李衛(wèi)平

（南通師范高等?？茖W校 數(shù)理與信息技術系，江蘇 如皋 226500）

探討微積分中證明方程有根的基本方法

李衛(wèi)平

（南通師范高等?？茖W校 數(shù)理與信息技術系，江蘇 如皋 226500）

結合具體實例，在對根的存在定理及羅爾定理推廣基礎上，對證明方程有根的基本方法進行了研究，并對這類問題的特點、解題方法及步驟進行歸納總結.

微積分；證明方程有根；基本方法

0 引言

證明方程有根是高等數(shù)學研究中常見的課題，也是高等數(shù)學教學過程中的一個難點，一些文獻[1-4]對此類問題進行了常識性推導證明，但從對根的存在定理及羅爾定理推廣研究證明方程有根方法的研究并不多見.筆者將在對根的存在定理及羅爾定理推廣基礎上，結合具體實例對高等數(shù)學中證明方程有根的基本方法進行研究，并對這類問題的特點、解題方法及步驟進行歸納總結.

1 方程有根的證明方法及應用舉例

方程有根的證明，在高等數(shù)學中常見的2個方法：一是利用根的存在定理證明；二是利用羅爾定理證明.具體選用哪個定理證明要視方程的特點而定.一般情況下，若方程中含有導數(shù)或已知條件中涉及到可導這個條件，則選擇第2種方法，否則采用第1種方法.這兩種方法解題的關鍵是輔助函數(shù)的構造，如何構造輔助函數(shù)是利用定理證明方程有根的難點.下面將結合具體實例進行分析.

1.1 運用根的存在定理證明方程有根

定理1（根的存在定理）[5]如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f（a）與f（b）異號，則至少存在1點ξ∈（a，b），使得f（ξ）=0.

結論表明，若方程f（x）=0中的函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)且兩個端點處的函數(shù)值異號，則該方程在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在1個根ξ.這個結果，在確定1個方程的根時是十分有用的.

運用根的存在定理證明方程在某范圍內(nèi)存在實根的步驟：（1）構造輔助函數(shù)f（x）；（2）確定函數(shù)在相應閉區(qū)間上連續(xù)，并驗證該函數(shù)滿足根的存在定理的條件；（3）寫出結論.

構造輔助函數(shù)f（x）的方法：若題中所給方程是f（x）=0的結構，則方程中的f（x）即為要研究的函數(shù)，否則通過移項使方程一端為零，另一端則可令為f（x）.

例1 證明方程x3+x-1=0在區(qū)間（0,1）內(nèi)至少有1個根.

證明 令f（x）=x3+x-1，則顯然f（x）在閉區(qū)間[0,1]上連續(xù)，且f（0）=-1＜0，f（1）=1＞0.所以，由根的存在定理可知，至少存在一點ξ∈（0,1），使得f（ξ）=0，即方程x3+x-1=0在區(qū)間（0,1）內(nèi)至少有1個根.

例2 證明方程x3+x=1至少有1個小于1的正根.

分析 方程x3+x=1可變形為x3+x-1=0，故令f（x）=x3+x-1.至少有1個小于1的正根，說明討論的區(qū)間為[0,1].證明過程與例1類似，此處略.

此外，根的存在定理結論也表明曲線y=f（x）在區(qū)間（a，b）上至少與x軸有1個交點，從而該定理也可用來證明曲線與x軸有交點.

例 3 設函數(shù) f（x）在（a，b）上連續(xù)，x1，x2∈（a，b），x1＜x2且 f（x1）≠f（x2），求證：?ξ∈（a，b），使 f（ξ）=

注：當所構造的函數(shù)在給定的區(qū)間兩端點處的符號同號或沒辦法判斷正負時，我們可考慮縮小要討論的區(qū)間，正如例3一樣，要證明方程在區(qū)間（a，b）內(nèi)有根，可證明該方程在區(qū)間（a，b）的子區(qū)間內(nèi)有根.

1.2 運用羅爾定理證明方程有根

定理2（羅爾定理）[5]若函數(shù)滿足

(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；(2)在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導；(3)在兩端點處的函數(shù)值相等，即f（a）=f（b），則至少存在1點ξ∈（a，b），使得f′（ξ）=0.

結論表明，若方程f′（x）=0中的函數(shù)f（x）滿足羅爾定理中的3個條件，則該方程在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在1個根ξ.這個結果可用于證明方程有根.此處的方程與根的存在定理中涉及到的方程區(qū)別就在于方程中一個含有導數(shù)一個不含有導數(shù)，這也是決定用兩個定理中的哪個定理來證明的依據(jù)所在.

運用羅爾定理證明方程有根，關鍵是構造輔助函數(shù)f（x），一般可先對方程作等價變形，并使方程一端為零，將不為零的那一側對應的函數(shù)的原函數(shù)令為f（x），然后驗證f（x）滿足羅爾定理的條件，最后下結論.此處，原函數(shù)一般可通過觀察或求積分的方法找到.

