顏偉光，李文澤

(1.江蘇食品藥品職業(yè)技術(shù)學(xué)院信息工程系，江蘇淮安223003;2.河南廣播電視大學(xué)理工學(xué)院，河南鄭州450008)

連續(xù)相位頻移鍵控(Continuous Phase Frequency Shift Keying，CPFSK)［1］和跳頻(Frequency Hopping，F(xiàn)H)頻譜擴(kuò)展技術(shù)［2］經(jīng)常同時(shí)使用于 Ad Hoc網(wǎng)絡(luò)中［3］。在 CPFSK跳頻Ad Hoc網(wǎng)絡(luò)中，盡管CPFSK信號(hào)具有頻譜緊湊的特征，依然有部分信號(hào)功率不可避免地散射到相鄰的頻率信道上，從而造成鄰道干擾(Adjacent Channel Interference，ACI)問題［4］。因此，分析網(wǎng)絡(luò)性能時(shí)需要考慮ACI問題對(duì)網(wǎng)絡(luò)的影響。

傳輸容量是分析網(wǎng)絡(luò)性能的主要指標(biāo)，主要衡量網(wǎng)絡(luò)空間頻譜利用效率［5］。文獻(xiàn)［6］分析了系統(tǒng)最大傳輸容量與調(diào)制指數(shù)、編碼速率和信道數(shù)目等參數(shù)的關(guān)系。其中，CPSFK的頻譜效率以帶寬內(nèi)能量的百分比作為衡量標(biāo)準(zhǔn)。關(guān)于CPFSK調(diào)制方式的頻譜效率，文獻(xiàn)［6］提出頻率信道帶寬內(nèi)含有99%的信號(hào)功率，這意味著1%的信號(hào)功率散射到相鄰信道帶寬，即產(chǎn)生了ACI問題，但現(xiàn)有相關(guān)文獻(xiàn)并未深入分析ACI對(duì)系統(tǒng)性能的影響。

此外，當(dāng)信道帶寬固定時(shí)，增加比特傳輸速率會(huì)降低部分帶內(nèi)功率，增加散射到相鄰信道上的信號(hào)功率。盡管ACI會(huì)嚴(yán)重影響性能，但可以通過增加比特傳輸速率以獲得較低速率的糾錯(cuò)編碼，進(jìn)而獲得部分性能增益。因此，在分析網(wǎng)絡(luò)傳輸容量時(shí)，量化部分帶內(nèi)功率對(duì)系統(tǒng)性能的增益也需要考慮ACI問題。

針對(duì)CPFSK跳頻Ad Hoc網(wǎng)絡(luò)，在陰影和Nakagami衰落條件下，本文提出了一種考慮ACI問題的網(wǎng)絡(luò)性能分析方法，并建立了相應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)模型。通過該方法推導(dǎo)出了條件中斷概率、空間平均中斷概率和傳輸容量等性能標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。最后，基于ACI分析模型，使用Nelder-Mead單純形方法優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)傳輸容量，給出了網(wǎng)絡(luò)的最優(yōu)傳輸容量參數(shù)配置。優(yōu)化結(jié)果驗(yàn)證了該分析方法的有效性。

1 Ad Hoc網(wǎng)絡(luò)模型

本節(jié)假設(shè)Ad Hoc網(wǎng)絡(luò)發(fā)送節(jié)點(diǎn)和接收節(jié)點(diǎn)均使用CPFSK調(diào)制方式和跳頻模式。設(shè)Ad Hoc網(wǎng)絡(luò)中包含M+2個(gè)移動(dòng)節(jié)點(diǎn)，其中有1個(gè)參考接收節(jié)點(diǎn)位于原點(diǎn)，還有一個(gè)參考發(fā)送節(jié)點(diǎn)X0和M個(gè)干擾節(jié)點(diǎn)X1，X2，…，XM。變量Xi表示移動(dòng)節(jié)點(diǎn)i和其位置，并且 Xi表示節(jié)點(diǎn)Xi距接收節(jié)點(diǎn)的距離。干擾節(jié)點(diǎn)位于內(nèi)半徑為rex和外半徑為rnet的環(huán)形區(qū)域內(nèi)，環(huán)形區(qū)域面積為在參考接收機(jī)端，Xi節(jié)點(diǎn)功率［7］為

式中:d0表示參考距離;Pi表示發(fā)射功率;gi指衰落功率增益;ξi指陰影系數(shù);α＞2為衰減功率指數(shù)，并且有表示參數(shù)為mi的Nakagami分布。

