劉德強(qiáng) 丁瑞強(qiáng) 李建平 馮杰

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非線性局部Lyapunov指數(shù)方法在目標(biāo)觀測(cè)中的應(yīng)用初探

劉德強(qiáng)1, 3丁瑞強(qiáng)1李建平2馮杰1, 3

1中國(guó)科學(xué)院大氣物理研究所大氣科學(xué)和地球流體力學(xué)數(shù)值模擬國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100029;2北京師范大學(xué)全球變化與地球系統(tǒng)科學(xué)研究院，北京100875;3中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京100049

本文初步探討了非線性局部Lyapunov指數(shù)方法（NLLE）在目標(biāo)觀測(cè)中的應(yīng)用。首先，在NLLE理論基礎(chǔ)上研究了非線性動(dòng)力系統(tǒng)內(nèi)局部平均誤差相對(duì)增長(zhǎng)（LAGRE）特征，證明了在誤差發(fā)展進(jìn)入隨機(jī)狀態(tài)前，LAGRE與初始誤差大小無(wú)關(guān)而是與初始狀態(tài)有關(guān)；在演化進(jìn)入隨機(jī)狀態(tài)后，LAGRE的飽和值由初始誤差大小決定這一特征。同時(shí)利用三個(gè)變量的常微分方程模型Lorenz63驗(yàn)證了這一結(jié)論。其次，從非線性局部誤差增長(zhǎng)理論出發(fā)，在局部動(dòng)力演化相似方法（LDA）的基礎(chǔ)上提出向前局部動(dòng)力演化相似方法（FLDA）的概念，并通過(guò)兩個(gè)混沌個(gè)例來(lái)說(shuō)明LDA和FLDA方法能夠有效的利用歷史資料還原任意初始狀態(tài)的LAGRE。這些方法的提出為NLLE理論應(yīng)用于觀測(cè)資料研究目標(biāo)觀測(cè)問(wèn)題提供了依據(jù)。

非線性 Lyapunov指數(shù)（NLLE）局部動(dòng)力演化相似方法（LDA）向前局部動(dòng)力演化相似方法（FLDA）目標(biāo)觀測(cè)

1 引言

自從上世紀(jì)1960年代，Thompson（1957）和Lorenz（1963a，1963b）等人最早提出了確定性系統(tǒng)存在可預(yù)報(bào)性的問(wèn)題，人們圍繞該問(wèn)題展開了大量的研究，對(duì)混沌系統(tǒng)的可預(yù)報(bào)性理論的認(rèn)識(shí)逐漸深入。其中，研究誤差的增長(zhǎng)和傳播規(guī)律問(wèn)題成為可預(yù)報(bào)性理論的重要內(nèi)容（穆穆等，2002；李建平等, 2006；Li and Wang，2008）。一些工作先后從模型以及非線性動(dòng)力學(xué)的角度來(lái)定量考察誤差的增長(zhǎng)。Thompson（1957）、Mintz（1964）、Leith（1965）等人先后嘗試在模式內(nèi)考察初始無(wú)限小誤差隨時(shí)間的倍增來(lái)衡量誤差的增長(zhǎng)速率，但是后來(lái)研究表明，這種做法相對(duì)依賴于數(shù)值模型本身（穆穆等,2002；Li et al., 2000；封國(guó)林等,2001；Gao et al., 2003）。Lorenz（1963b）提出在相空間里通過(guò)Lyapunov指數(shù)度量初始相鄰相軌跡之間長(zhǎng)期平均的指數(shù)發(fā)散率，表征初始無(wú)限小誤差的增長(zhǎng)率。經(jīng)典Lyapunov指數(shù)雖然可以有效刻畫系統(tǒng)的全局誤差增長(zhǎng)特征，但是在混沌吸引子內(nèi)部，初始誤差的發(fā)展并非處處相同（Legras and Ghil，1985；Nese, 1989），有時(shí)我們更加關(guān)心相空間內(nèi)局部的誤差增長(zhǎng)特征（李建平等，2006；丁瑞強(qiáng)和李建平，2007）。顯然，經(jīng)典Lyapunov指數(shù)理論在度量混沌吸引子局部誤差的增長(zhǎng)特征上具有一定的缺陷。