例4 已知函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導，求證：在（a，b）內(nèi)至少存在一點ξ，使

例5 設函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導，證明在（a，b）內(nèi)存在一點ξ，使

故本題可構造輔助函數(shù)g（x）=（b-x）f（x）+f（a）x，容易驗證g（x）滿足羅爾定理的條件.

證明 令，g（x）=（b-x）f（x）+f（a）x因為函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導，所以g（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導.因為g（a）=（b-a）f（a）+f（a）a=bf（a），g（b）=（b-b）f（b）+f（a）b=f（a）b，所以g（a）=g（b）.由羅爾定理可知，在（a，b）內(nèi)存在一點ξ，使得g′（ξ）=0.

而g′（x）=-f（x）+（b-x）f′（x）+f（a），所以

例6 設函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導，f（a）=f（b）=0，求證：在（a，b）內(nèi)存在一點ξ，使f′（ξ）= f（ξ）.

分析 該題可轉化為證明方程f′（x）=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有根，將方程變形可得f′（x）-f（x）=0，但方程左側的原函數(shù)仍不易找出，此時繼續(xù)對方程變形，在方程兩側同時乘上e-x，原方程等價于e-xf′（x）-e-xf（x）= 0.而[e-xf（x）]′=e-xf′（x）-e-xf（x），故可構造輔助函數(shù)g（x）=e-xf（x），容易驗證g（x）滿足羅爾定理的條件.為了尋找原函數(shù)，在方程兩側同時乘上e-x或ex也是對方程作變形的1種常見方法.

2 根的存在定理及羅爾定理的推廣

與根的存在定理的幾何意義類似有如下的結論成立.

該定理的運用和根的存在定理的運用思路與方法均類似，區(qū)別在于已知條件中給定的區(qū)間的類型.若f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則可首選根的存在定理證明，也可用定理3證明；若函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）或半閉半開區(qū)間[a，b）（或（a，b]）上連續(xù)，則可推出函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）上連續(xù)，從而可運用定理3證明.總之，能用根的存在定理證明的題型，都可以用定理3來證明，定理3的適用范圍更廣.

由定理3亦可驗證下面兩個推論的正確性.

與羅爾定理的幾何意義類似有如下的結論成立.

運用該定理證明方程有根和運用羅爾定理證明方程的思路與方法類似，區(qū)別在于看函數(shù)f（x）在給定區(qū)間的兩端點x=a和x=b處是否連續(xù).在兩定理的選擇運用上，就如同在根的存在定理和定理3之間作選擇一樣，并且定理4的適用范圍比羅爾定理適用范圍更廣.

由定理4亦可驗證下面兩個推論的正確性.

推論3 若函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導，在區(qū)間（a，b]上連續(xù)，且則至少存在一點ξ∈（a，b），使得f′（ξ）=0.

推論4 若函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導，在區(qū)間[a，b）上連續(xù)，且則至少存在一點ξ∈（a，b），使得f′（ξ）=0.

在具體選用根的存在定理還是羅爾定理來證明方程有根時，要視方程的特點而定.一般情況下，若方程中含有導數(shù)或已知條件中涉及到可導這個條件，則選擇羅爾定理或其推廣來證明，否則采用根的存在定理或其推廣來證明.在兩個定理及其推廣的選擇應用上主要是觀察題中所給的連續(xù)這個條件是否是在閉區(qū)間上，若不是，則選擇定理的推廣來解題.在應用推廣和兩個定理解題時，輔助函數(shù)構造技巧是類似的.

[1]楊仁付.淺談方程有根問題的證明方法[J].高等數(shù)學研究，1998，（3）：32-34.

[2]李國成.淺談利用微分中值定理解題的方法和技巧[J].成都教育學院學報，2004，18（7）：69-70，74.

[3]李英.微積分中討論方程實數(shù)根的幾種方法[J].內(nèi)蒙古財經(jīng)學院學報（綜合版），2004，2（3）：79-80.

[4]楊朝暉.羅爾定理的應用與探索[J].荊楚理工學院學報，2009，24（11）：46-49.

[5]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學[M].北京：高等教育出版社，2007.

（責任編輯 鈕效鹍）

An Exploration of Existence of Equation Root in Differential Calculus

LI Wei-ping
（Department of Mathematics&Information Technology，Nantong Normal College，Rugao，Jiangsu 226500，China）

Through some examples，the basic methods to prove the existence of equation root are studied，and the characteristics，problem-solving methods and procedures of such problems are summarized on the basis of the promotion of zero-point theorem and Rolle theorem.

differential calculus；testification of the existence of equation root；basic method

O172

A

1673-1972（2015）03-0036-04

2014-11-26

李衛(wèi)平（1981-），女，江蘇如皋人，講師，主要從事高等數(shù)學研究.