馬麗娜（西安財經(jīng)學(xué)院 行知學(xué)院信息系，陜西 西安 710038）

證據(jù)理論在Bayes可靠性評估中的應(yīng)用

馬麗娜
（西安財經(jīng)學(xué)院 行知學(xué)院信息系，陜西 西安 710038）

提出了一種基于D-S證據(jù)理論的 Bayes可靠性評估方案，很好地表達(dá)和利用了Bayes方法中的“不確定的”先驗信息。在無替換定數(shù)截尾試驗樣本下，研究了指數(shù)壽命型產(chǎn)品的可靠性指標(biāo)的估計問題，提出了可靠性評估的兩種方法：通過融合可靠性指標(biāo)的后驗分布進(jìn)行綜合評估和通過融合可靠性指標(biāo)的后驗置信區(qū)間進(jìn)行綜合評估。數(shù)值實例表明，利用所提出的方法得到的評估結(jié)果是“謹(jǐn)慎的”和合理的。

D-S證據(jù)理論；Bayes方法；可靠性；LC準(zhǔn)則；Pignistic概率

0　引言

在大型復(fù)雜產(chǎn)品的可靠性評估過程中，由于時間、經(jīng)費、保密等因素的限制，客觀可靠性信息往往難以獲取或者獲取的成本較高，每次試驗的樣本量較少，因此利用經(jīng)典統(tǒng)計方法很難對復(fù)雜產(chǎn)品可靠性參數(shù)做出精確的估計。而Bayes統(tǒng)計方法能夠把工程技術(shù)人員對產(chǎn)品的了解、經(jīng)驗、類似產(chǎn)品的可靠性信息綜合起來，對小樣本也有比較好的統(tǒng)計推斷效果。因此，Bayes方法在復(fù)雜產(chǎn)品的可靠性評估中得到了廣泛的應(yīng)用。

在Bayes統(tǒng)計中，驗前分布的獲取和表示是一個關(guān)鍵的問題。在產(chǎn)品的可靠性評估中，特別是對新型復(fù)雜產(chǎn)品，往往會遇到“無信息”或先驗信息難以表示的情況。此時，通常會采用Jeffreys原則或“共軛分布法”來確定先驗分布。利用這些形式的先驗信息再結(jié)合樣本和總體信息進(jìn)行統(tǒng)計推斷具有一定的主觀性和不確定性。D-S證據(jù)理論作為一種重要的不確定推理的方法，可以很好地表達(dá)和處理這種不確定信息，從而為復(fù)雜產(chǎn)品的可靠性評估提供了一種新的途徑。

1　相關(guān)理論分析

1.1證據(jù)理論

［1］詳細(xì)介紹了證據(jù)理論的基礎(chǔ)知識，現(xiàn)簡述如下。

定義1 設(shè)Θ是X的識別框架，則函數(shù)m［0，1］稱為 2Θ上的基本信度分配（BBA）函數(shù)，如果滿足：

其中，m （A）是對命題x∈A的精確信任程度的一種度量，表示了對A的直接支持，通常稱為A的mass值。對空集Φ分配的基本信度m（Φ）代表了識別框架的不一致性和不完整性。

D-S證據(jù)理論提供了一個有用的合成公式，使人們能融合多個證據(jù)源提供的證據(jù)。

定義2設(shè)m1和m2是同一識別框Θ上的兩個BBA，焦元分別為 A1，…，Ak和B1，…，Br，則：

其中，N=ΣAi∩Bj=Φm1（Ai）m2（Bj）＜1。式（2）給出的組合規(guī)則稱為Dempster證據(jù)組合規(guī)則。

1.2Pignistic概率

在D-S證據(jù)理論中，可用Pignistic概率轉(zhuǎn)換公式將BBA轉(zhuǎn)換成一種概率度量。最常用的轉(zhuǎn)換方法是平均分配法（Smets法），認(rèn)為每一個元素出現(xiàn)的概率一樣，因此把多元素命題的BBA值平均分配給所包含的元素［2］。

其中，|A|為集合A的勢；m（Φ）是對空集的BBA，代表了證據(jù)的不一致性。

1.3最小特異性原則

如果已知目標(biāo)識別框架上的Pignistic概率，如何從滿足此不確定性描述的證據(jù)中選擇最合理的一條呢？有學(xué)者提出，利用最小特異性（Least Committed）原則選出“最謹(jǐn)慎”的一條證據(jù)［3］。在這個準(zhǔn)則下的最優(yōu)證據(jù)攜帶的確定性信息最少。

RISTIC B和SMETS P等人［4］研究了連續(xù)空間上的證據(jù)理論和LC原則，并指出如果Pignistic概率是單峰的，那么在LC原則下滿足此Pignistic概率的最優(yōu)BBA由式（4）決定：