為了考察局部誤差增長(zhǎng)特征，Nese（1989）、Yoden and Nomura（1993）、Ziehmann et al.（2000）等提出了有限時(shí)間Lyapunov指數(shù)，用來(lái)衡量有限時(shí)間內(nèi)初始誤差的平均增長(zhǎng)率。然而這些工作都是建立在線性理論框架的基礎(chǔ)上，而隨著誤差的增長(zhǎng)，系統(tǒng)會(huì)進(jìn)入非線性階段，切線性近似不再成立，因此需要發(fā)展非線性局部的誤差增長(zhǎng)理論（李建平等，2006；陳寶花等，2006）。李建平和丁瑞強(qiáng)等人提出了非線性局部Lyapunov指數(shù)（NLLE）（李建平等，2006；丁瑞強(qiáng)，2006；Ding and Li，2007；丁瑞強(qiáng)和李建平，2007；李建平和丁瑞強(qiáng)，2009；Li and Ding，2011），利用該指數(shù)，他們將局部動(dòng)力演化相似方法（LDA）應(yīng)用于觀測(cè)資料，結(jié)合大氣的動(dòng)力學(xué)特征，分別研究了大氣中不同變量場(chǎng)天氣可預(yù)報(bào)性和氣候可預(yù)報(bào)性的時(shí)空分布，天氣可預(yù)報(bào)性的年代際變化，以及海溫可預(yù)報(bào)性的時(shí)空分布等問(wèn)題（Ding et al., 2008b；丁瑞強(qiáng)和李建平，2009a，2009b；Ding et al., 2010，2011；李建平和丁瑞強(qiáng)，2008；Li and Ding，2011，2013），這對(duì)于了解吸引子結(jié)構(gòu)特征和度量混沌系統(tǒng)可預(yù)報(bào)性具有重要的意義。此外，NLLE方法還被用來(lái)研究初始狀態(tài)的局部可預(yù)報(bào)期限問(wèn)題（Ding et al., 2008a）。對(duì)于某固定初始狀態(tài)的數(shù)值預(yù)報(bào)，其預(yù)報(bào)不確定性主要來(lái)源于初始分析誤差和模式誤差（Bergot et al., 1999；段晚鎖等，2013）。在模式誤差一定的條件下，為了減少初始分析誤差對(duì)于預(yù)報(bào)質(zhì)量的影響，目標(biāo)觀測(cè)是有效的手段之一。目標(biāo)觀測(cè)是一種改善數(shù)值預(yù)報(bào)質(zhì)量的技術(shù)和方法，是在確定對(duì)預(yù)報(bào)結(jié)果具有潛在最大影響的區(qū)域基礎(chǔ)上，通過(guò)移動(dòng)觀測(cè)手段增加觀測(cè)，并結(jié)合同化方法減小數(shù)值模式中的初始分析誤差，從而達(dá)到減小預(yù)報(bào)不確定性、延長(zhǎng)預(yù)報(bào)時(shí)效的目的（Langland，2005；Morss and Emanuel，2001；Zhou et al., 2012；Majumdar et al., 2011）。

