蔣俊正 程小磊 歐陽繕

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雙原型離散傅里葉變換調(diào)制濾波器組的快速設(shè)計(jì)方法

蔣俊正*程小磊 歐陽繕

(桂林電子科技大學(xué)信息與通信學(xué)院 桂林 541004)

針對(duì)大規(guī)模的離散傅里葉變換(DFT)調(diào)制濾波器組設(shè)計(jì)算法復(fù)雜度高的問題，該文提出一種基于無約束優(yōu)化的快速設(shè)計(jì)算法。該算法將兩個(gè)原型濾波器的設(shè)計(jì)問題歸結(jié)為一個(gè)無約束優(yōu)化問題,將濾波器組的傳遞失真，混疊失真以及原型濾波器阻帶能量的加權(quán)和作為目標(biāo)函數(shù)。進(jìn)而，采用雙迭代機(jī)制來求解該優(yōu)化問題。在單步迭代中，運(yùn)用矩陣求逆的等效條件和Toeplitz矩陣求逆的快速算法，顯著地降低了迭代的計(jì)算代價(jià)。仿真對(duì)比表明,與已有的設(shè)計(jì)算法相比,新算法計(jì)算代價(jià)低 ,可以得到整體性能更好的濾波器組,并且可以快速設(shè)計(jì)大規(guī)模的濾波器組。

調(diào)制濾波器組；離散傅里葉變換；原型濾波器；無約束優(yōu)化；雙迭代算法

1 引言

濾波器組作為多速率信號(hào)處理中的核心內(nèi)容一直備受關(guān)注，其在語音、圖像以及通信信號(hào)處理等方面都有著十分重要的應(yīng)用。相比于一般的濾波器組，調(diào)制濾波器組的優(yōu)點(diǎn)體現(xiàn)在其擁有簡單的結(jié)構(gòu)，并且實(shí)現(xiàn)起來相對(duì)容易。調(diào)制濾波器組包括余弦調(diào)制濾波器組[5,6]和離散傅里葉變換(DFT)調(diào)制濾波器組。其中，DFT調(diào)制濾波器組在處理復(fù)值信號(hào)方面更具優(yōu)勢[16]。在一些應(yīng)用當(dāng)中，期望濾波器組具備很大的通道數(shù)和長支撐的子帶濾波器(即大規(guī)模濾波器組)[10,11]。在文獻(xiàn)[7]中，通過求解一個(gè)帶約束的非線性優(yōu)化問題，可以得到性能較好的濾波器組，但是求解過程過于復(fù)雜，無法實(shí)現(xiàn)大規(guī)模濾波器組的設(shè)計(jì)。在文獻(xiàn)[8]中，采用了雙原型濾波器的設(shè)計(jì)，并且運(yùn)用雙迭代的算法可以快速得到令人滿意的濾波器組。然而當(dāng)濾波器組的通道數(shù)和原型濾波器支撐都很大時(shí)，單步迭代需要對(duì)和原型濾波器長度相等的維數(shù)的矩陣求逆，求解需要耗費(fèi)大量的時(shí)間，不利于實(shí)際運(yùn)用。而在文獻(xiàn)[9]中，將設(shè)計(jì)問題歸結(jié)為無約束的優(yōu)化問題，運(yùn)用修正的牛頓迭代法，可以快速設(shè)計(jì)得到大規(guī)模的濾波器組，但是由于采用的是單原型的濾波器組的設(shè)計(jì)，制約了其設(shè)計(jì)的自由度，無法用于設(shè)計(jì)雙原型的濾波器組。

本文所考慮的濾波器組是基于雙原型的濾波器而設(shè)計(jì)的。根據(jù)濾波器組的性能指標(biāo)，將原型濾波器的設(shè)計(jì)問題歸結(jié)為一個(gè)無約束的優(yōu)化問題，目標(biāo)函數(shù)是由濾波器組的混疊失真、傳遞失真和原型濾波器的阻帶能量所導(dǎo)出，運(yùn)用雙迭代算法[8]求解。進(jìn)而，在單步迭代中，運(yùn)用矩陣求逆的等價(jià)條件以及Toeplitz矩陣求逆的快速算法，顯著地降低了矩陣求逆的計(jì)算量。與傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)算法進(jìn)行仿真對(duì)比發(fā)現(xiàn)，本算法具有更低的計(jì)算代價(jià)，得到的濾波器組有著更小的重構(gòu)誤差，從而可以快速而有效地設(shè)計(jì)大規(guī)模的濾波器組。

