馬銀華　楊慶國(guó)

摘要 針對(duì)點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)分析中的兩類接觸運(yùn)動(dòng)傳遞機(jī)構(gòu)問題，基于其特點(diǎn)與解題方法的分析，指出了其中第二類常見問題分析方法的局限性。為此，設(shè)計(jì)了一類非常規(guī)的接觸運(yùn)動(dòng)傳遞機(jī)構(gòu)問題，并分析了其求解方法。本文指出，現(xiàn)有的常規(guī)分析方法不適用于非常規(guī)問題，想要簡(jiǎn)單有效地解決這類問題，須突破對(duì)于“動(dòng)點(diǎn)”、“動(dòng)系”選擇方法的傳統(tǒng)認(rèn)識(shí)，在分析思路和方法上進(jìn)行創(chuàng)新。本文關(guān)于非常規(guī)問題的分析方法，強(qiáng)調(diào)了動(dòng)系選擇的靈活性，這對(duì)于豐富合成運(yùn)動(dòng)的求解方法以及提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，具有重要意義。

關(guān)鍵詞 接觸運(yùn)動(dòng)傳遞機(jī)構(gòu) 合成運(yùn)動(dòng) 動(dòng)系

中圖分類號(hào)：TP23 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2015.08.076

Thinking of Synthetic Movement Contacting

Motion Transmission Mechanism

MA Yinhua， YANG Qingguo

（School of Civil Engineering and Architecture， Chongqing Jiaotong University， Chongqing 400074）

Abstract For two types of contacts motion transfer mechanism synthesis Kinematics question of， based on the analysis of its characteristics and problem-solving approach， pointing out the limitations of the second class of common problems where analysis methods. For this reason， the design of a class of unconventional touch movement transmission mechanism problem， and analyzes its solving method. This paper points out， existing conventional methods do not apply to unconventional problems， they want a simple and effective way to solve such problems， must break the "fixed point"， the traditional understanding of "dynamic system" selection method， the analysis of ideas and methods innovation. Unconventional analysis method on the issue， emphasizing the flexibility to select dynamic system， which for the ability to enrich the movement Solution synthesis and improve the students to analyze and solve problems， and has great significance.

Key words contacting motion transfer mechanism; synthetic movement; dynamic system

運(yùn)動(dòng)學(xué)作為理論力學(xué)的三大教學(xué)內(nèi)容之一，是機(jī)械類專業(yè)后續(xù)課程如機(jī)械原理的重要基礎(chǔ)。其中，點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)是運(yùn)動(dòng)學(xué)的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)。在實(shí)際工程問題中，點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)知識(shí)應(yīng)用十分廣泛，在研究約束聯(lián)系機(jī)構(gòu)的各剛體之間運(yùn)動(dòng)關(guān)系時(shí)，可以發(fā)揮重要的作用。點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)方法并非只是一種“瞬時(shí)分析法”，它也可以對(duì)運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)進(jìn)行“全程分析”。①相比于以幾何和高等數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的點(diǎn)（剛體）的運(yùn)動(dòng)方程求解速度、加速度方法，點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)方法往往可以使問題的分析和求解更加簡(jiǎn)便。

有一類點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)問題非常常見，即接觸運(yùn)動(dòng)傳遞機(jī)構(gòu)問題，它是機(jī)械工程中的常見類型。在教材②③中，接觸運(yùn)動(dòng)傳遞機(jī)構(gòu)的點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)問題很多，概括起來，這類機(jī)構(gòu)可分為兩種情況：第一類是有不變的接觸點(diǎn)，第二類是沒有不變的接觸點(diǎn)。本文針對(duì)這兩類情況，總結(jié)了現(xiàn)有教材或資料中常見問題的特點(diǎn)及分析方法，同時(shí)基于第二類情況分析方法存在的局限性，思考提出了一種非常規(guī)問題，并給出了簡(jiǎn)單、可行的求解分析方法，以便教師和學(xué)生深入理解、靈活運(yùn)用點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)知識(shí)，為工程中可能遇到的這類非常規(guī)問題提供一種有效解決方案。

