沈廷鰲，涂亞慶，張海濤，李明

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基于矩形雙窗的滑動DTFT高精度相位差測量算法

沈廷鰲，涂亞慶，張海濤，李明

(后勤工程學(xué)院 信息工程系，重慶，401311)

針對機(jī)械振動中頻率很低或接近奈奎斯特頻率的信號，采用傳統(tǒng)的相位差測量方法存在較大誤差，為更好地抑制頻譜泄露的影響，提高相位差測量精度，在傳統(tǒng)DTFT算法的基礎(chǔ)上，采用矩形雙窗、計及負(fù)頻率影響以及滑動遞推，提出一種基于矩形雙窗的滑動DTFT高精度相位差測量算法，并闡述該算法原理及其實(shí)現(xiàn)步驟。研究結(jié)果表明：該算法計算量較小，實(shí)現(xiàn)簡單，應(yīng)用于相位差測量，有效地減小了頻譜泄露引起的測量誤差，能夠獲得比傳統(tǒng)加窗DTFT算法更高的相位差計算精度。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了本文算法的可行性和有效性。

相位差；DTFT；余弦窗；頻譜泄露；負(fù)頻率

振動信號的相位差測量在信號分析、工業(yè)測量、故障診斷、電力系統(tǒng)及通信等領(lǐng)域都有著廣泛應(yīng)用。例如，在高精度流量測量領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用的科氏流量計，就是通過測量兩路同頻振動信號之間的相位差來測量流體質(zhì)量流量的[1]。由于2路振動信號的相位差一般小于4°，且相位差的精度直接影響流體質(zhì)量測量精度，因此，實(shí)現(xiàn)對相位差的高精度測量顯得尤其重要。目前，測量相位差的方法較多，其中數(shù)字相關(guān)法[2?3]和頻譜分析法[4?7]是應(yīng)用和研究較多的2種方法。數(shù)字相關(guān)法具有較強(qiáng)的噪聲抑制能力，但難以消除諧波干擾，且要求對周期信號實(shí)行嚴(yán)格整周期采樣。頻譜分析法是利用傅里葉變換將時域信號變換到頻域信號再進(jìn)行處理，算法要求同步采樣。在非同步采樣的條件下，為提高測量精度，通常采用加窗的辦法來減小頻譜泄露的影響。然而，當(dāng)信號頻率很低或者接近奈奎斯特頻率(即采樣頻率的一半)時，上述方法的測量精度均不太高，且此類信號在儀器儀表、振動工程、狀態(tài)檢測與故障診斷等領(lǐng)域均大量存在。例如：當(dāng)待測信號頻率較低、采樣頻率遠(yuǎn)高于待測頻率時，待測頻率在頻譜中處于相對低頻的位置[8?9]。在故障診斷領(lǐng)域，受硬件條件及成本等因素的影響，當(dāng)現(xiàn)有采樣裝置的采樣頻率限定為1 024 Hz時，旋轉(zhuǎn)機(jī)械轉(zhuǎn)子系統(tǒng)松動故障產(chǎn)生的10倍頻間諧分量為500 Hz(信號基頻為50 Hz，10倍頻間諧分量為10×50 Hz=500 Hz)，信號頻率就接近奈奎斯特頻率[10?11]。對此類信號進(jìn)行分析，除了頻譜泄露和柵欄效應(yīng)外，負(fù)頻率成分的干涉也是影響其精度的重要原因。如何減小頻譜泄露和負(fù)頻率成分的影響，已引起很多學(xué)者們的關(guān)注，但測量精度有待進(jìn)一步提高，計算復(fù)雜度有待進(jìn)一步降低。為此，本文作者在傳統(tǒng)DTFT算法的基礎(chǔ)上，采用矩形雙窗、計及負(fù)頻率影響以及滑動遞推的思想，提出一種基于矩形雙窗的滑動DTFT相位差測量算法，闡述算法原理及實(shí)現(xiàn)步驟，并與傳統(tǒng)加窗DTFT(discrete time Fourier transform)算法的測量誤差進(jìn)行了仿真比較分析。

1 算法原理及實(shí)現(xiàn)步驟

1.1 矩形雙窗

數(shù)字化測量相位差，觀測信號的時間總是有限的，需要對原有長序列進(jìn)行1次截斷。截斷就會造成頻譜泄露，進(jìn)而產(chǎn)生測量誤差。加窗函數(shù)就是對被分析信號在不同時刻加不同權(quán)值，以盡可能地減小截斷所造成的影響。

