吳星幻，燕鵬飛

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單調(diào)可數(shù)序列中緊空間和半連續(xù)函數(shù)插入

吳星幻，燕鵬飛

（五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東 江門 529020）

引入單調(diào)可數(shù)序列中緊空間的概念，給出了這類空間的函數(shù)單調(diào)插入刻畫.

單調(diào)可數(shù)序列中緊空間；半連續(xù)函數(shù)；收斂序列；單調(diào)插入

函數(shù)插入是一般拓?fù)涞闹匾芯糠较蛑唬溆懻摰慕?jīng)典問題是：滿足的實(shí)值函數(shù)在什么條件下存在連續(xù)函數(shù)，使得成立.稱為一個(gè)插入，一類特殊的插入常被用來刻畫某種拓?fù)湫再|(zhì)，如極不連通空間、正規(guī)空間、正規(guī)且可數(shù)仿緊空間、完全正規(guī)空間等. 近年來，關(guān)于單調(diào)插入和半連續(xù)插入備受關(guān)注. 為敘述方便，先給出與本文有關(guān)的基本概念和記號(hào).

，.

在2000年，Good C[2]對(duì)單調(diào)正規(guī)空間的刻畫引入了單調(diào)插入的形式，證明了拓?fù)淇臻g為單調(diào)正規(guī)空間當(dāng)且僅當(dāng)存在保序映射使得. 在2000年，Good C等[3]證明了空間為單調(diào)可數(shù)仿緊（MCP）的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)上的每個(gè)局部有界的實(shí)值函數(shù)，存在局部有界而且是下半連續(xù)的函數(shù)，使得，且算子為保序的. 在2010年，謝利紅等[4]證明了空間為單調(diào)可數(shù)亞緊（MCM）空間當(dāng)且僅當(dāng)存在一保序映射，使得對(duì)每一，有. 在2012年，王秋利[5]證明了空間為單調(diào)可數(shù)中緊空間當(dāng)且僅當(dāng)存在一保序映射，使得對(duì)每一，有；并得出單調(diào)可數(shù)中緊等價(jià)于空間的結(jié)論.

本文將引入單調(diào)可數(shù)序列中緊空間的概念，并討論它和函數(shù)插入的關(guān)系. 空間上的收斂序列[6]（convergent sequence，cs)意味著含極限點(diǎn)的收斂序列.

定義1[7]對(duì)于拓?fù)淇臻g，稱為可數(shù)序列中緊的，若的任意可數(shù)開覆蓋都有cs有限的開加細(xì).

我們引入一個(gè)新的概念：

下面給出cs-MCM空間，并給出這類空間關(guān)于半連續(xù)單調(diào)插入的刻畫：

另外滿足條件1），2），3）的空間稱為MCM空間，相應(yīng)的算子稱為MCM算子；如果同時(shí)滿足條件4），則稱為cs-MCM空間，相應(yīng)的算子稱為cs-MCM算子. 所以，單調(diào)可數(shù)序列中緊空間與cs-MCM 空間等價(jià).

下面定理給出了這類空間的函數(shù)單調(diào)插入刻畫.

證畢.

[1] YAN Pengfei, YANG Erguang. Semi-stratifiable spaces and the insertion of semicontinuous functions[J]. J Math Anal Appl, 2007, 328(1): 429-437.

[2] GOOD C, STARES I. Monotone insertion of continuous functions [J]. Topology Appl, 2000, 108(1): 91-104.

[3] GOOD C, KNIGHT R, STARES I. Monotone countable paracompactness [J]. Topology Appl, 2000, 101(3): 281-298.

[4] XIE Lihong, YAN Pengfei. Insertion of semi-continuous functions and sequences of sets [J]. Acta Math Hungar, 2010, 126(1-2): 164-180.

[6] BOONE J R. Some characterizations of paracompactness inspaces [J]. Fund Math, 1971, 72(2): 145-153.

[7] BOONE J R. A note on mesocompact and sequentially mesocompact spaces [J]. Pacific J Math, 1973, 44(1): 69-74.

[責(zé)任編輯：熊玉濤]

Monotonically Countably Sequentially Mesocompact Spaces and the Insertion of Semicontinuous Function

WUXing-huan, YANPeng-fei

(School of Mathematics and Computational Science, Wuyi University, Jiangmen 529020, China)

In this paper, the conception of the monotonically countably sequentially mesocompact spaces is introduced, and the characterization of the spaces by the monotonic insertion of semi-continuous functions is given.

monotonically countably sequentially mesocompact spaces; semi-continuous function; convergent sequence; monotone insertion

1006-7302（2015）01-0008-03

O189.11

A

2014-09-17

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10971125）

吳星幻（1986—），男，廣東茂名人，在讀碩士生，研究方向?yàn)橐话阃負(fù)鋵W(xué)；燕鵬飛，教授，博士，碩士生導(dǎo)師，通信作者，研究方向?yàn)橐话阃負(fù)鋵W(xué).