海 潔，武 麗，羅中劍

(鄭州大學(xué) 西亞斯國際學(xué)院 電子信息工程學(xué)院，河南 鄭州 451150)

基于SPKFCM快速雙循環(huán)水平集非均勻圖像分割

海 潔，武 麗，羅中劍

(鄭州大學(xué) 西亞斯國際學(xué)院 電子信息工程學(xué)院，河南 鄭州 451150)

針對傳統(tǒng)快速雙循環(huán)水平集對初始演化曲線過于依賴的問題，提出一種基于空間懲罰核模糊C-means(SPKFCM)算法的初始演化曲線自動(dòng)選取快速雙循環(huán)水平集算法。首先，對模糊均值聚類算法進(jìn)行改進(jìn)，通過增加空間懲罰函數(shù)提出SPKFCM算法，用于對快速雙循環(huán)水平集算法的自動(dòng)初始化；其次，基于SPKFCM并結(jié)合快速雙循環(huán)水平集算法，設(shè)計(jì)基于SPKFCM快速雙循環(huán)水平集算法框架，并給出相應(yīng)速度參量Fd和Fint模糊化形式；最后，通過與已有算法在仿真圖像上的對比結(jié)果顯示，所提算法在隨機(jī)初始化條件下，具有更高的分割精度和計(jì)算效率。

空間懲罰核；模糊C-means；快速雙循環(huán)；水平集；非均勻；圖像分割

在醫(yī)學(xué)影像處理中，如CT、X-ray成像等，由于成像像素的非均勻性，存在對比度差、像素不均勻、邊界模糊等問題，傳統(tǒng)的圖像分割算法精度不理想[1-2]。

水平集(Level Set， LS)算法是近年來興起的一種高性能圖像分割算法，已得到廣泛研究和應(yīng)用[3]。LS算法通過將低維閉合曲線映射到高維水平集進(jìn)行操作，提高了算法的魯棒性。在算法改進(jìn)方面，文獻(xiàn)[4]結(jié)合變分法和水平集算法進(jìn)行圖像聚類分割，提高了算法性能。其后又在文獻(xiàn)[5]中利用變分LS算法實(shí)現(xiàn)聚類恢復(fù)的同步進(jìn)行。文獻(xiàn)[6]提出一種快速雙循環(huán)水平集算法(Fast Two-cycle Level Set， FTCLS)，采用整數(shù)矩陣中的一條窄帶作為水平集函數(shù)進(jìn)行操作。上述算法采用兩種算法結(jié)合來提高圖像分割精度，提高了算法性能。但存在的問題也是LS算法普遍存在的問題是，LS算法對于初始演化曲線過于依賴，然而當(dāng)圖像像素存在對比度差、像素不均勻、邊界模糊等問題時(shí)，傳統(tǒng)LS算法的初始演化曲線選取方法精度差，收斂速度慢，影響LS算法的整體效果。

模糊C-means算法(FCM)[7-8]因其像素分類的靈活性，是圖像分割算法使用最廣泛的方法之一。此外相對于硬分割方法，F(xiàn)CM可保留更多的原始圖像信息，盡管FCM算法在大多數(shù)圖像分割算法中性能不錯(cuò)，但是當(dāng)圖像噪聲較大時(shí)，算法分割精度性能不佳[9]。

本文結(jié)合FCM算法對圖像分割的靈活性及快速雙循環(huán)水平集算法對于非均勻圖像的魯棒性，利用FCM算法改進(jìn)快速雙循環(huán)水平集算法的初始演化曲線選取，為雙循環(huán)水平集算法提供更穩(wěn)定的初始條件。同時(shí)，對于FCM算法與FTCLS算法的銜接進(jìn)行了設(shè)計(jì)，并對算法在醫(yī)學(xué)圖像中的實(shí)驗(yàn)效果進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 快速雙循環(huán)水平集