其中，Bet f（s）=Bet f（Φ（s））。

2　指數(shù)壽命模型可靠性分析

在Bayes可靠性評估中，如果遇到對參數(shù)先驗信息不足的情況，常采用 Jeffreys原則或“共軛分布法”來確定先驗分布。利用這些形式的先驗信息再結(jié)合樣本和總體信息進(jìn)行統(tǒng)計推斷具有一定的主觀性和不確定性。根據(jù)證據(jù)理論的思想，此時可把得到的參數(shù)后驗分布當(dāng)作Pignistic概率，再由證據(jù)理論處理這些不確定信息。

指數(shù)分布是最簡單的失效分布，但是在可靠性試驗及其統(tǒng)計分析中占有相當(dāng)重要的地位?，F(xiàn)在考慮指數(shù)壽命型產(chǎn)品的可靠度的評估。

方案1通過融合可靠度的后驗分布進(jìn)行綜合評估

根據(jù)Bayes公式，可得Jeffreys原則和“共軛分布”思想下，可靠度的后驗密度函數(shù)分別為：

把它們當(dāng)作Pignistic概率密度，由式（4）可得其對應(yīng)的LC準(zhǔn)則下最優(yōu)BBA分別為：

由證據(jù)組合規(guī)則融合上面兩個BBA可得一個綜合的BBA：

按照平均分配法的思想進(jìn)行Pignistic概率轉(zhuǎn)換：

其中，ρ是一個與x無關(guān)的常數(shù)，使得 Bet f（y）成為一種概率度量。Bet f（y）是對可靠度進(jìn)行評估的依據(jù)。

下面看一個具體實例。設(shè)某電子設(shè)備的壽命服從指數(shù)分布。任取15臺進(jìn)行無替換定數(shù)截尾壽命試驗，事先規(guī)定失效數(shù) r=7，試驗結(jié)果為（單位：h）：t1=500，t2= 1 350，t3=2 130，t4=2 500，t5=3 120，t6=3 500，t7=3 800。現(xiàn)在要對該電子設(shè)備的t0=500 h時的可靠度進(jìn)行評估。利用上述評估方案，可得在t0=500 h時該電子設(shè)備的可靠度的Pignistic概率密度函數(shù)如圖1所示。將所得結(jié)果與在 Jeffreys準(zhǔn)則和“共軛分布”思想下得到的 t0=500 h時的可靠度的概率密度函數(shù)進(jìn)行對比，如圖2所示。

圖1　Pignistic概率密度函數(shù)

圖2　t0=500 h時指數(shù)分布可靠度的三種概率密度函數(shù)

方案2通過融合可靠度的后驗置信區(qū)間進(jìn)行綜合評估

從上面可以看出，直接從后驗分布出發(fā)構(gòu)建 Pignistic概率計算上較為復(fù)雜，本文提出一種從可靠度的置信區(qū)間出發(fā)進(jìn)行綜合評估的簡單方法。此時，目標(biāo)識別框為［0，1］上的區(qū)間集合。

設(shè)已經(jīng)得到了可靠度的n個不同置信水平的置信區(qū)間 A1，…，An，置信度分別為 1-α1，…，1-αn，把其當(dāng)作Θ上的 Pignistic概率，根據(jù) LC原則選擇滿足條件的最優(yōu)證據(jù)的線性規(guī)則問題可表示為：

其中，f（|A|）是|A|的增函數(shù)，度量了 A的不精確度；XA= m（A）表示決策變量。

定理1對LP問題如式（7）所示，當(dāng)n=1時，最優(yōu)解對應(yīng)的非零決策變量只有兩個XA1和XΘ。

證明不妨設(shè)f（|A|）=|A|。設(shè)另一可行解包含不同于XA1和XΘ的非零決策變量 XB。若B?A1，則令（B）=0，（A1）=m（A1）+m（B），而 f（|A1|）（A1）+f（|B|（B）-（f（|A1|）m（A1）+f（|B|）m（B））=m（B）（|A1|-|B|）＞0，因此，該可行解不是最優(yōu)解。若 B∩A1=Φ，則令（B）=0，，容易驗證這也是一組可行解，而 f（|A1|）（A1）+f（|B|）（B）+ f（|Θ|）（Θ）-（f（|A1|）m（A1）+f（|B|）m（B）+f（|Θ|）m（Θ））=m（B）（1+|A|-|B|）＞0，因此，該可行解不是最優(yōu)解。對于B∩A1≠Φ、BA1的情形可類似證明。

下面結(jié)合數(shù)值實例說明這個方法的應(yīng)用步驟。仍然考慮上面提到的例子。由樣本數(shù)據(jù)和 Bayes公式可得Jeffreys準(zhǔn)則下參數(shù)λ的后驗概率密度為：