目標(biāo)觀測(cè)的核心問(wèn)題是如何確定敏感區(qū)的位置，敏感區(qū)是指初始分析誤差較大或者增長(zhǎng)很快或者對(duì)預(yù)報(bào)質(zhì)量影響最大的區(qū)域（Langland，2005）。傳統(tǒng)上，研究目標(biāo)觀測(cè)問(wèn)題的方法大多依賴于伴隨模式（Buizza and Montani，1999；Bergot and Doerenbecher，2002；Baker and Daley，2000；Kim et al., 2004），導(dǎo)致實(shí)際應(yīng)用中計(jì)算量巨大，同時(shí)這些方法多基于線性誤差增長(zhǎng)理論（Bishop and Toth，1999；Buizza and Montani，1999；Bergot and Doerenbecher，2002），而對(duì)于一些初始誤差較大或者誤差增長(zhǎng)較快的個(gè)例來(lái)講，線性近似是不成立的（穆穆等，2007）。為了克服線性假設(shè)的不足，穆穆等（Mu et al., 2006，2009）提出了條件非線性最優(yōu)擾動(dòng)（Conditional Nonlinear Optimal Perturbation，CNOP）方法研究天氣和氣候事件的可預(yù)報(bào)性，并成功將其應(yīng)用于臺(tái)風(fēng)、ENSO等天氣和氣候事件的目標(biāo)觀測(cè)問(wèn)題的研究（Riviere et al., 2008；Scheltinga and Dijkstra，2008；王斌和譚曉偉，2009；Tan et al., 2010；Wang and Tan，2010；Yu et al., 2012；Mu et al., 2014；Qin et al., 2013；Zhou and Mu，2011）。這些工作的提出對(duì)于目標(biāo)觀測(cè)問(wèn)題的研究有著重要的理論與實(shí)際應(yīng)用意義。此外，傳統(tǒng)方法多依賴于數(shù)值模型，均假設(shè)模型是完美的（Buizza and Montani，1999；Bishop and Toth，1999；Bergot and Doerenbecher, 2002），而模型誤差是客觀存在的，利用這些方法確定的敏感區(qū)不可避免的會(huì)受到模式誤差的影響。因此用數(shù)值模式確定敏感區(qū)，須提前確定模式的模擬效果好，這是用數(shù)值模式確定敏感區(qū)的不方便之處，而NLLE可以直接用觀測(cè)資料確定敏感區(qū)，避免了這一步。NLLE方法是研究誤差非線性增長(zhǎng)的重要理論，以往多被用于確定不同大小初始誤差的可預(yù)報(bào)期限，其研究結(jié)果表明NLLE方法相對(duì)線性誤差增長(zhǎng)理論具有明顯的優(yōu)勢(shì)（丁瑞強(qiáng)和李建平，2007；Li and Ding，2011），但是將該方法應(yīng)用于研究目標(biāo)觀測(cè)問(wèn)題的工作還未展開，所以驗(yàn)證NLLE方法能否被用來(lái)研究目標(biāo)觀測(cè)問(wèn)題是開展該項(xiàng)工作的首要問(wèn)題。

本文在前人工作的基礎(chǔ)上，應(yīng)用NLLE方法研究了單個(gè)初始狀態(tài)局部平均的誤差增長(zhǎng)規(guī)律問(wèn)題。首先，本文從理論上證明了在誤差發(fā)展進(jìn)入隨機(jī)狀態(tài)前，局部平均誤差相對(duì)增長(zhǎng)（LAGRE）與初始誤差大小無(wú)關(guān)而是與初始狀態(tài)有關(guān)；在誤差演化進(jìn)入隨機(jī)狀態(tài)后，LAGRE的飽和值由初始誤差大小決定。并在Lorenz63模型（Lorenz，1963a）中驗(yàn)證了這一結(jié)論。其次，在局部動(dòng)力演化相似方法（LDA）（丁瑞強(qiáng)和李建平，2009a；Li and Ding，2011）的基礎(chǔ)上提出向前動(dòng)力演化相似方法（FLDA）的概念，通過(guò)兩個(gè)簡(jiǎn)單的混沌模型來(lái)說(shuō)明LDA和 FLDA方法能夠有效的利用歷史資料還原任意初始狀態(tài)的誤差增長(zhǎng)率，為NLLE方法研究目標(biāo)觀測(cè)問(wèn)題提供了依據(jù)，而在復(fù)雜模型中的驗(yàn)證將在下一步的工作中給出。