文獻(xiàn)[6]近似采用整數(shù)矩陣中的一條窄帶作為水平集函數(shù)，并采用快速雙循環(huán)算法(FTCLS)取代偏微分方程求解，從而加速水平集計(jì)算。圖1給出快速雙循環(huán)算法示意圖，定義D×k的規(guī)則網(wǎng)格，網(wǎng)格采用均勻采樣，默認(rèn)采樣距離為1。此外，為窄帶內(nèi)網(wǎng)格定義兩條相鄰窄帶，其中Lin位于窄帶以內(nèi)，Lout位于窄帶以外，如圖1所示。

圖1 快速雙循環(huán)示意

圖1給出快速雙循環(huán)簡單示例，圖中黑色區(qū)域?yàn)榱闼郊袼貐^(qū)域，內(nèi)外邊緣像素分別以Lin和Lout表示。曲線向內(nèi)或向外移動(dòng)可以拆分成兩條曲線，對于函數(shù)值φ以“+”和“-”值形式呈現(xiàn)。通過兩個(gè)循環(huán)間的自動(dòng)切換，實(shí)現(xiàn)像素運(yùn)動(dòng)的最小化計(jì)算。圖中上面箭頭表示以Lin取代Lout。

在水平集算法中，曲線C的演化過程可表述為

(1)

式中：φ(t,x)為Lipschitz函數(shù)。在上述算法中，水平集函數(shù)值被近似為局部符號距離變換

(2)

引起演化曲線移動(dòng)的進(jìn)化速度F可表示為

(3)

文獻(xiàn)[6]定義了兩個(gè)進(jìn)化速度Fd和Fint提出一種兩步雙循環(huán)水平集算法，其中Fd依賴于圖像數(shù)據(jù)，F(xiàn)int為曲線平滑正則化項(xiàng)，其值與曲線平均曲率成正比。則新的速度函數(shù)可定義為

F(x)=Fd(x)+Fint(x)

(4)

式中：進(jìn)化速度Fd和Fint可進(jìn)行賦值?？焖匐p循環(huán)水平集算法步驟如偽代碼1所示。參數(shù)設(shè)置：Na，Ns，Ng和σ，其中Na和Ns利用速度參量Fd和Fint來控制權(quán)重參數(shù)，而參數(shù)Ng和σ用來近似高斯濾波器G和對每步平滑正規(guī)化進(jìn)行加強(qiáng)。算法步驟如偽代碼1所示。

偽代碼1：快速雙循環(huán)水平集

2. %循環(huán)步驟1：基于數(shù)據(jù)的速度進(jìn)化

3. fori=1:Na

9.判斷是否滿足停止，是則轉(zhuǎn)循環(huán)步驟2，否則繼續(xù)；

10. %循環(huán)步驟2：基于高斯濾波的平滑速度進(jìn)化

11. fori=1:Ns

17.若不滿足循環(huán)步驟1限制條件，跳轉(zhuǎn)循環(huán)步驟1。

2 改進(jìn)快速雙循環(huán)水平集

上述快速雙循環(huán)水平集算法，因?yàn)檠莼€僅在初始曲線窄帶(圖1中黑色區(qū)域)中進(jìn)化，導(dǎo)致該算法對于初始條件過于依賴。對此，本節(jié)結(jié)合空間懲罰核目標(biāo)函數(shù)，提出改進(jìn)快速核模糊聚類水平集算法，增強(qiáng)算法對于初始條件的魯棒性。

2.1 空間懲罰核模糊C-means(SPKFCM)

模糊c均值聚類算法(FCM)是聚類分析領(lǐng)域最常用的工具之一。但其采用平方范數(shù)近似對球形聚類進(jìn)行測度，聚類精度不理想。文獻(xiàn)[10]提出一種新的核心模糊均值聚類(KFCM)來解決這個(gè)問題。采用新的內(nèi)核指標(biāo)取代原歐幾里得范數(shù)作為評價(jià)指標(biāo)。通過用新“核心”取代內(nèi)積功能，可在不增加高維特征空間參數(shù)數(shù)量前提下執(zhí)行非線性映射，提高了算法精度。

在上述工作基礎(chǔ)上，通過在KFCM算法目標(biāo)函數(shù)中增加空間懲罰函數(shù)，以此來補(bǔ)償醫(yī)學(xué)圖像分割中的圖像不均勻性所帶來的影響。令數(shù)據(jù)集為