網(wǎng)絡(luò)采用適用于慢跳頻系統(tǒng)的信道接入?yún)f(xié)議［8］。設(shè)每跳持續(xù)周期內(nèi)衰落功率增益{gi}為恒定值，并且跳與跳之間相互獨(dú)立，每個(gè)發(fā)送節(jié)點(diǎn)到接收節(jié)點(diǎn)的信道均有一個(gè)獨(dú)立的Nakagami參數(shù)mi?？捎妙l譜帶寬B劃分為L(zhǎng)個(gè)連續(xù)的頻率信道，信道帶寬為B/L。發(fā)送節(jié)點(diǎn)以相等概率選擇發(fā)送信道，其中源節(jié)點(diǎn)X0選擇位于頻譜邊緣的信道發(fā)送信號(hào)的概率為2/L，而選擇非邊緣信道的概率則為L(zhǎng)-2/L。且有Di≤1表示Xi的占空因子，為節(jié)點(diǎn)發(fā)送信號(hào)的概率。

設(shè)pc和pa分別表示同信道沖突和鄰道沖突［9］發(fā)生的概率，每個(gè)節(jié)點(diǎn)的Di=D均為常數(shù)。如果干擾節(jié)點(diǎn)Xi發(fā)送信號(hào)時(shí)，其選擇和發(fā)送節(jié)點(diǎn)使用相同頻率的概率為1/L。因此，干擾節(jié)點(diǎn)Xi引入相同信道干擾沖突的概率為pc=D/L。當(dāng)源節(jié)點(diǎn)x0使用邊緣信道時(shí)，干擾節(jié)點(diǎn)Xi選擇與之相鄰信道的概率為1/L，而當(dāng)源節(jié)點(diǎn)使用非邊緣信道時(shí)，其相鄰信道有2個(gè)，則干擾節(jié)點(diǎn)選擇相鄰信道的概率為2/L。因此，對(duì)于一個(gè)隨機(jī)選擇的信道，節(jié)點(diǎn)Xi引入鄰道沖突的概率為

信號(hào)發(fā)送過程會(huì)有部分功率散射在所選擇信道之外，設(shè)ψ為部分帶內(nèi)功率，一般滿足0.95≤ψ≤0.99。文中假設(shè)鄰道功率散射比Ks(1-ψ)/2，表示散射到發(fā)送信道相鄰信道的信號(hào)功率。根據(jù)上述模型，接收機(jī)端的瞬時(shí)信干噪比(Signal Interference Noise Ratio，SINR)［10］為

式中:n0是白噪聲功率，離散隨機(jī)變量Ii為

式中:pI為Ii對(duì)應(yīng)取值的概率，不發(fā)生沖突的概率pn滿足pn=1-pc-pa=1-D(3L-2)/L2。將式(1)帶入式(3)，則

2 中斷概率性能分析

基于上述網(wǎng)絡(luò)模型，本節(jié)分別推導(dǎo)出了CPFSK跳頻Ad Hoc網(wǎng)絡(luò)的條件中斷概率和空間平均中斷概率的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

2．1 條件中斷概率

設(shè)β為分組可靠接收需要的最小SINR值，Ω={Ω0，Ω1，…，ΩM}則表示所有發(fā)送節(jié)點(diǎn)Xi的歸一化接收功率集合。當(dāng)SINR小于β時(shí)則會(huì)產(chǎn)生中斷，故當(dāng)條件為Ω時(shí)，中斷概率有

其次，定義變量Z有

故條件中斷概率為

式中:Γ-1為條件為Ω時(shí)Z的累積分布函數(shù) CDF。同時(shí)，設(shè)表示條件為Ω時(shí)Z的互補(bǔ)累積分布函數(shù)，并設(shè)整數(shù)m0表示信號(hào)獨(dú)立衰落，據(jù)文獻(xiàn)［11］可得

其中，β0=βm0/(ψΩ0)，且有 Hk(Ω)為

式(10)中，Gli(Ωi)為

其中，fYi(y)為Yi=IigiΩi的概率密度函數(shù)PDF?？紤]Nakagami衰落和Ii統(tǒng)計(jì)數(shù)，Yi的概率密度函數(shù)為