1 常見問題的特點(diǎn)及其分析方法的局限性

接觸運(yùn)動(dòng)傳遞機(jī)構(gòu)的第一類常見問題，是存在不變的接觸點(diǎn)，即接觸點(diǎn)始終為某一剛體上相對(duì)位置不變的點(diǎn)（如圖1）;第二類常見問題，是不存在不變的接觸點(diǎn)，即兩個(gè)剛體的接觸點(diǎn)都會(huì)隨時(shí)間而改變，接觸點(diǎn)在任一剛體上的相對(duì)位置都不是固定的（如圖2）。

對(duì)于第一類問題，學(xué)生易于接受的、最簡(jiǎn)單的方法就是選擇剛體上不變的接觸點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系固結(jié)于另一剛體上，這樣容易確定相對(duì)運(yùn)動(dòng)的軌跡，便于合成運(yùn)動(dòng)分析。對(duì)于第二類問題，由于接觸點(diǎn)對(duì)于任一剛體來說都不是相對(duì)位置固定的點(diǎn)，通常的觀點(diǎn)認(rèn)為：不應(yīng)選擇接觸點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，否則會(huì)因相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡不清楚，而給速度分析尤其是加速度分析造成很大的困難。因此，教學(xué)中建議選擇非接觸點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，以動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)系的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡易于確定為基本原則。面對(duì)這樣的問題，要求學(xué)生在充分理解動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系選取原則的基礎(chǔ)上，仔細(xì)觀察和分析機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，選定合理的動(dòng)點(diǎn)及相應(yīng)的動(dòng)系。這對(duì)于初學(xué)的學(xué)生來說，是有一定難度的。

諸如圖2所示第二類問題的例題或習(xí)題，在教材和相關(guān)教學(xué)參考資料中有很多，我們可以發(fā)現(xiàn)這些題都有相似之處，其中一個(gè)接觸剛體要么是圓輪，要么是半圓的凸輪等。它們共同的特點(diǎn)就是，總能在圓形剛體上找到一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，使得其到另一剛體（或剛體的某一點(diǎn)）的距離始終保持不變。如圖2所示，由于運(yùn)動(dòng)過程中偏心輪的輪心C點(diǎn)到O₂A桿的距離始終為半徑R，故選擇C點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系固結(jié)于O2 A桿，這樣相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡為平行于O₂A桿的直線運(yùn)動(dòng)，合成運(yùn)動(dòng)分析就很方便。

對(duì)于具備上述特點(diǎn)的第二類接觸運(yùn)動(dòng)傳遞機(jī)構(gòu)，學(xué)生們只要掌握了以圓形剛體的圓心為動(dòng)點(diǎn)的解題關(guān)鍵，舉一反三，其他同類特點(diǎn)的問題都可以采用相同方法迎刃而解。然而，這種分析方法卻存在嚴(yán)重的局限性，那就是，它只能解決具備上述特點(diǎn)的問題。對(duì)于不具備這種特點(diǎn)的第二類接觸運(yùn)動(dòng)傳遞機(jī)構(gòu)，顯然，前述分析方法并不適用，而要解決這類問題，若采用建立運(yùn)動(dòng)方程的方法，則會(huì)相當(dāng)困難?，F(xiàn)有教材中，都只是針對(duì)類似圖2所示機(jī)構(gòu)的常規(guī)問題展開研究，在這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)下，作者認(rèn)為并不利于提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，難以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

2 非常規(guī)問題的思考及分析方法

鑒于上述常規(guī)問題分析方法存在的局限性，作者設(shè)計(jì)了一種非常規(guī)的第二類接觸運(yùn)動(dòng)傳遞機(jī)構(gòu)。如圖3所示，當(dāng)圖2中的圓輪變成非圓輪（如橢圓輪或其他不規(guī)則形狀剛體）后，非圓輪剛體中無法找出一個(gè)到O2 A桿距離始終保持不變的動(dòng)點(diǎn)。