(5)

式中：n為數(shù)據(jù)集維數(shù)；C模糊子集通過最小化下列目標(biāo)函數(shù)實(shí)現(xiàn)

(6)

式中：c為聚類個(gè)數(shù)，根據(jù)先驗(yàn)知識確定；N為數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)，其值等于圖像像素?cái)?shù)；uik是xk對于類別i的隸屬度；m為模糊隸屬加權(quán)指數(shù)；v為聚類中心集；Nk為xk的鄰域像素集；NR為Nk基數(shù)；α用來控制懲罰函數(shù)效果，α∈[0,1]。懲罰項(xiàng)的相對比重與數(shù)據(jù)的信噪比(SNR)成反比。低信噪比需要較大的α，?為非線性映射函數(shù)

H(xk,xk)+H(vi,vi)-2H(xk,vi)

(7)

式中：H(x,y)=?(x)T?(y)為核函數(shù)內(nèi)積，若選取高斯內(nèi)積核函數(shù)

(8)

則H(x,x)=1，可簡化為

(9)

式中：第一項(xiàng)為內(nèi)核距離自適應(yīng)感應(yīng)，第二項(xiàng)為空間鄰域信息懲罰函數(shù)。目標(biāo)函數(shù)選取條件如下

(10)

通過對式(9)求解一階導(dǎo)，并賦值為0，可求得uik和vi，為簡化表達(dá)，令H代表H(xk,vi)

(11)

根據(jù)式(8)數(shù)據(jù)點(diǎn)權(quán)重H(xk,vi)，主要用來評價(jià)xk和vi的相似度。這意味著內(nèi)核函數(shù)對相近像素點(diǎn)提供更大的權(quán)重，反之亦然。

2.2 所提改進(jìn)算法

為解決FTCLS算法對初始條件過于依賴的問題，所提改進(jìn)算法共包括4個(gè)步驟：一是利用空間懲罰核目標(biāo)函數(shù)提取模糊隸屬度矩陣作為初始演化曲線，并利用提取的隸屬度矩陣進(jìn)行初始化；二是執(zhí)行零水平集形態(tài)閉環(huán)操作；三是計(jì)算快速雙循環(huán)水平集算法速度參數(shù)Fd和Fint；四是反復(fù)使用雙循環(huán)水平集算法直至收斂。假定n為聚類數(shù)量，uk(x,y)為像素的SPKFCM聚類模糊隸屬度。具體算法描述如下。

步驟1：(初始曲線)傳統(tǒng)FTCLS算法是選取圖像內(nèi)部的一點(diǎn)作為初始曲線，如圖2所示。該做法需要根據(jù)先驗(yàn)知識進(jìn)行選取，并且該點(diǎn)選取可能會(huì)陷入局部極值點(diǎn)，此外該點(diǎn)在距邊界過遠(yuǎn)時(shí)，選取過程可能很慢。

圖2 FTCLS初始點(diǎn)選取

為解決上述初始點(diǎn)選取過程中的問題，如前所述，本文算法采用模糊隸屬度矩陣作為初始曲線。首先，對感興趣區(qū)(ROI)像素，令φ(x,y,t=0)=1，類似地對不屬于感興趣區(qū)(ROI)的像素值φ(x,y,t=0)=1。因此，利用ROI的模糊隸屬度矩陣來區(qū)別像素是否屬于感興趣區(qū)域。假定ui為ROI的模糊隸屬度矩陣，形式可定義如下

(12)

則根據(jù)下式對零水平集進(jìn)行初始化

(13)

步驟2：(形態(tài)閉環(huán)操作)在傳統(tǒng)FTCLS中，使用初始水平集函數(shù)主狀態(tài)，以保證算法收斂。主狀態(tài)要求ROI被最初的曲線所包圍，以接觸到ROI的每個(gè)對象和背景(如偽代碼循環(huán)步驟1)。為此，根據(jù)式(13)在φ(x,y,t=0)中執(zhí)行形態(tài)閉環(huán)操作，來擴(kuò)展圖像區(qū)域像素的邊界。