其中，u(y)為單位階躍函數(shù)，δ(y)是Dirac delta函數(shù)。將式(12)代入(11)，得

其中δli是Kronecker delta函數(shù)，并且有

2．2 空間平均中斷概率

假設(shè)干擾節(jié)點(diǎn)位置在干擾區(qū)域內(nèi)服從獨(dú)立和均勻分布，且干擾節(jié)點(diǎn)服從密度λ=M/A的二項(xiàng)點(diǎn)過程(Binomial Point Process，BPP)過程［12］。設(shè) ε(λ)為相應(yīng)的空間平均中斷概率，是關(guān)于Ω的Fz(Γ-1Ω)函數(shù)的期望，為

首先，設(shè)系統(tǒng)沒有陰影，即對(duì)于所有i有ξi=0和固定位置X0，故而β0和Ω0均為常數(shù)?；谑?15)，Z的互補(bǔ)累積分布函數(shù)為

其中，EΩ{Hk(Ω)}為

由于所有干擾節(jié)點(diǎn)均在環(huán)形區(qū)域內(nèi)均勻分布，因此對(duì)于{Ωi}，i=1，2，…，M，有概率密度函數(shù)為

其中，有 ci=(Pi/P0)。結(jié)合式(17)，(18)，有

其中，有I(x)為

其中:2F1(·)是高斯超幾何函數(shù)［13］。

3 基于CPFSK調(diào)制受限的傳輸容量分析

空間平均中斷概率 ε(λ)通常滿足 ε(λ)≤ζ，且 ζ∈［0，1］。因此，使用傳輸容量(Transmission Capacity，TC)表示最大傳輸密度［14］。TC代表空間頻譜利用效率，例如單位區(qū)域內(nèi)傳輸成功的數(shù)據(jù)速率。空間平均TC可由λ和 ε(λ)表示，有

如文獻(xiàn)［15］中所述，傳輸容量是SINR門限的β函數(shù)，并且計(jì)算時(shí)不需要假設(shè)調(diào)制類型和信道編碼。實(shí)際中，β是系統(tǒng)使用的調(diào)制方式和信道編碼的函數(shù)。設(shè)C(γ)為最大可獲得速率，由瞬時(shí)SINR，即γ和所選擇的調(diào)制方式?jīng)Q定。如果使用系統(tǒng)可達(dá)到最大速率R的編碼，則當(dāng)C(γ)≤R會(huì)產(chǎn)生中斷。當(dāng)信道為塊衰落信道，SINR門限為 β=C-1(R)的中斷概率能夠提供碼字錯(cuò)誤速率的精準(zhǔn)預(yù)測(cè)。文獻(xiàn)［16］給出了非相干接收CPFSK對(duì)于不同h的對(duì)稱信息速率值，其通過計(jì)算非相干AWGN信道輸入和輸出的平均互信息獲得。

最大數(shù)據(jù)傳輸速率由信道帶寬B/L、部分帶內(nèi)功率ψ、調(diào)制方式的頻譜效率和編碼速率等確定。設(shè)η表示調(diào)制方式的頻譜效率，單位為symbol·s-1·Hz-1，由符號(hào)速率除以調(diào)制方式功率帶寬100ψ%獲得。為了強(qiáng)調(diào)η相對(duì)于h和ψ的相關(guān)性，用η(h，ψ)表示CPFSK頻譜效率。結(jié)合速率為R的編碼，頻譜效率為 Rη(h，ψ)，單位 bit·s-1·Hz-1，其中 R 是信息比特和碼字符號(hào)比率。由于信號(hào)帶寬效率為100ψ%，并且?guī)挒锽/L(單位Hz)，故在占空因子為D的單鏈路支持條件下的最大數(shù)據(jù)速率為

將式(22)代入式(21)并除以系統(tǒng)帶寬B得到歸一化的空間平均調(diào)制受限傳輸容量(Modulation Constrained Transmission Capacity，MCTC)