2 非線性局部Lyapunov指數(shù)方法

李建平和丁瑞強(qiáng)等（李建平等，2006；丁瑞 強(qiáng)，2006；Ding and Li，2007；丁瑞強(qiáng)和李建平，2007；Li and Wang，2008；Li and Ding，2011）提出了NLLE理論和方法。對(duì)于一個(gè)維非線性動(dòng)力系統(tǒng)，對(duì)其誤差演化方程不作任何近似，保留所有非線性項(xiàng)，誤差演化方程的解可以從初始時(shí)刻到演化時(shí)刻進(jìn)行數(shù)值積分，得到

Li and Ding（2011）將NLLE方法應(yīng)用于觀測(cè)資料來(lái)定量研究系統(tǒng)的可預(yù)報(bào)性期限問(wèn)題，提出了LDA方法確定單個(gè)變量的初始狀態(tài)在歷史資料里的相似狀態(tài)。對(duì)于時(shí)間序列里所有的狀態(tài)（和的間隔一定要足夠長(zhǎng)，這樣可以避免持續(xù)性對(duì)相似點(diǎn)位置的影響），和之間的初始距離表示為

3 非線性局部平均誤差增長(zhǎng)特征

為了討論混沌系統(tǒng)里任意固定的初始狀態(tài)(0)的局部平均誤差相對(duì)增長(zhǎng)情況，在其周圍施加一個(gè)小的初始誤差域。該初始誤差域可以被假想為相空間里以(0)為中心的一個(gè)圓球，圓球內(nèi)部均勻分布著距離(0)大小不等、方向不同的初始誤差（圖1）。

圖1 估計(jì)任意初始狀態(tài)x0的LAGRE（局部平均誤差相對(duì)增長(zhǎng)）方法示意圖。圖中的圓球是以x0為中心、以初始誤差域r為半徑的球，x0（ti）是x0在第i時(shí)刻的演化，x01（ti）和x02（ti）分別是x0（ti）的相似狀態(tài)，L(ti) 和L'(ti)是相似狀態(tài)和參考狀態(tài)在第i時(shí)刻時(shí)的距離。計(jì)算參考軌跡和所有相似軌跡之間平均的NLLE，可以得到隨時(shí)間變化的LAGRE

定理（丁瑞強(qiáng)和李建平，2007；Ding and Li，2007）：假設(shè)獨(dú)立的隨機(jī)變量1，2，…，X具有如下的概率分布：

其中，和是任意實(shí)數(shù)（＜），()為定義在[,]區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。令

那么，

取樣本平均

平均誤差相對(duì)增長(zhǎng)的對(duì)數(shù)為

其中，2是初始時(shí)刻誤差的幾何平均，代表初始誤差域的大小，為一常數(shù)；1是0+時(shí)刻絕對(duì)誤差的幾何平均，代表0+時(shí)刻誤差域的大小，隨時(shí)間變化。

