董亞瑩

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西 西安　710127)

非齊次非線性擴(kuò)散方程的高維不變子空間和等價(jià)變換

董亞瑩

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西 西安710127)

利用與不變子空間方法相關(guān)的等價(jià)變換和變換v=enu給出了非齊次非線性擴(kuò)散方程的等價(jià)方程，并得到了等價(jià)方程的高維不變子空間.最后給出一些例子構(gòu)造了非齊次非線性擴(kuò)散方程的廣義泛函分離變量解.

非線性擴(kuò)散方程；不變子空間方法；等價(jià)變換；廣義泛函分離變量解

1　引言

本文研究非齊次非線性擴(kuò)散方程

構(gòu)造非線性演化方程

解的一種有效的方法是不變子空間法[5-6].下面介紹不變子空間法及其相關(guān)的定理和定義.

有限維線性空間稱為在給定算子 F作用下不變當(dāng)且僅當(dāng) F[Wm]?Wm.這意味著存在依賴于 φi(t)的函數(shù)使得

如果線性子空間Wm在給定算子F作用下不變，那么方程(2)有廣義分離變量解：

其中φi(t)(i=1，···，m)滿足有限維動(dòng)力系統(tǒng)值得注意的是任意一個(gè)線性空間Wm=L{f1(x)，f2(x)，···，fm(x)}是由線性常微分方程

其中 [H]表示 L[u]=0及其關(guān)于 x的微分序列.由不變條件 (4)可知不變子空間與條件Lie-B?cklund對稱有關(guān)[6-14].

定理 1.1[5，7]如果由方程(3)的解空間定義的m維子空間Wm在一個(gè)k階非線性微分算子F作用下不變，那么m≤2k+1.

定義 1.1[5]如果通過變量變換

可以得到，

那么稱算子F[y]=F(x，y，y′，···，y(k))等價(jià)于算子并且，如果算子F允許不變子空間：

2　方程 (1)的等價(jià)方程

下面分兩種情況討論這個(gè)算子.

其中a是常數(shù).

3　等價(jià)方程的高維不變子空間

由定理1.1，二階非線性微分算子允許的不變子空間的維數(shù)不超過5.因此，下面考慮微分算子(9)式和(10)式允許的2至5維不變子空間.為了方便計(jì)算，將和分別記作x和y.在本文中用記號(hào)yj=djy/dxj(j＞0，y0=y).

分別設(shè)

其中D是關(guān)于x的全導(dǎo)數(shù).直接計(jì)算可以得到方程(11)的左邊是關(guān)于y3，y2，y1，y0的多項(xiàng)式，即

對上面多項(xiàng)式進(jìn)行分析和計(jì)算，可以得到下面的結(jié)果.

經(jīng)計(jì)算可得，

其中B1(x)，a1(x)，a2(x)滿足下列決定方程組：

由決定方程組 (13)的第一個(gè)方程得到 a2≡0.把 a2≡0代入 (13)的第二個(gè)方程，則有B1(x)=a1(x).再把B1(x)=a1(x)代入(13)的第三個(gè)、第四個(gè)和第五個(gè)方程，可以得到a′1(x)=a0(x).因此有下面的結(jié)論.

其允許的不變子空間由常微分方程

定義，其中B1(x)=a1(x)和a′1(x)=a0(x).

其允許的不變子空間由常微分方程 y′′′+a2(x)y′′+a1(x)y′=0定義.其中 B2(x)=a2(x) 和a′2(x)=a1(x).

相同的計(jì)算也可以得到下面的注解.

(2)如果由二階常微分方程(3)定義的不變子空間在非線性微分算子下不變，那么不變條件為：

(3)如果由二階常微分方程(3)定義的不變子空間在非線性微分算子下不變，那么不變條件為：

這里很難求得a0(x)和a1(x)的具體表達(dá)式.

4　方程 (1)的廣義泛函分離變量解

利用不變子空間方法和第三節(jié)中的結(jié)論，可以構(gòu)造(9)式和(10)式對應(yīng)的擴(kuò)散方程的廣義分離變量解.進(jìn)一步得到方程(1)的廣義泛函分離變量解.下面給出幾個(gè)例子說明這個(gè)方法.