和式(21)相比，此式的傳輸容量表達(dá)式精準(zhǔn)考慮了編碼速率R、調(diào)制方式的頻譜效率和頻率信道數(shù)目等參數(shù)。

4 Ad Hoc網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化

4．1 仿真平臺(tái)環(huán)境

本節(jié)使用 θ=(L，R，h，ψ)，C(θ)，表示單目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)，求解具有最小值目標(biāo)函數(shù)值條件下的最優(yōu)θ。文中設(shè)定λ為固定值，用 τ'(θ)表示歸一化 MCTC，這里求最小 C(θ)=-τ'(θ)以獲得歸一化MCTC最大化。本節(jié)使用MATLAB 2012對(duì)系統(tǒng)性能進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，并使用OPNET14.5網(wǎng)絡(luò)仿真軟件構(gòu)建Ad Hoc網(wǎng)絡(luò)。其中，4.2和4.3節(jié)部分性能參數(shù)設(shè)置相同，具體如下:網(wǎng)絡(luò)環(huán)形區(qū)域內(nèi)半徑rex=0.25，M=50為潛在干擾節(jié)點(diǎn)數(shù)目，D=1，源節(jié)點(diǎn)和接收節(jié)點(diǎn)距離 X0=1，路徑損耗指數(shù)α=3，信噪比Γ=10 dB。

4．2 全面評(píng)估

以某典型參數(shù)配置為依據(jù)，示例系統(tǒng)余下參數(shù)設(shè)置如下:環(huán)形區(qū)域外半徑rnet=2，陰影方差σs=8 dB，干擾節(jié)點(diǎn)分布位置服從分布密度為λ=50/(π(22-0.252))≈4的BPP分布，混合衰落模型參數(shù)m0=4，且mi=1，i≥1。頻譜散射考慮3種情況:無散射，最小頻譜散射(ψ=0.99)和適度頻譜散射(ψ=0.96)。當(dāng)不考慮頻譜散射時(shí)，計(jì)算η時(shí)使用CPFSK的99%功率帶寬，pa=0。當(dāng)考慮頻譜散射時(shí)，計(jì)算η時(shí)使用CPFSK的100ψ%功率帶寬，同時(shí)利用式(2)計(jì)算pa。MCTC性能仿真時(shí)，主要自變量范圍滿足 L∈［1，200］，R∈(0，1)，單位增量 ΔR=0.01，h∈(0，1］，Δh=0.01。

因?yàn)棣?(θ)參數(shù)是4維，圖1給出了MCTC在不同ψ時(shí)隨信道數(shù)目L變化的性能曲線，其中參數(shù)R和h取最大化τ'(θ)條件下的值。為了突出優(yōu)化結(jié)果與個(gè)別自變量之間的函數(shù)關(guān)系，有目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)τ'opt(Lψ)為

圖1 網(wǎng)絡(luò)MCTC性能隨信道數(shù)目L變化曲線示意

由圖1可知，當(dāng)考慮頻譜散射且ψ=0.99，系統(tǒng)性能有一定下降。但是當(dāng)頻譜散射程度增加，即ψ=0.96，性能反而有所提升。這說明了聯(lián)合優(yōu)化ψ和其他參數(shù)將獲得潛在系統(tǒng)增益。此外，當(dāng)時(shí)30≤L≤50，系統(tǒng)能夠獲得最大化MCTC。

4．3 基于單純形的網(wǎng)絡(luò)性能優(yōu)化

當(dāng)離散化θ集合很大時(shí)，τ'(θ)的全面評(píng)估計(jì)算非常密集，特別是當(dāng)Nakagami因子m0取值很大時(shí)，并且由于τ'(θ)是基于θ的非線性函數(shù)，很難推導(dǎo)出理論公式。因此，本節(jié)使用Nelder-Mead單純形優(yōu)化方法［17］尋優(yōu)。

在四維優(yōu)化問題尋優(yōu)中，使用Nelder-Mead方法構(gòu)造五維單純形作為初始解集。每次迭代過程中，計(jì)算每個(gè)頂點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，然后反復(fù)替換單純形中目標(biāo)函數(shù)值最大的頂點(diǎn)。本文問題尋優(yōu)中，單純形第一個(gè)頂點(diǎn)初始化(Le，R，h，ψ)=(20，0.5，0.5，0.975)，其他頂點(diǎn)距第一個(gè)頂點(diǎn)距離分別為 1，0.025，0.025 和 0.005。設(shè) θ1，θ2，…，θ5表示單純形的各個(gè)頂點(diǎn)，有:C(θ1)≤C(θ2)≤…≤C(θ5)。迭代過程中，通過沿著單純形表面反射θ5來產(chǎn)生備用頂點(diǎn)θr并計(jì)算其目標(biāo)函數(shù)值。如果有 C(θ1)≤C(θr)≤C(θ4)，則用 θr代替頂點(diǎn) θ5。所有頂點(diǎn)將再次根據(jù)目標(biāo)函數(shù)值進(jìn)行排序并再次使用上述迭代流程。如果C(θr)≤C(θ1)，則通過將θr到其他4個(gè)頂點(diǎn)定義的表面之間的距離雙倍以實(shí)現(xiàn)單純形擴(kuò)展操作，進(jìn)而產(chǎn)生另一個(gè)備用頂點(diǎn) θs。如果 C(θs)≤C(θr)，則用 θs替換 θ5來完成擴(kuò)展操作，否則仍用 θr代替頂點(diǎn) θ5。如果 C(θs)≤C(θr)，則通過將Max(θ5，θr)和其他4個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的表面之間的距離縮小一半的方法完成壓縮操作，如果新頂點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值小于當(dāng)前值則接受壓縮操作。否則，如果上述條件均不滿足，則最小值必然存在于單純形內(nèi)，通過依次減小各邊長(zhǎng)度尋找到最優(yōu)解。