在吸引子域和誤差域的限制下，(0+)的概率分布隨變化，抽象到相空間內(nèi)，吸引子域包含著初始誤差域，初始誤差域越小，則其達(dá)到覆蓋吸引子域的時(shí)間越久，對(duì)應(yīng)的可預(yù)報(bào)期限越長(zhǎng)。反之，可預(yù)報(bào)期限越短。在誤差演化時(shí)間時(shí)，只與初始狀態(tài)(0)和演化時(shí)間有關(guān)，當(dāng)和固定時(shí)，的值是固定的，對(duì)于一個(gè)固定的初始狀態(tài)疊加不同大小的初始誤差域，1和2的比值不依賴于初始誤差大小，也即LAGRE大小與初始誤差無(wú)關(guān)的；而當(dāng)誤差演化進(jìn)入隨機(jī)狀態(tài)后，初始誤差域隨時(shí)間逐漸增大最終覆蓋整個(gè)吸引子域，此時(shí)1值近似飽和代表整個(gè)吸引子域的大小，圍繞一定值震蕩。1和2的比值隨著1達(dá)到飽和而不再變化，近似為一個(gè)常數(shù)，且該常數(shù)依賴于初始誤差大小，初始誤差域越小則LAGRE的飽和值越大。在維的混沌系統(tǒng)里，不同變量的可預(yù)報(bào)性不同。李建平和丁瑞強(qiáng)（2009）提出了單個(gè)變量的NLLE理論，能夠有效的計(jì)算不同變量的可預(yù)報(bào)期限。不同變量的可預(yù)報(bào)性不一致，其本質(zhì)是不同變量的誤差增長(zhǎng)快慢不同造成的。同樣，對(duì)于某單個(gè)變量的初始狀態(tài)施加一個(gè)小的誤差域，在誤差演化任意時(shí)刻，LAGRE仍依賴于c1和c2的比值，其證明過(guò)程和維系統(tǒng)一致，這里從略。

為了驗(yàn)證上述理論，利用Lorenz63模型（Lorenz，1963a）設(shè)計(jì)如下兩個(gè)試驗(yàn)：（1）試驗(yàn)1，固定初始狀態(tài)，分別改變疊加在該初始狀態(tài)上的初始誤差域的大??；（2）試驗(yàn)2，固定初始誤差域，任選三個(gè)不同的初始狀態(tài)。模型中的參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)與文獻(xiàn)（Lorenz，1963a）中相同，積分步長(zhǎng)為0.01。試驗(yàn)1的結(jié)果如圖2所示，對(duì)于任意選取的一個(gè)初始狀態(tài)，分別疊加不同大小的初始誤差域，我們發(fā)現(xiàn)在誤差演化進(jìn)入隨機(jī)狀態(tài)之前，和的對(duì)數(shù)是一致的，但是在誤差演化進(jìn)入隨機(jī)狀態(tài)后其值達(dá)到飽和，且飽和值大小不同，依賴于初始誤差大小。在誤差發(fā)展的線性階段，LAGRE的大小顯然只依賴于1和2的比值，與初始誤差域大小無(wú)關(guān)。圖3是試驗(yàn)2的結(jié)果，描述了任意三個(gè)不同的初始狀態(tài)在附加同一初始誤差域時(shí)，和的對(duì)數(shù)隨時(shí)間的演化，發(fā)現(xiàn)誤差增長(zhǎng)因?yàn)槌跏紶顟B(tài)不同而存在著顯著差異，但和對(duì)數(shù)的飽和值相同，依賴于初始誤差大小。綜合試驗(yàn)1、2的結(jié)果，驗(yàn)證了在誤差發(fā)展進(jìn)入隨機(jī)狀態(tài)前，LAGRE大小只與初始狀態(tài)有關(guān)，與初始誤差域大小無(wú)關(guān)；在誤差發(fā)展進(jìn)入隨機(jī)狀態(tài)后，LAGRE的飽和值與初始誤差大小有關(guān)這一結(jié)論。

圖2 在Lorenz63系統(tǒng)里任選一個(gè)初始狀態(tài)x01，不同初始誤差域條件下，平均NLLE（）以及局部平均誤差相對(duì)增長(zhǎng)（）的自然對(duì)數(shù)隨時(shí)間（無(wú)量綱）的變化。從上到下曲線對(duì)應(yīng)的初始誤差域分別為10?8、10?7、10?6、10?5、10?4、10?3

圖3 在Lorenz63系統(tǒng)里任選三個(gè)不同的初始狀態(tài)x01、x02、x03，在相同的初始誤差域條件下，平均NLLE（）以及局部平均誤差相對(duì)增長(zhǎng)（）的自然對(duì)數(shù)隨時(shí)間（無(wú)量綱）的變化