長度為的矩形窗時、頻域表達(dá)式分別為

通過將2個長度為的矩形窗進(jìn)行卷積運(yùn)算，得到1個長度為2?1的新序列，在新序列的首部或尾部加上1個0，即可得到長度為2的矩形雙窗[12]。本文在首部加0，并令=2，可得矩形雙窗的時域和頻域表達(dá)式分別為：

為便于比較，給出相同長度=32的矩形雙窗與矩形窗的頻域圖，如圖1所示。從圖1可以看出：矩形雙窗具有更快的旁瓣衰減速率，采用該窗對信號進(jìn)行加權(quán)處理，可有效抑制頻譜泄露的影響。圖2和圖3所示分別為單一頻率正弦信號加矩形窗和加矩形雙窗后得到的幅度頻譜。從圖2與圖3可以看出：當(dāng)信號頻率較低或接近Nyquist頻率時，旁瓣干涉較大，在進(jìn)行頻譜分析時，必須計及負(fù)頻率成分的影響；在相同條件下，采用加矩形雙窗所取得的效果比加矩形窗的效果好。

1—矩形窗；2—矩形雙窗

ω：(a) 0.4π；(b) 0.1π；(c) 0.9π

ω：(a) 0.4π；(b) 0.1π；(c) 0.9π

此外，參照矩形雙窗的構(gòu)造過程，采用窗Hanning，Blackman和Blackman-Harris，也可構(gòu)造得到組合雙窗DHanning，DBlackman和 DBlackman- Harris。通過仿真研究發(fā)現(xiàn)，主瓣的寬度隨著余弦窗階數(shù)的增加而增大，頻譜的分辨率隨著余弦窗的階數(shù)的增加而降低，所以，一般選取余弦窗的階數(shù)不宜過大。本文經(jīng)綜合考慮，選擇矩形雙窗進(jìn)行研究。

1.2 加窗的DTFT算法

傳統(tǒng)的DTFT法忽略了頻譜中的負(fù)頻率成分，影響了相位差的計算精度。本文計及負(fù)頻率的影響，提出一種加矩形雙窗的滑動DTFT相位差測量算法，以用于振動信號相位差的高精度測量。算法原理如下。

設(shè)2路同頻率的實(shí)正弦信號為

式中：=0，1，…，?1；1和2為信號的幅度；1和2為信號的初相。設(shè)為的估計值，用長度為的矩形雙窗對信號進(jìn)行加權(quán)截斷，得到加矩形雙窗信號在處的DTFT為

需要說明的是：根據(jù)頻域卷積定理，時域相乘對應(yīng)于頻域卷積，因此，也可理解為

進(jìn)而求得

在一般情況下，當(dāng)信噪比不是特別低時，采用陷波器或離散頻譜校正的方法所求得信號的頻率值與真實(shí)值很接近，可近似認(rèn)為，，代入式(9)可得

式中：

1.3 滑動DTFT遞推算法

對于觀測信號()，設(shè)時刻開始采樣得到個采樣數(shù)據(jù)()，(+1)，…，(+?1)，這個數(shù)據(jù)可理解為采用寬度為的矩形窗對信號進(jìn)行截取所得到的，則該有限長序列的DTFT為

在+1時刻，得到新采樣點(diǎn)(+)，剔除(),則由個采樣數(shù)據(jù)(+1)，(+2)，…，(+?1)，(+)組成的新的采樣序列在處的DTFT為

式(13)即為滑動DTFT遞推公式[13]?？梢姡合噜?個矩形窗存在遞推關(guān)系，每采入1點(diǎn)新的數(shù)據(jù)后，只需進(jìn)行2次復(fù)數(shù)加法和2次復(fù)數(shù)乘法，消除了冗余計算，且不存在疊加溢出的問題，大大降低了計算量，并能反映實(shí)際信號頻率變化的特性。

1.4 算法實(shí)現(xiàn)步驟

歸納起來，本文所提的基于矩形雙窗的滑動DTFT相位差測量算法的實(shí)現(xiàn)步驟如下：

2) 在第1個矩形窗內(nèi)的采樣序列進(jìn)行常規(guī)DTFT運(yùn)算。

5) 利用滑動DTFT遞推式(13)，求出2路信號在任意指定頻率處的DTFT。

6) 重復(fù)步驟3)和4)，從而可求得2路信號在任意時刻的相位差。

需要指出的是：基于矩形雙窗的滑動DTFT相位差計算公式的推導(dǎo)過程中，由于未進(jìn)行任何近似和省略，因此，在無噪聲背景下，當(dāng)已知時，通過式(10)求得的相位差在理論上誤差為0°；當(dāng)未知時，的估計值越準(zhǔn)確，則相位差的計算精度越高。同時，在獲知的情況下，通過式(8)還能準(zhǔn)確求解出信號的初相。此外，本文算法采用滑動遞推的思想，避免了冗余計算，減小了計算量，提高了算法的實(shí)時性。