通過使用Nelder-Mead單純形優(yōu)化算法，得到了干擾節(jié)點(diǎn)服從λ密度BPP分布條件下的最優(yōu)化結(jié)果。除和4.2部分參數(shù)設(shè)置相同以外，其他參數(shù)設(shè)置如下:環(huán)形區(qū)域外半徑取值rnet=2，4，分別對(duì)應(yīng)不同節(jié)點(diǎn)分布密度λ≈4，1。同時(shí)考慮3種衰落模型和2種陰影環(huán)境:瑞利衰落模型(mi=1，i≥1)，Nakagami衰落(mi=4，i≥1)，和混合衰落(m0=4，mi=1，i≥1)，無陰影環(huán)境(σs=0 dB)，陰影環(huán)境(σs=8 dB)。

圖2給出了rnet=2和σs=8 dB條件下3種不同衰落模型中最優(yōu)傳輸容量隨ψ的變化曲線，其中(L，R，h)參數(shù)取最優(yōu)結(jié)果相應(yīng)的值。據(jù)圖2可知，3種衰落模型條件下，當(dāng)ψ=0.96時(shí)能夠取得最優(yōu)網(wǎng)絡(luò)傳輸容量。在混合衰落模型環(huán)境下，當(dāng) ψ =0.96 時(shí)，有{L，R，h}={38，0.64，0.81}。當(dāng)由于頻譜散射造成的ACI忽略并使用99%的帶寬功率時(shí)，混合衰落環(huán)境下有優(yōu)化參數(shù)值為{L，R，h}={24，0.68，0.59}。因此，當(dāng)考慮由頻譜功率散射引起的ACI鄰道自干擾時(shí)，較大的頻率信道數(shù)目L和調(diào)制因子h將提供更優(yōu)的網(wǎng)絡(luò)傳輸容量。

圖2 網(wǎng)絡(luò)傳輸容量隨部分帶內(nèi)功率的變化曲線

表1給出了2種網(wǎng)絡(luò)覆蓋區(qū)域、3種衰落模型和兩種陰影環(huán)境下的優(yōu)化參數(shù)和結(jié)果數(shù)值。據(jù)表1可知，rnet=2和rnet=4網(wǎng)絡(luò)性能最大化時(shí)最優(yōu)部分帶內(nèi)功率分別為ψ=0.96和ψ=0.95。對(duì)于瑞利信道，輕微陰影環(huán)境可以提升網(wǎng)絡(luò)性能，但對(duì)于Nakagami和混合衰落模型而言，輕微陰影環(huán)境會(huì)降低網(wǎng)絡(luò)性能。此外，增加網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)布密度，可以增加傳輸容量，但需要更大的L，R和ψ，以及更小的h。

表1 不同條件下的網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化結(jié)果和參數(shù)值

5 結(jié)束語

CPFSK跳頻Ad Hoc網(wǎng)絡(luò)中，網(wǎng)絡(luò)性能主要取決于調(diào)制因子、編碼速率、頻率信道數(shù)目和部分帶內(nèi)功率等因素。本文提出了一種考慮鄰道干擾條件下的CPFSK跳頻Ad Hoc網(wǎng)絡(luò)性能分析方法，給出了網(wǎng)絡(luò)模型、中斷概率和傳輸容量數(shù)學(xué)表達(dá)式。并在考慮陰影、衰落等環(huán)境的基礎(chǔ)上利用單純形優(yōu)化方法給出了網(wǎng)絡(luò)傳輸容量最大時(shí)的參數(shù)配置。優(yōu)化結(jié)果驗(yàn)證了分析方法的有效性。

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