問題設(shè)計(jì)：圖3機(jī)構(gòu)與橢圓輪在點(diǎn)接觸，如已知橢圓輪的角速度，（鉛垂），求圖示瞬時(shí)的桿的角速度？

按照接觸運(yùn)動(dòng)傳遞機(jī)構(gòu)問題的常規(guī)分析方法，是不建議選擇接觸點(diǎn)作為動(dòng)點(diǎn)的，同時(shí)又由于在橢圓輪中找不到一個(gè)與桿距離保持不變的點(diǎn)，故學(xué)生們會(huì)感到點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)知識(shí)在該題中無法應(yīng)用。如果從幾何的角度，利用數(shù)學(xué)推導(dǎo)求桿的運(yùn)動(dòng)方程繼而求導(dǎo)得到桿件的角速度，這樣又可能缺乏一些必要的求解條件，并且推導(dǎo)過程會(huì)非常復(fù)雜繁瑣（如果是其它不規(guī)則形狀的剛體，則分析求解會(huì)更加困難）。

實(shí)際上，這種問題仍然可以利用合成運(yùn)動(dòng)的知識(shí)來求解，只是我們需要改變已經(jīng)形成的常規(guī)的動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系選擇方法，尋求一種新的思路。下面，我們將采用“自構(gòu)建動(dòng)系法”，來分析這個(gè)問題。在此之前，首先對(duì)“自構(gòu)建動(dòng)系法”進(jìn)行說明。在選擇動(dòng)系時(shí)，并不一定要將其固結(jié)于題目中某一實(shí)際存在的運(yùn)動(dòng)剛體之上，在不違背動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系選擇的原則下，動(dòng)系完全可以靈活選擇。比如，在選定動(dòng)點(diǎn)后，為了便于相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡的直觀確定，可以將動(dòng)系固結(jié)于一個(gè)我們自行構(gòu)建的虛擬運(yùn)動(dòng)剛體上，該剛體的運(yùn)動(dòng)形式和運(yùn)動(dòng)條件可以自行設(shè)定。也就是說，我們可以根據(jù)需要自行構(gòu)建一個(gè)動(dòng)系，并人為設(shè)定該動(dòng)系的運(yùn)動(dòng)特征。但前提是，在自構(gòu)建動(dòng)系下，動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡易于判定，并能夠獲得足夠的求解已知條件。

上述問題的求解分析過程如下：

（1）動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系的選擇。

動(dòng)點(diǎn)：桿上與橢圓輪接觸的B點(diǎn)（該方法已突破這類問題的常規(guī)動(dòng)點(diǎn)選擇方法）。

動(dòng)系：首先虛擬一個(gè)微小套環(huán)（小到可看作一個(gè)點(diǎn)），讓其套在桿件與橢圓輪的接觸點(diǎn)處，并隨著機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)而始終位于兩物體的接觸點(diǎn)（套環(huán)會(huì)相對(duì)于桿件與橢圓輪都有相對(duì)運(yùn)動(dòng)）。然后，以微小套環(huán)為原點(diǎn)，建立動(dòng)系，如圖4所示。最后，令動(dòng)系跟隨點(diǎn)移動(dòng)的同時(shí)還轉(zhuǎn)動(dòng)，并且設(shè)定動(dòng)系轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度與桿的角速度始終相同，即動(dòng)系的軸始終與桿重合（該動(dòng)系建立方法突破常規(guī)，常規(guī)方法中，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)選擇在桿件上時(shí)，動(dòng)系固結(jié)于橢圓輪）。

定系：固結(jié)于地面。

（2）運(yùn)動(dòng)分析。

基于上述動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系選擇方法，三種運(yùn)動(dòng)的形式和軌跡（特別是相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡）將十分清楚。

絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：以為圓心，為半徑的圓周運(yùn)動(dòng)。

相對(duì)運(yùn)動(dòng)：沿桿方向的直線運(yùn)動(dòng)（如圖4，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)后的位置始終在動(dòng)系軸上）。