圖1 M通道的DFT調(diào)制濾波器組的基本結(jié)構(gòu)

2 DFT調(diào)制濾波器組的基本結(jié)構(gòu)

那么分析與綜合濾波器的頻率響應(yīng)為

系統(tǒng)輸入與輸出的關(guān)系由式(5)給出[1]：

當(dāng)傳遞函數(shù)和混疊傳遞函數(shù)滿足式(7)：

相應(yīng)的濾波器組是無傳遞失真和混疊失真的，此時(shí)濾波器組是完全重構(gòu)的。

3 DFT調(diào)制濾波器組的設(shè)計(jì)

3.1濾波器組的性能指標(biāo)

在濾波器組的設(shè)計(jì)過程當(dāng)中，主要考慮的是如何減小或消除各類失真現(xiàn)象，主要包括濾波器組的傳遞失真與混疊失真，這兩項(xiàng)決定了濾波器組的重構(gòu)誤差。另外，期望設(shè)計(jì)得到的原型濾波器具有高的阻帶衰減，高的阻帶衰減可以通過控制原型濾波器的阻帶能量來獲得。所以本文考慮的濾波器組的性能指標(biāo)有：(1)濾波器組的傳遞失真與混疊失真；(2)原型濾波器的阻帶衰減。下面我們將逐一進(jìn)行分析。

首先如果直接根據(jù)式(7)中濾波器組無傳遞失真和無混疊失真的頻域條件來控制濾波器組的傳遞失真和混疊失真，那將會(huì)十分復(fù)雜。為此，考慮將無傳遞失真和無混疊失真的頻域條件轉(zhuǎn)化為時(shí)域條件來分析。

所以式(6)可以寫成

將式(15)寫成矩陣相乘的形式：

基于上面的分析，在設(shè)計(jì)濾波器組中，傳遞失真可以由式(17)來控制。

混疊失真可以由式(18)來控制。

原型濾波器高的阻帶衰減可以通過控制原型濾波器的阻帶能量來獲得，分析和綜合原型濾波器的阻帶能量分別表示為

另外，原型濾波器的通帶平坦性也是濾波器組的重要性能指標(biāo)，本文中通過最小化濾波器組的傳遞失真來近似控制原型濾波器的通帶平坦性，分析如下：

當(dāng)濾波器組近似無傳遞失真時(shí)，可以得到

初始原型濾波器的設(shè)計(jì)問題為[9]

結(jié)合式(21)和式(22)，當(dāng)濾波器組近似無傳遞失真時(shí)，可以得出，即濾波器也有良好的通帶平坦性。因此，可以通過最小化濾波器組的傳遞失真來近似控制原型濾波器的通帶平坦性。

3.2原型濾波器的設(shè)計(jì)

基于前一小節(jié)的分析，可以將原型濾波器的設(shè)計(jì)問題歸結(jié)為式(23)：

它的最優(yōu)解為

它的最優(yōu)解為

當(dāng)設(shè)計(jì)的濾波器組具有很大的通道數(shù)和長支撐的子帶濾波器時(shí)，式(25)和式(27)涉及大型矩陣求逆，運(yùn)算量巨大。在這里我們可以運(yùn)用式(28)的矩陣求逆的等效條件[18]來有效減小矩陣求逆的運(yùn)算量：

綜上所述，運(yùn)用如下的迭代算法來設(shè)計(jì)原型濾波器：

3.3計(jì)算復(fù)雜度分析

本文算法計(jì)算復(fù)雜度主要來自求解分析與綜合原型濾波器，即式(30)和式(29)。根據(jù)矩陣求逆和矩陣相乘的計(jì)算代價(jià)，可以得出本文算法的計(jì)算復(fù)雜度為,。而在相同條件下，文獻(xiàn)[8]算法的計(jì)算復(fù)雜度為,?？梢钥闯霎?dāng)濾波器組具備很大的通道數(shù)以及長支撐的子帶濾波器時(shí)(即,和都很大時(shí))，本文方法求解原型濾波器的計(jì)算量要遠(yuǎn)小于文獻(xiàn)[8]的方法，適用于設(shè)計(jì)大規(guī)模的濾波器組。