4 NLLE在目標(biāo)觀測(cè)中應(yīng)用的可行性分析

在維相空間中，不同位置上的初始狀態(tài)對(duì)于初始誤差的敏感性存在差異，具體表現(xiàn)在對(duì)于相同大小的初始誤差，不同初始狀態(tài)的誤差相對(duì)增長(zhǎng)率是不同的，根據(jù)誤差相對(duì)增長(zhǎng)率的大小可以將相空間內(nèi)存在的初始狀態(tài)分為敏感的和非敏感的兩類。對(duì)于敏感的初始狀態(tài)，即使對(duì)其疊加的初始誤差是無(wú)窮小的，其誤差也能達(dá)到快速增長(zhǎng)，而對(duì)于非敏感的初始狀態(tài)，即使對(duì)其疊加較大的初始誤差，其誤差相對(duì)增長(zhǎng)率仍然很小。Lorenz（1965）在利用28個(gè)變量的簡(jiǎn)單譜模式研究可預(yù)報(bào)期限隨時(shí)間的變化時(shí)曾發(fā)現(xiàn)小擾動(dòng)的增長(zhǎng)在很大程度上依賴于參考軌跡在相空間中的位置，其本質(zhì)上就是初始狀態(tài)的敏感性存在差異而導(dǎo)致的。為了確定敏感狀態(tài)在相空間中的位置，可以計(jì)算所有初始狀態(tài)的LAGRE，大值對(duì)應(yīng)著敏感的初始狀態(tài)。

對(duì)于目標(biāo)觀測(cè)研究中所要尋找的敏感區(qū)，實(shí)際上就是初始場(chǎng)里分析誤差增長(zhǎng)較快的敏感初始狀態(tài)所在的區(qū)域，所以只需計(jì)算出目標(biāo)時(shí)刻LAGRE的空間分布，大值區(qū)即是敏感區(qū)。從前文可知，NLLE可以被有效的用于觀測(cè)資料并計(jì)算出目標(biāo)狀態(tài)的LAGRE，但是其是否等于該目標(biāo)狀態(tài)理論上的LAGRE仍需要驗(yàn)證，而這是關(guān)系到NLLE方法能否被用于目標(biāo)觀測(cè)研究的關(guān)鍵問(wèn)題，因此考慮使用兩個(gè)簡(jiǎn)單的理論模型，Logistic（丁瑞強(qiáng)和李建平，2007）和Lorenz63進(jìn)行驗(yàn)證。

當(dāng)NLLE方法被應(yīng)用于觀測(cè)資料研究目標(biāo)觀測(cè)問(wèn)題時(shí)，根據(jù)目標(biāo)狀態(tài)之后的資料是否已知將問(wèn)題分解為兩類：一類是目標(biāo)狀態(tài)（t）之后的時(shí)間序列已知時(shí)，可以應(yīng)用局部動(dòng)力演化相似方法去尋找目標(biāo)狀態(tài)（t）的相似狀態(tài)（t），進(jìn)而計(jì)算出目標(biāo)時(shí)刻（t）的LAGRE（圖4）。另一類則是目標(biāo)狀態(tài)（t）之后的時(shí)間序列未知時(shí)，通過(guò)尋找目標(biāo)時(shí)刻（t）前的一小段序列（short interval）的相似軌跡，確定相似狀態(tài)的位置，計(jì)算t時(shí)刻的誤差增長(zhǎng)率代替目標(biāo)時(shí)刻0的LAGRE。對(duì)于前一種計(jì)算目標(biāo)狀態(tài)LAGRE的方法，我們稱之為局部動(dòng)力演化相似LDA方法，該方法要求混沌吸引子內(nèi)部的兩個(gè)相似狀態(tài)之間，不僅初始距離要小，而且由這兩個(gè)狀態(tài)延伸出的相軌跡之間隨時(shí)間的演化誤差也要小。而對(duì)于后一種方法，由于在實(shí)際業(yè)務(wù)中，當(dāng)前時(shí)刻之后的時(shí)間序列不可知，所以考慮尋找當(dāng)前時(shí)刻之前一小段時(shí)間序列在歷史資料里的相似軌跡，進(jìn)而判定當(dāng)前預(yù)報(bào)時(shí)刻的相似狀態(tài)，并將其相似狀態(tài)的LAGRE代替其自身的LAGRE，我們稱這種方法為向前動(dòng)力演化相似方法（FLDA）（圖5）。