2 實(shí)驗(yàn)分析

為驗(yàn)證本文所提出的方法的有效性，采用單一頻率實(shí)正弦信號，對本文方法(加矩形雙窗)和DTFT法，分別在無噪聲、有噪聲和采樣點(diǎn)數(shù)變化的情況下進(jìn)行仿真驗(yàn)證。仿真中，采樣點(diǎn)數(shù)取1 024點(diǎn)，采樣頻率為1 kHz，頻率分辨率為0.976 6 Hz，2路信號的相位差為1.8°。

2.1 噪聲的影響

圖4所示為無噪聲背景下頻率很低或接近Nyquist頻率時，2種方法在不同頻率處相位差測量的相對誤差。信號頻率取值范圍分別為0.5~2.5 Hz和497.5~499.5 Hz，變化步長均為0.05 Hz。從圖4可以看出：當(dāng)頻率很低或接近Nyquist頻率時，傳統(tǒng)DTFT方法的測量誤差均較大，而本文方法均具有很高的測量精度。其原因?yàn)椋涸陬l率很低或接近Nyquist頻率時，旁瓣干涉較大，本文方法采用加矩形雙窗并計及了負(fù)頻率成分的影響，有效地抑制了頻譜泄露的影響，所以能獲得較高的測量精度。

(a) 頻率很低；(b) 接近Nyquist頻率

當(dāng)信噪比為30 dB，針對頻率很低或接近Nyquist頻率時，分別采用DTFT法和本文方法經(jīng)200次獨(dú)立仿真實(shí)驗(yàn)得到的相位差估計均方誤差隨頻率變化曲線如圖5所示。從圖5可以看出：頻率在0.5~2.5 Hz的變化過程中，DTFT法的測量精度隨著頻率的增大有逐漸增大的趨勢，其中在1.0，1.5，2.0和2.5 Hz附近精度較高，接近本文方法計算精度，而本文方法始終保持著較高的測量精度；頻率在497.5~499.5 Hz的變化過程中，DTFT法的測量精度隨著頻率的增大有逐漸減小的趨勢，其中在497.5，498.0，498.5和499.0 Hz附近精度較高，接近本文方法計算精度，而本文方法也始終保持著較高的測量精度。其原因?yàn)椋涸陬l率很低(靠近0.5 Hz這端)或接近Nyquist頻率(靠近499.5 Hz這端)時，負(fù)頻率成分會產(chǎn)生旁瓣干涉，進(jìn)而影響相位差的測量精度；在頻率遠(yuǎn)離這兩端時，負(fù)頻率成分影響較小；當(dāng)信號頻率等于頻率分辨率的一半的整數(shù)倍時，信號頻率處的DTFT的負(fù)頻率部分為0，此時不存在負(fù)頻率影響，這2種方法均可獲得較高的測量精度。本文方法考慮了負(fù)頻率成分的影響，并采用加矩形雙窗，有效地抑制了頻譜泄露的影響，所以，能始終保持著較高的測量精度。

(a) 頻率很低；(b) 接近Nyquist頻率

2.2 采樣點(diǎn)數(shù)變化的影響

在迭加白噪聲的情況下，取信號頻率為2.5 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)在200~1 000范圍內(nèi)變化時相位差均方誤差的變化曲線如圖6所示。從圖6可以看出：當(dāng)信號頻率等于頻率分辨率的一半的整數(shù)倍時，負(fù)頻率成分為0，DTFT法精度接近本文方法精度；隨著采樣點(diǎn)數(shù)的增加，DTFT法的測量精度明顯提高，而本文方法的測量精度提高較??；本文方法始終能保持著較高的測量精度，說明本文方法在較少采樣點(diǎn)數(shù)的情況下也可獲得較高的測量精度。此外，仿真還表明：當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)增加到滿足一定采樣點(diǎn)數(shù)的情況下，相位差的測量誤差變化很小。

1—DTFT法；2—本文方法(加矩形雙窗)