這是伽馬分布Ga（7，47 300）的核，即λ～Ga（r，Tr）= Ga（7，47 300），因此：

再由χ2分布的分位數(shù)，可得λ的1-α等尾置信區(qū)間為：

記此區(qū)間為［A（Tr），B（Tr）］，再由單調(diào)性，容易得可靠度 R（t0）=e-λt0的 1-α置信區(qū)間為：

取 α=0.1，當(dāng) r=7，Tr=47 300時，易查得（14）= 6.571，（14）=23.685，因此，參數(shù) λ的0.90等尾置信區(qū)間為［6.946 089×10-5，2.503 700×10-4］；進(jìn)而得到t0=500 h時的可靠度R（500）的0.90置信區(qū)間為［0.88，0.97］。

類似地，可推得在“共軛分布”思想下，t0=500 h時的可靠度R（500）的0.95置信區(qū)間為［0.87，0.95］。把由 Jeffreys準(zhǔn)則下得到的可靠度置信區(qū)間［0.88，0.97］的置信度看作是 Pignistic概率，即 Bet P（［0.88，0.97］）=0.85。根據(jù)定理 1，滿足此 Pignistic概率的 LC-BBA的焦元區(qū)間只有［0.88，0.97］和［0，1］。因此，得方程組：

解得：

m1（［0，1］）=0.109 9，m1（［0.88，0.97］）=0.890 1

同理，把在“共軛分布”思想建立的可靠度置信區(qū)間［0.87，0.95］的置信度看作是Pignistic概率，即Bet P（［0.87，0.95］）=0.95。根據(jù)定理1，滿足此Pignistic概率的LCBBA的焦元區(qū)間只有［0.87，0.95］和［0，1］。因此，得方程組：

解得：

m2（［0，1］）=0.054 3，m2（［0.87，0.95］）=0.945 7

采用 Dempster證據(jù)組合規(guī)則對上面兩條證據(jù)進(jìn)行融合，得到一個綜合的BBA：

m（［0.88，0.95］）=0.841 8，m（［0.87，0.95］）=0.103 9，m（［0.88，0.97］）=0.048 3，m（［0，1］）=0.006 0

利用Pignistic概率轉(zhuǎn)換公式可得可靠度的一個概率分布為：

在該方案下得到的 t0=500 h時該電子設(shè)備的可靠度的Pignistic概率密度函數(shù)如圖3所示。

將所得結(jié)果與在 Jeffreys準(zhǔn)則下和“共軛分布”思想下得到的 t0=500 h時的可靠度的概率密度函數(shù)進(jìn)行對比，如圖4所示。

圖3　Pignistic概率分布函數(shù)

圖4　t0=500 h時指數(shù)分布可靠度的三種概率

3　結(jié)論

本文研究了 D-S證據(jù)理論在 Bayes可靠性評估中的應(yīng)用方法。文中提出了兩種方法：（1）通過融合可靠性指標(biāo)的后驗分布進(jìn)行綜合評估；（2）通過融合可靠性指標(biāo)的后驗置信區(qū)間進(jìn)行綜合評估。數(shù)值實例表明，D-S證據(jù)理論在可靠性評估中會給出一個“謹(jǐn)慎”和“保守”的結(jié)論，這在對產(chǎn)品沒有足夠的先驗信息是有意義的。例如在大型客機(jī)、衛(wèi)星、導(dǎo)彈等進(jìn)行可靠性評估時，如果不能及時地檢測并避免故障，造成的損失是不可估量的。此時就需要對這些產(chǎn)品的可靠性進(jìn)行一個“謹(jǐn)慎”的估計。因此，本文提出的評估方法適用于“對產(chǎn)品沒有充分的試驗信息”而“產(chǎn)品的故障能造成大的風(fēng)險”的情況。

參考文獻(xiàn)

［1］楊露菁，余華.多源信息融合理論與應(yīng)用［M］.北京：北京郵電大學(xué)出版社，2006.

［2］潘巍，王陽生，楊宏戟.Pignistic概率轉(zhuǎn)換算法設(shè)計［J］.計算機(jī)工程，2005，31（4）：20-22.

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［4］RISTIC B，SMETS P.Target classification approach based on the belief function theory［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2005，41（2）：574-583.

App lication of evidence theory in Bayes reliability assessment

Ma Lina
（Department of Information，College of Xingzhi，Xi′an University of Finance and Economics，Xi′an 710038，China）

In order to express and apply better the uncertain prior information，this paper presents a new Bayesian reliability assessment scheme based on the D-S evidence theory.The estimation for reliability index of exponential distributions is studied for the non-replacement fixed failure number test samples.It proposes two reliability assessment methods.One is a comprehensive evaluation by integrating the posterior distributions of reliability indices.The other is one by integrating the posterior confidence intervals.Numerical examples show that the proposed method is prudent and reasonable.

D-S evidence theory；Bayesian methods；reliability；LC guideline；Pignistic probability

O213.2

A

1674-7720（2015）06-0062-03

2014-11-30）

馬麗娜（1986-），女，碩士研究生，主要研究方向：圖像處理與信息整合。