步驟3：(速度參數(shù)Fd和Fint計(jì)算)采用文獻(xiàn)[11]改進(jìn)的速度參數(shù)Fd計(jì)算公式，形式如下

Fd=Ha(φ)(I0-C1)2+(1-Ha(φ))(I0-C1)2

(14)

式中：I0為定義在規(guī)則網(wǎng)格D上的圖像；Ha為Heaviside函數(shù)，可定義為

(15)

圖像I0上水平集φ內(nèi)外強(qiáng)度值分別為C1和C2，其更新為

(16)

此處，為適應(yīng)SPKFCM，采用模糊隸屬度矩陣對式(16)進(jìn)行改進(jìn)，形式如下

(17)

從SPKFCM算法可知，不同區(qū)域的像素強(qiáng)度值不相等。另一方面，通過模糊隸屬矩陣計(jì)算像素的特征加權(quán)值，并計(jì)算強(qiáng)度的加權(quán)平均值。另一平滑速度參數(shù)Fint計(jì)算如下

(18)

式中：Lout和Lin前面已定義；G為高斯濾波器；?為卷積運(yùn)算。當(dāng)確定了速度參數(shù)Fd和Fint之后，可根據(jù)偽代碼1進(jìn)行計(jì)算。

步驟4：(迭代運(yùn)算)在自動(dòng)選取初始演化曲線后，初始化零水平集算法參數(shù)及速度參數(shù)和，利用偽代碼1反復(fù)進(jìn)行演化，直至收斂。所提算法框架如偽代碼2所示。

偽代碼2：基于SPKFCM快速雙循環(huán)水平集

1.基于SPKFCM獲得分區(qū)的模糊隸屬度，然后提取ROI模糊隸屬度矩陣；

2.基于隸屬度矩陣初始化零水平集：

4.根據(jù)上一步對φ(x,y,t=0)執(zhí)行形態(tài)閉環(huán)操作；

5.根據(jù)式(17)計(jì)算C1和C2，進(jìn)而根據(jù)式(14)和(18)計(jì)算變形速度參量Fd和Fint；

6.執(zhí)行偽代碼1，直至快速雙循環(huán)水平集算法收斂。

3 實(shí)驗(yàn)與分析

選取3組醫(yī)學(xué)成像圖例進(jìn)行仿真對比，分別為腦腫瘤、人體骨骼和脊柱。仿真分為兩部分：原始圖像分割和附加高斯白噪聲圖像分割。對比算法選取基于KFCM圖像分割和標(biāo)準(zhǔn)FTCLS圖像分割兩種對比算法。對上述對比算法性能定義評價(jià)指標(biāo)如下[12]

(19)

式中：Ai為類別i的像素點(diǎn)；c為聚類個(gè)數(shù)；Ci為類別i內(nèi)參照像素點(diǎn)。硬件設(shè)置：CPU i7 2.5 GHz，RAM 6 Gbyte ddr1333；仿真軟件：MATLAB2013b。KFCM圖像分割算法及FTCLS圖像分割算法利用MATLAB工具箱實(shí)現(xiàn)，本文圖像分割算法通過編寫MATLAB水平集工具箱接口函數(shù)實(shí)現(xiàn)。仿真參數(shù)設(shè)置：λs=3，ε=1，N=8。分類數(shù)量c=2，F(xiàn)TCLS圖像分割算法參數(shù)a=4.2。對于原始圖像分割算法，仿真結(jié)果如圖3所示，對附加高斯噪聲圖像分割算法仿真結(jié)果如圖4所示。

圖3 原始圖像分割結(jié)果

圖4 附加高斯噪聲圖像分割結(jié)果

圖3給出KFCM、FTCLS和本文算法3種圖像分割算法的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果。其中，第1行為原始的醫(yī)學(xué)影像，第2行為KFCM聚類方法獲得的圖像分類結(jié)果，第3行為FTCLS算法獲得的圖像邊界分割結(jié)果，第4行為本文算法獲得的圖像邊界分割結(jié)果。由于KFCM聚類方法是將像素分為黑白兩類進(jìn)行區(qū)分，所以仿真結(jié)果與另兩種算法略有不同。從圖3中可看出，KFCM聚類方法獲得分類效果不理想，存在邊界模糊情況，特別是在前兩幅腦腫瘤和人體骨骼影響分類中，效果不佳。FTCLS和本文算法對邊界分割效果近似，都能較準(zhǔn)確地對邊界進(jìn)行分割。各算法具體分割精度及運(yùn)行時(shí)間如表1所示，表1結(jié)果為上述各算法獨(dú)立運(yùn)行20次所求得的均值。