例4.1通過變換v=enu，方程

例4.2通過變換v=enu，方程

例4.3利用變換v=enu和變量變換方程

5　結(jié)論

本文通過利用變換v=enu及與不變子空間方法相關(guān)的等價(jià)變換將非線性非齊次擴(kuò)散方程轉(zhuǎn)化為變系數(shù)演化方程.進(jìn)一步，得到了方程(1)的等價(jià)方程并且求出了等價(jià)方程的高維不變子空間.在文獻(xiàn)[13-15]中，變系數(shù)非線性演化方程的解是通過不變子空間和條件Lie-B?cklund對稱得到的.而在本文中，對變系數(shù)非線性演化方程，首先利用與不變子空間方法相關(guān)的等價(jià)變換降低變系數(shù)的個(gè)數(shù).之后，利用不變子空間得到方程的解.事實(shí)上，當(dāng)利用不變子空間方法解這類方程時(shí)，只需要考慮微分算子的不變子空間.這樣做的好處是能簡化計(jì)算過程.這種方法也可用于其他非線性方程.

[1]Crank J.The Mathematics of Diffusion[M].Oxford：Clarendon Press，1975.

[2]Herbert A，Bazley N，Kirchg?ssner K.Applications of Nonlinear Analysis in the Physical Science[M]. London：Pitman，1981.

[3]Berryman J G，Holland C J.Nonlinear diffusion problems arising in plasma physics[J].Phys.Rev.Lett.，1978，40(26)：1720-1722.

[4]Kamin S，Rosenau P.Propagation of thermal waves in an inhomogeneous medium[J].Comm.Pure Appl. Math.，1981，34(6)：831-852.

[5]Galaktionov V A，Svirshchevskii S R.Exact Solutions and Invariant Subspaces of Nonlinear Partial Differential Equations in Mechanics and Physics[M].London：Chapman and Hall，2007.

[6]Galaktionov V A，Vázquez J L.Geometrical properties of the solutions of one-dimensional nonlinear parabolic equations[J].Math.Ann.，1995，303(4)：741-769.

[7]Svirshchevskii S R.Lie-B?cklund symmetries of linear ODEs and generalized separation of variables in nonlinear equations[J].Phys.Lett.A，1995，199(56)：344-348.

[8]Zhdanov R Z.Conditional Lie-B?cklund symmetry and reductions of evolution equations[J].J.Phys.A，1995，28(13)：3841-3850.

[9]Fokas A S，Liu Q M.Nonlinear interaction of traveling waves of nonintegrable equations[J].Phys.Rev. Lett.，1994，72(21)：3293-3296.

[10]Qu C Z，Ji L N.Invariant subspaces and conditional Lie-B?cklund symmetries of inhomogeneous nonlinear diffusion equations[J].Sci.China Math.，2013，56(11)：2187-2203.

[11]Ji L N.Conditional Lie-B?klund symmetries and functionally generalized separable solutions to the generalized porous medium equations with source[J].J.Math.Anal.Appl.，2012，389(2)：979-988.

[12]Ji L N.Conditional Lie-B?cklund symmetries and solutions of inhomogeneous nonlinear diffusion equations[J].Phys.A，2010，389(24)：5655-5661.

[13]Feng W，Ji L N.Conditional Lie-B?cklund symmetries and functional separable solutions of generalized inhomogeneous diffusion equations[J].Phys.A，2013，392(4)：618-627.

[14]姬麗娜，張穎.多孔介質(zhì)方程的廣義條件對稱的精確解[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2011，27(3)：339-342.

Equivalent transformations and higher-dimensional invariant subspaces to the inhomogeneous nonlinear diffusion equations

Dong Yaying
(College of Mathematics，Northwest University，Xi′an710127 China)

In this paper，we firstly obtain the equivalent equations of the inhomogeneous nonlinear diffusion equations by the transformation v=enuand equivalent transformations related to invariant subspace method. Moreover，higher-dimensional invariant subspaces of equivalent equations are derived.Finally，some examples are presented and the generalized functional separable solutions of the inhomogeneous nonlinear diffusion equations can be constructed.

nonlinear diffusion equations，invariant subspace method，equivalent transformations，the generalized functional separable solutions

O175.2

A

1008-5513(2015)01-0018-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.01.003

2014-10-10.

國家自然科學(xué)基金(11371293).

董亞瑩(1988-)，博士生，研究方向：偏微分方程.

2010 MSC:35A22，35A25，35A55