2.3 在科氏流量計中的應(yīng)用

為考察本文所提方法的相位差測量精度，仿真模擬科氏流量計相位差測量實(shí)驗(yàn)以進(jìn)行比較分析。首先產(chǎn)生2路加高斯白噪聲的正弦信號，采用自適應(yīng)格型陷波器進(jìn)行濾波以求其頻率，然后對濾波后的信號分別采用DTFT法和本文方法測量相位差。流量計振動信號的頻率為146 Hz(采樣頻率遠(yuǎn)高于信號頻率，可視為頻率很低的情況)，采樣頻率為10 kHz，采樣點(diǎn)數(shù)為20 000，信噪比為20 dB，相位差呈線性變化。由于陷波器存在一個收斂過程，為去除收斂過程帶來的影響，選取從4 000點(diǎn)以后開始進(jìn)行相位差計算，圖7所示為這2種方法的相位差估計曲線。由圖7可以看出：本文方法在噪聲條件下，能實(shí)時跟蹤相位差的線性變化，能始終保持著較高的測量精度；而DTFT法隨著采樣點(diǎn)數(shù)的不斷增加，測量誤差越來越大。其原因是：本文方法采用滑動遞推的思想，減小了計算量，消除了冗余計算，實(shí)時性較高；采用矩形雙窗并計及負(fù)頻率的影響，減小了頻譜泄露的影響，所以能始終保持較好的測量效果。

1—理論值；2—DTFT法；3—本文方法(加矩形雙窗)

為了進(jìn)一步考察本文所提方法的實(shí)際效果，利用本課題組所設(shè)計的科氏流量計實(shí)驗(yàn)平臺進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。由于現(xiàn)有技術(shù)條件的限制，無法得到每點(diǎn)的實(shí)際相位差和時間差，可根據(jù)流量計的性能曲線，將實(shí)際流量換算成相應(yīng)的時間差，以此作為時間差的理論參考值來估計相對誤差。表1所示為不同流量下采用DTFT法和本文方法計算得到的時間差均值和相對誤差。從表1可以看出：本文方法的相位差測量精度更高，計算結(jié)果更接近理論參考值，證實(shí)了本文方法的實(shí)用性和有效性。

表1 不同流量下的時間差均值及相對誤差

3 結(jié)論

1) 采用矩形雙窗、計及負(fù)頻率影響以及滑動遞推的思想，提出一種基于矩形雙窗的滑動DTFT相位差測量算法。

2) 本文所提算法能更好地抑制頻譜泄露的影響，在無噪聲、有噪聲和采樣點(diǎn)數(shù)變化的影響下，均能始終保持較高的測量精度；應(yīng)用于科氏流量計的相位差測量，同樣能始終保持較好地測量效果，可適用于高精度的相位差測量應(yīng)用場合。

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New sliding DTFT algorithm for high-accuracy phase difference measurement based on double rectangle window

SHEN Tingao, TU Yaqing, ZHANG Haitao, LI Ming

(Department of Information Engineering, Logistical Engineering University, Chongqing 401311, China)

As the signals in vibration engineering domain have ultra low frequency or adjacent Nyquist frequency, there is large error in measuring it using traditional phase difference measurement. In order to obtain good inhibition of spectral leakage and high accuracy of phase difference measurement, a new sliding DTFT (discrete time Fourier transform) algorithm for high-accuracy phase difference measurement based on double rectangle window was presented, which is based on the traditional DTFT algorithm, combined with double rectangle window, negative frequency contribution and the idea of sliding recursive. It’s principle and achievement method were also expounded. The results show that the algorithm has less computation work and is easy to be realized. When it is applied in phase difference measurement, the measuring error caused by spectral leakage can be reduced, and the new method can obtain higher precision than conventional method of cosine window DTFT. Simulations and field tests verify the feasibility and effectiveness of the proposed method.

phase difference; discrete time Fourier transform (DTFT); cosine window; spectral leakage; negative frequency

TN911

A

1672?7207(2015)02?0554?07

2014?02?12；

2014?04?20

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61271449, 61302175)；重慶市自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(CSTC, 2011BA2015; CSTC, 2013jcyjA40030)(Projects (61271449, 61302175) supported by the National Natural Science Foundation of China; Projects (CSTC, 2011BA2015; CSTC, 2013jcyjA40030) supported by the Natural Science Foundation of Chongqing City)

涂亞慶，教授，從事智能檢測與智能儀表研究；E-mail：yqtcq@sina.com

10.11817/j.issn.1672-7207.2015.02.025

(編輯 陳燦華)