牽連運(yùn)動(dòng)：動(dòng)系的運(yùn)動(dòng)為平面運(yùn)動(dòng)。

（3）速度分析。

建立速度合成定理：……（1）

其中，絕對(duì)速度的大小未知（與待求量桿件的角速度有關(guān)）、方向垂直于桿;相對(duì)速度的大小未知、方向沿桿;牽連速度即為套環(huán)的絕對(duì)速度（圖3瞬時(shí)，動(dòng)系上與動(dòng)點(diǎn)重合的點(diǎn)為微小套環(huán)），其大小方向均未知。

以套環(huán)為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系固結(jié)于橢圓輪上，再次利用點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)知識(shí)，可以求出套環(huán)的絕對(duì)速度（也就是式1中的）： ?……（2）

其中，為第二次合成運(yùn)動(dòng)分析中的牽連速度，即橢圓輪上與動(dòng)點(diǎn)（套環(huán)）重合點(diǎn)的速度（該點(diǎn)繞作圓周運(yùn)動(dòng)），其大小、方向均可由題目的已知條件確定;為第二次合成運(yùn)動(dòng)分析中的相對(duì)速度，由于套環(huán)相對(duì)于橢圓輪的運(yùn)動(dòng)軌跡為橢圓周線，故的方向沿橢圓切線即桿方向，但其速度大小未知（若知道橢圓在點(diǎn)處的曲率半徑，實(shí)際上可建立相對(duì)速度大小與曲率半徑、桿角速度之間的關(guān)系，讀者可自行推導(dǎo)）。

聯(lián)立式（1）、式（2）得到： ?……（3）

綜上分析，式（3）中雖有3個(gè)未知量，但和這兩個(gè)未知矢量的方向都沿桿方向，而另一位置矢量的方向垂直于桿，故作速度合成矢量圖（本文略）后，將矢量式（3）在垂直于桿的方向投影，即可求得的大小及方向。進(jìn)而，桿的角速度可求。

（4）總結(jié)。

本題的分析不同于常規(guī)思路，關(guān)鍵是采用自構(gòu)建動(dòng)系法，靈活的建立了動(dòng)系，使得相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡十分清晰。雖然兩次運(yùn)用了點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)分析，但每一次的分析思路都非常清楚，利用的都是現(xiàn)有的合成運(yùn)動(dòng)理論，而且求解過程并不復(fù)雜。與解決這類問題的其他方法相比，采用上述方法將使問題的求解過程極大地簡(jiǎn)化。自構(gòu)建動(dòng)系法同樣可以應(yīng)用于其他常規(guī)問題的求解，這對(duì)于豐富合成運(yùn)動(dòng)的分析方法和解題手段，具有重要作用和意義。

3 結(jié)語(yǔ)

動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)系的選擇，是求解合成運(yùn)動(dòng)問題的關(guān)鍵，在點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)教學(xué)中，對(duì)“動(dòng)點(diǎn)”選取和“動(dòng)系”建立方法的理解，不能僅停留在傳統(tǒng)的一般認(rèn)識(shí)上。對(duì)于非常規(guī)類型的接觸運(yùn)動(dòng)傳遞機(jī)構(gòu)問題，須突破已有的思維定式，在分析思路和方法上進(jìn)行創(chuàng)新。動(dòng)系的靈活選擇非常重要，自構(gòu)建動(dòng)系法在非常規(guī)復(fù)雜問題中的應(yīng)用，可為這類問題的合成運(yùn)動(dòng)分析提供簡(jiǎn)單、有效的解決方案。

注釋

① 馮立富，郭書祥，李穎.點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)與“全程分析法”[J].空軍工程大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2002.3（5）：86-87.

② 哈爾濱工業(yè)大學(xué)理論力學(xué)教研室.理論力學(xué)I[M]（第7版）.北京：高等教育出版社，2009.

③ 西南交通大學(xué)應(yīng)用力學(xué)與工程系.工程力學(xué)教程[M]（第2版）.北京：高等教育出版社，2009.