表1 原始圖像運(yùn)行指標(biāo)

表1給出3種對比算法在識別率、運(yùn)行時(shí)間及方差3項(xiàng)指標(biāo)上的運(yùn)行結(jié)果，可看出，在識別率指標(biāo)上3種算法都能較為有效地對圖像進(jìn)行識別，識別率均在80%以上，但KFCM識別率分布在81%～86%之間，而FTCLS算法則分布在 87%～90%之間，本文算法識別率分布在93%～97%之間，說明在識別率指標(biāo)上，本文算法優(yōu)于FTCLS算法，兩者都好于KFCM算法。而在運(yùn)算時(shí)間方面，KFCM算法運(yùn)算速度最快，本文算法其次，F(xiàn)TCLS算法最慢，可見兩種算法的結(jié)合有效提高了運(yùn)算速度和收斂精度。

圖4給出KFCM、FTCLS和本文算法3種圖像分割算法對附加高斯噪聲圖像的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果。其中，第1行為原始的醫(yī)學(xué)影像，第2行為KFCM聚類方法獲得的圖像分類結(jié)果，第3行為FTCLS算法獲得的圖像邊界分割結(jié)果，第4行為本文算法獲得的圖像邊界分割結(jié)果。從圖中可看出，KFCM和FTCLS兩種算法的分割結(jié)果存在明顯的噪聲點(diǎn)，而本文算法生成的圖像分割結(jié)果則更干凈清晰。并且本文算法分割線相對于FTCLS算法分割線更加細(xì)致，直觀本文算法的分割效果要優(yōu)于KFCM和FTCLS兩種算法。具體數(shù)值結(jié)果對比如表2所示，數(shù)值比較指標(biāo)仍然選取識別率和算法運(yùn)行時(shí)間。

表2 附加噪聲圖像運(yùn)行指標(biāo)

表2給出3種對比算法在識別率、運(yùn)行時(shí)間及方差3項(xiàng)指標(biāo)上的運(yùn)行結(jié)果。從表2中可看出，在識別率指標(biāo)上KFCM識別率分布在72%～76%之間，而FTCLS算法識別率則分布在81%～85%之間，本文算法識別率則分布在89%～93%之間，在該項(xiàng)指標(biāo)上，上述3種算法分別比不附加高斯噪聲圖像分割識別率降低10%，6%和3%左右，可看出本文算法在識別率最好的同時(shí)，相比對比算法對附加噪聲具有相對較強(qiáng)的魯棒性和抗噪性。而在運(yùn)行時(shí)間指標(biāo)上，KFCM由于算法簡單，其運(yùn)算速度最快，而本文算法運(yùn)算速度比KFCM算法慢，但要優(yōu)于FTCLS算法。以上仿真結(jié)果顯示，本文算法在圖像分割應(yīng)用上具有可行性和有效性。

4 結(jié)束語

本文從解決快速雙循環(huán)水平集算法對初始演化曲線過于依賴的問題，融合改進(jìn)的KFCM算法和FTCLS算法，提高了算法對初始條件的魯棒性。仿真結(jié)果顯示所提算法的有效性。但仿真結(jié)果顯示該算法仍有兩個(gè)方面需改進(jìn)：一是算法的運(yùn)算時(shí)間還有待加快；二是算法的收斂精度還有待提高。此外，算法實(shí)際應(yīng)用還需進(jìn)一步開拓，上述仿真是在MATLAB平臺上實(shí)現(xiàn)的，但對于分割算法的軟件開發(fā)還有待進(jìn)一步研究。

[1] RACHANA D， ANURAG J. FCM_S1 and FCM_S2 algorithms for medical image segmentation under different noise condition [J]. International Journal of Computer Science and Electrical Engineering， 2012， 1(2)： 2315-4209.