圖4 基于局部動(dòng)力演化相似方法（LDA）計(jì)算目標(biāo)時(shí)刻x0的LAGRE的方法示意圖。x1是x0的相似狀態(tài)，L（t0）是兩個(gè)狀態(tài)之間的距離。此種情形下，tT時(shí)刻之后的時(shí)間序列已知

圖5 基于向前動(dòng)力演化相似方法（FLDA）計(jì)算目標(biāo)時(shí)刻tT時(shí)的LAGRE方法示意圖。此種情形下，目標(biāo)狀態(tài)x0之后的時(shí)間序列未知，x1是tT之前一小段時(shí)間tT?si時(shí)刻的狀態(tài)，通過(guò)局部動(dòng)力演化相似方法確定x1在歷史資料里tA?si時(shí)刻的相似狀態(tài)x'1，進(jìn)而確定x0在相似時(shí)刻tA時(shí)的相似狀態(tài)x'0（tT和tT?si間隔很?。?jì)算tA時(shí)刻的LAGRE代替tT時(shí)刻的LAGRE

下面分別通過(guò)Logistic和Lorenz63兩個(gè)理論模型來(lái)驗(yàn)證LDA和FLDA利用觀測(cè)資料計(jì)算所得到的LAGRE與理論值保持一致，結(jié)果分別見圖6、圖7。

圖6 在Logistic系統(tǒng)里任選一個(gè)初始狀態(tài)，平均NLLE以及誤差平均相對(duì)增長(zhǎng)的自然對(duì)數(shù)隨的變化。紅色、藍(lán)色和綠色曲線分別代表FLDA、LDA和理論的結(jié)果

Fig.6 For a certain initial state in the Logistic model, the mean NLLE () and the logarithm of LAGRE () against time steps (). The black, green and red curves represent the LAGRE calculated by FLDA, LDA and theoretical growth, respectively

圖7 同圖6，但為L(zhǎng)orenz63模型中的結(jié)果

在Logistic模型里，積分步長(zhǎng)為1，分別計(jì)算三種情況下對(duì)應(yīng)的平均非線性局地Lyapunov指數(shù)（）和平均相對(duì)誤差增長(zhǎng)的對(duì)數(shù)（）隨時(shí)間的變化。比較LDA和FLDA的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，用FLDA計(jì)算目標(biāo)時(shí)刻的NLLE和LAGRE與用LDA算得目標(biāo)時(shí)刻的NLLE和LAGRE在誤差演化進(jìn)入隨機(jī)狀態(tài)之前擬合較好，與初始誤差大小無(wú)關(guān)，同時(shí)兩者均和理論上的NLLE和LAGRE一致，說(shuō)明LDA和FLDA方法能夠有效的確定目標(biāo)狀態(tài)的NLLE和LAGRE，這使得在不借助模型的情況下，利用觀測(cè)資料來(lái)研究目標(biāo)觀測(cè)問(wèn)題成為可能。在Lorenz63模型里，積分步長(zhǎng)為0.01，同樣分別計(jì)算了三者對(duì)應(yīng)的和隨時(shí)間的變化，得到了和Logistic模型里類似的結(jié)論。