圖2 例1中本文設(shè)計(jì)方法得到的原型濾波器的幅度響應(yīng)

圖3 例1中文獻(xiàn)[8]設(shè)計(jì)方法得到的原型濾波器的幅度響應(yīng)

表1例1中本文算法與文獻(xiàn)[8]算法的性能與時(shí)間對(duì)比

設(shè)計(jì)算法傳遞失真(dB)混疊失真(dB)通帶波紋(dB)阻帶水平(dB)重構(gòu)誤差(dB)運(yùn)行所耗CPU時(shí)間(s) 文獻(xiàn)[8]算法?-86.01?-64.16?-64.580.02 本文算法?-73.49?-67.61?-65.430.01

4 仿真結(jié)果與分析

在這一節(jié)中，我們將本文的算法與現(xiàn)有的算法進(jìn)行仿真對(duì)比，所有的仿真和對(duì)比都是在相同的環(huán)境下運(yùn)行。

圖4 例2中本文設(shè)計(jì)方法得到的原型濾波器的幅度響應(yīng)

圖5 例2中文獻(xiàn)[8]設(shè)計(jì)方法得到的原型濾波器的幅度響應(yīng)

表2例2中本文算法與文獻(xiàn)[8]算法的性能與時(shí)間對(duì)比

設(shè)計(jì)算法傳遞失真(dB)混疊失真(dB)通帶波紋(dB)阻帶水平(dB)重構(gòu)誤差(dB)單步迭CPU時(shí)間(s) 文獻(xiàn)[8]算法?-71.84?-73.80?-71.28106.95 本文算法?-72.48?-75.63?-72.60 1.41

5 結(jié)束語

本文圍繞如何快速有效地設(shè)計(jì)DFT調(diào)制濾波器組的問題，提出了一種基于無約束優(yōu)化的快速設(shè)計(jì)算法。理論分析和仿真結(jié)果聯(lián)合表明，本文方法設(shè)計(jì)得到的濾波器組相比于現(xiàn)有方法有著更好的整體性能。并且，更為重要的一點(diǎn)，當(dāng)濾波器組具備大的通道數(shù)和長支撐的子帶濾波器時(shí)，新算法的計(jì)算效率相比于現(xiàn)有算法有著顯著的提高，因此本文算法非常適合大規(guī)模濾波器組的快速設(shè)計(jì)。后續(xù)工作將考慮大規(guī)模濾波器組的實(shí)際應(yīng)用問題。

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Fast Design of Double-prototype Discrete Fourier Transform Modulated Filter Banks

Jiang Jun-zheng Cheng Xiao-lei Ouyang Shan

(,,541004,)

This paper presents an efficient algorithm to design high-complexity Discrete Fourier Transform (DFT) modulated filter bank with double-prototype. The algorithm is based on unconstrained optimization, where the design problem is formulated into an unconstrained optimization problem, whose objective function is the weighted sum of the transfer distortion, the aliasing distortion of the filter bank, and the stopband energy of the Prototype Filters (PFs). The optimization problem can be efficiently solved by utilizing the bi-iterative scheme. The matrix inverse identity and the fast algorithm for Toeplitz matrix inversion are employed to dramatically reduce the computational cost of the iterative procedure. Numerical examples and compared tests to show that compared with the existing methods, the proposed method possesses much lower computational cost and can be used to design large-scale filter bank with better overall performance.

Modulated filter bank; Discrete Fourier Transform (DFT); Prototype Filters (PFs); Unconstrained optimization; Bi-iterative scheme

TN911.7

A

1009-5896(2015)11-2628-06

10.11999/JEIT150298

2015-03-11；改回日期：2015-07-13；

2015-08-27

蔣俊正 jzjiang@guet.edu.cn

國家自然科學(xué)基金(61261032)；廣西自然科學(xué)基金(2013GXNSFBA019264)

The National Natural Science Foundation of China (61261032); Guangxi Natural Science Foundation (2013GXNSFBA019264)

蔣俊正： 男，1983年生，副教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)槎嗨俾蕿V波器組理論與應(yīng)用、通信信號(hào)處理.

程小磊： 男，1992年生，碩士生，研究方向?yàn)槎嗨俾蕿V波器組的設(shè)計(jì)及應(yīng)用.

歐陽繕： 男，1960年生，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)樽赃m應(yīng)信號(hào)處理、通信信號(hào)處理.