[2] LI C， WANG X， EBERL S. Supervised variational model with statistical inference and its application in medical image segmentation [J]. IEEE Trans. Biomedical Engineering， 2014， 62(1)： 196-207.

[3] 蘭紅， 張璐. 基于圖割的單水平集迭代終止算法[J]. 電視技術(shù)， 2013， 37(1)： 31-36.

[4] SAMSON C， BLANC-FERAUD L， AUBERT G，et al. A level set model for image classification [J]. Journal of Computer Vision， 2000， 40(3)： 187-197.

[5] SAMSON C， BLANC-FERAUD L， AUBERT G，et al. A variational model for image classification and restoration [J]. IEEE Trans. Pattern Analysis and Machine Intelligence， 2000， 22(5)： 460-472.

[6] SHI Y， KARL W C. A real-time algorithm for the approximation of level-set-based curve evolution [J]. IEEE Trans. Image Process， 2008， 17(5)： 645-656.

[7] 李遠(yuǎn)成， 陰培培， 趙銀亮. 基于模糊聚類的推測多線程劃分算法[J]. 計(jì)算機(jī)學(xué)報(bào)， 2014， 37(3)： 580-592.

[8] 彭建喜. 一種基于C均值的模糊核聚類圖像分割算法[J]. 電視技術(shù)， 2014， 38(9)： 28-31.

[9] CAI W， CHEN S， ZHANG D. Fast and robust fuzzy c-means clustering algorithms incorporating local information for image segmentation [J]. Pattern Recognition， 2007， 40(3)： 825-838.

[10] ZANG Xian， FELIPE P， VISTA I. Fast global kernel fuzzy c-means clustering algorithm for consonant vowel segmentation of speech signal [J]. Journal of Zhejiang University Science：Computers & Electronics， 2014， 15(7)： 551-563.

[11] LI Z B， LIU Z Z， SHI W Z. A fast level set algorithm for building roof recognition from high spatial resolution panchromatic images [J]. IEEE Geosciences and Remote Sensing Letters， 2014， 11(4)： 743-747.

責(zé)任編輯：時(shí) 雯

SPKFCM Based Fast Two-cycle Level Set Non-uniform Image Segmentation

HAI Jie， WU Li， LUO Zhongjian

(DepartmentofElectronicalandInformationEngineering，SiasInternationalUniversity，Zhengzhou451150，China)

In order to solve the problem of the traditional fast two-cycle level set being too much dependent on the initial condition， a kind of space punishment core based C-means algorithm is proposed to automatically select the initial evolution curve for fast two-cycle level set. Firstly， the space penalty core function is used to improve the fuzzy C-means clustering algorithm called the SPKFCM algorithm， which is used for fast two-cycle level set automatic initialization； Secondly， combined SPKFCM and fast two-cycle level set algorithm， the SPKFCM based fast two-cycle level set algorithm is designed， and the fuzzy form of the corresponding speed parametersandare also presented； Finally， it is verified that the proposed algorithm has the higher degree of segmentation precision and higher computation efficiency through simulation with existing contrast algorithms.

space punishment core； fuzzy C-means； fast two-cycle； level set； non-uniform； image segmentation

【本文獻(xiàn)信息】海潔，武麗，羅中劍.基于SPKFCM快速雙循環(huán)水平集非均勻圖像分割[J].電視技術(shù),2015，39(13).

河南省教育廳科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(14B510028)；河南省科技廳重點(diǎn)科技攻關(guān)項(xiàng)目(132102210181)

TP391

A

10.16280/j.videoe.2015.13.006

海 潔(1979— )，女，碩士，講師，主要研究領(lǐng)域?yàn)殡娐罚?/p>

武 麗(1983— )，女，碩士，講師，主要研究領(lǐng)域?yàn)樾畔⑻幚恚?/p>

羅中劍(1964— )，男，碩士，副教授，主要研究領(lǐng)域?yàn)樾畔⑻幚怼?/p>

2015-03-03