5 總結(jié)和討論

李建平和丁瑞強(qiáng)等人在線性誤差增長(zhǎng)理論的基礎(chǔ)上，提出了NLLE方法（李建平等，2006；丁瑞強(qiáng)，2006；Ding and Li，2007；丁瑞強(qiáng)和李建平，2007；Li and Wang，2008；Li and Ding，2011），從整體上對(duì)非線性系統(tǒng)的動(dòng)力特性進(jìn)行研究，這對(duì)于可預(yù)報(bào)性問(wèn)題的研究具有重要意義，但是對(duì)于局部誤差增長(zhǎng)特征并沒(méi)有給出具體的研究。本文在其工作基礎(chǔ)上，應(yīng)用NLLE方法研究了單個(gè)初始狀態(tài)局部平均的誤差增長(zhǎng)規(guī)律問(wèn)題。首先，從理論上證明了在誤差發(fā)展進(jìn)入隨機(jī)狀態(tài)前，LAGRE只與初始狀態(tài)有關(guān)；在演化進(jìn)入隨機(jī)狀態(tài)后，LAGRE的飽和值與初始誤差大小相關(guān)。并利用Lorenz63模型驗(yàn)證了這一結(jié)論。其次，在LDA方法的基礎(chǔ)上提出了FLDA的概念，通過(guò)兩個(gè)混沌個(gè)例來(lái)說(shuō)明 LDA和FLDA方法能夠有效的利用歷史資料還原任意初始狀態(tài)的局部平均的誤差相對(duì)增長(zhǎng)率。

非線性誤差增長(zhǎng)規(guī)律對(duì)于研究目標(biāo)觀測(cè)具有重要的意義。應(yīng)用NLLE方法容易得到誤差增長(zhǎng)率的空間分布，進(jìn)而獲得敏感區(qū)的空間分布。由于NLLE方法是基于觀測(cè)資料的，所以回避了模型誤差的影響。本文僅利用簡(jiǎn)單模型探討了NLLE方法在目標(biāo)觀測(cè)中應(yīng)用的可行性，未來(lái)將基于復(fù)雜模型以及實(shí)際觀測(cè)資料考察NLLE方法研究目標(biāo)觀測(cè)問(wèn)題的可行性與實(shí)際效果。

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Preliminary Application of the Nonlinear Local Lyapunov Exponent to Target Observation

LIU Deqiang1, 3, DING Ruiqiang1, LI Jianping2, and FENG Jie1, 3

1,,,100029;2,,100875;3,100049

This study investigates the preliminary application of the nonlinear local Lyapunov exponent (NLLE) to target observation. Based on NLLE theory, we analyze the essential feature of the local average relative growth of initial error (LAGRE) in nonlinear dynamical systems. Our results prove that the LAGRE is determined by the initial state before it evolves into chaos, whereas afterwards the development of error become unpredictable. The saturation value of LAGRE is determined by the magnitude of the initial error. Lorenz63 model, a set of ordinary differential equations contain three variables, is used to confirm these conclusions. We then develop a forward local dynamic evolution analog method (FLDA) from the local dynamic evolution analog method (LDA). Two chaotic cases are subsequently used as examples to illustrate the feasibility of using LDA and FLDA to calculate the LAGRE of a random initial state from historical records. These methods provide a scientific basis, via NLLE theory, for the study of target observation using observational datasets.

Nonlinear local Lyapunov exponent, Local dynamic evolution analog method, Forward local dynamic evolution analog method, Target observation

1006-9895(2015)02-0329-09

P456

A

10.3878/j.issn.1006-9895.1405.13337

2013-12-20；網(wǎng)絡(luò)預(yù)出版日期 2014-05-27

國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃（973計(jì)劃）項(xiàng)目2012CB955200，國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目41175069、41375110

劉德強(qiáng)，男，1987年出生，博士研究生，主要從事可預(yù)報(bào)性研究。E-mail: deqiang_1987@163.com

李建平，E-mail: ljp@bnu.edu.cn