標到全局坐標的轉(zhuǎn)換方程組：

對于圖1中的共面標定靶，Zw=0，式中旋轉(zhuǎn)及平移參數(shù)均已由第一步線性求出，將式（7）中的上下兩方程相除可得：

式中包含有限個畸變參數(shù)，其中A1=r11Xw+r12Yw+tx，A2=r21Xw+r22Yw+ty，標定理想狀態(tài)下的n個非共線圖像坐標點和對應的全局坐標點，可知式（3）是一個關于各項畸變參數(shù)的線性方程組，畸變尺度因子可用最小二乘法通過某次的迭代求得。（3）標定過程程序化。利用 OpenCV（Open Source Computer Vision Library）強大的圖像處理和矩陣運算能力，考慮上述攝像機透鏡模型和三項畸變校正多項式，對攝像機標定過程進行深入研究，算法框圖如圖2。第一步處理采集到的多幅平面棋盤格圖像，方法主要調(diào)用開放函數(shù)庫中的cvFindChessboardCorners（）角點提取函數(shù)，用cvFindCornerSubPix（）函數(shù)結(jié)合Bouguet算法[9]，再對提取到的角點進行亞像素求精。第二步調(diào)用cvCalibrateCamera2（）函數(shù)可以得到各項標定參數(shù)。第三步分兩步調(diào)用cvInitUndistortMap（）和cvRemap（），其中cvInitUndistortMap（）函數(shù)計算非線性映射，cvRemap（）應用于映射結(jié)果校正圖像。如果畸變映射不變，則直接利用cvRemap（）矯正棋盤格圖像。

3.實驗與結(jié)果分析

3.1實驗配置。由于3D標定物的精度難以保證，這里采用多個空間方位角度不同黑白交替排列棋盤格平面標定模板，如圖3所示。目標棋盤格標定板尺寸270mm×210mm，每個棋盤格尺寸為30mm×30mm，中心距30mm，陣列9×7，攝像機與標定靶面距離控制在100mm以內(nèi)

3.2實驗數(shù)據(jù)與分析。實驗時，攝像頭一共采集6副不同空間方位的圖像，應保證獲取的棋盤格占據(jù)成像平面大部分區(qū)域。提取成功的圖像如圖4所示，前一行的最后一個角點與后一行的第一個角點由彩色直線相連，以判斷是否找到所有角點，每一行角點都用不同顏色的圓圈區(qū)別。為了驗證本文標定方法的可行性，實驗對比tsai標定法，使用立體視覺系統(tǒng)左攝像機計算兩種方法的攝像機內(nèi)外參數(shù)以及畸變尺度系數(shù)，如表1所示?？梢钥闯龈倪M算法得到的光學中心坐標（u0，v0）與tsai的方法相近，而?x，?y的值比tsai的標定結(jié)果更接近真實值，標定算法的精度評價用空間真實坐標點與重建后對應的世界坐標點的均方差平均值表示：

由（9）得到的標定誤差范圍為±0.8mm，滿足實際應用標定的精度需求。

3.3校正畸變圖像。在驗證了上述角點提取以及精確標定過程的可靠性之后，圖像的枕形畸變，偏心畸變和薄棱鏡畸變得到了適當?shù)某C正，圖5為經(jīng)過修正后的圖4棋盤標定格圖像，與圖4相比可以看出，算法可以顯著糾正透鏡成像時發(fā)生在圖像邊緣的徑向畸變和切向畸變。

4.結(jié)論

試驗方案結(jié)合參數(shù)對比，驗證了改進算法的魯棒性，試驗設備及場合容易搭建，標定過程無需人工參與。算法在引入多項畸變參數(shù)的同時，充分考慮了OpenCV函數(shù)庫最小二乘法的特性，通過對畸變圖像分步校正，避免了重復計算并判斷透鏡非線性映射，降低了算法迭代次數(shù)，是一種簡單，有效的標定算法，適用于各類視覺標定工程及立體視覺匹配中。

參考文獻

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[2]Peter F. Sturm， Stephen J. Maybank. On plane-based camera calibration： a general algorithm， singularities， applications [C].// IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition. Fort Collins， USA， IEEE， 1999： 432-437.

[3]Ma S. D.. A self-calibration technique for active vision system [J]. IEEE Transactions on Robotics and Automation， 1996， 12（1）： 114-120.

[4]Z. Zhang A flexible new technique for camera calibration [J]. IEEE Transactions on Pattern Analysia and Machine Intelligence， 2000， 22（11）： 1330-1334.

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[6]馬頌德，張正有.計算機視覺—計算理論與算法基礎[M].北京：科學出版社，1997：52-56.

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[9]http：// www.vision.caltech.edu/bouguetj/calib_doc.