李麗園，周茂定，張元海

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薄壁箱梁的彎曲縱向位移函數(shù)與剪力流

李麗園，周茂定，張元海

(蘭州交通大學(xué)土木工程學(xué)院，甘肅蘭州，730070)

以薄壁箱梁的彎曲理論為基礎(chǔ)，從分析微板剪力流出發(fā)，結(jié)合彈性理論中求解平面應(yīng)力問題的假設(shè)，推導(dǎo)考慮薄壁箱梁各板面內(nèi)剪切效應(yīng)時的彎曲縱向位移函數(shù)，同時從理論上導(dǎo)出剪力滯翹曲位移函數(shù)。運(yùn)用能量變分原理及鐵木辛柯深梁理論的假設(shè)簡化并求解考慮各板面內(nèi)剪切效應(yīng)的縱向位移函數(shù)，并給出數(shù)值算例。研究結(jié)果表明：按本文推導(dǎo)的考慮各板面內(nèi)剪切效應(yīng)的位移函數(shù)計算的簡支梁跨中截面正應(yīng)力與實(shí)測值及有限元值吻合良好，剪應(yīng)力與撓度較以往方式求解的結(jié)果更為準(zhǔn)確，且箱梁撓度及腹板剪應(yīng)力計算值相對于初等梁的結(jié)果均有明顯增加，最大增量達(dá)到21%。

薄壁箱梁；面內(nèi)剪切效應(yīng)；能量變分法；撓度；剪力流

在現(xiàn)代橋梁建設(shè)中，薄壁箱梁有著重要的應(yīng)用，對其彎曲力學(xué)性能研究的文獻(xiàn)已有很多[1?4]。眾所周知，在彎曲荷載作用下，薄壁箱梁由于各翼板剪切效應(yīng)的影響，其縱向位移模式不再符合平截面假定，從而產(chǎn)生剪力滯效應(yīng)，國內(nèi)外許多學(xué)者已對此做了大量研究。 Reissner[5]首先引入能量變分法求解無翼緣板矩形薄壁箱梁的剪力滯效應(yīng)，后來能量變分法被國內(nèi)外學(xué)者應(yīng)用于帶懸臂板箱梁的剪力滯效應(yīng)分析。對于剪力滯翹曲位移函數(shù)的形式，不同學(xué)者的假設(shè)也各不相同，有拋物線[4?7]、余弦函數(shù)[2]及懸鏈線[8]等多種形式。對于不同寬度翼緣板的剪力滯翹曲位移函數(shù)的修正方式，各學(xué)者也是觀點(diǎn)各異[2, 9?13]。對于薄壁箱梁腹板剪切效應(yīng)的研究，一直沿用鐵木辛柯深梁理論[14]。然而，已有文獻(xiàn)中將薄壁箱梁腹板和翼板的面內(nèi)剪切變形分別提出不同的概念來分析，不便于理解，且只分析各板剪切效應(yīng)對翼板正應(yīng)力和箱梁撓度的影響，幾乎沒有文獻(xiàn)研究各板剪切效應(yīng)對薄壁箱梁剪應(yīng)力的影響，對于剪力滯翹曲位移函數(shù)仍采取人為假定方法，缺乏理論證實(shí)。本文作者將在已有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，通過對薄壁箱梁微元的分析，結(jié)合彈性理論中平面應(yīng)力問題假設(shè)及鐵木辛柯的深梁理論，推導(dǎo)出系統(tǒng)考慮薄壁箱梁各板面內(nèi)剪切變形的彎曲縱向位移函數(shù)，并通過算例及ANSYS有限元對比分析，得出按此位移函數(shù)計算的正應(yīng)力、剪應(yīng)力和撓度的計算精度有較大 提高。

1 考慮面內(nèi)剪切效應(yīng)的位移函數(shù)

圖1所示為薄壁箱梁在任意豎向分布荷載()作用下的受力簡圖。圖中采用正交笛卡兒坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)位于截面形心處。

(a) 坐標(biāo)系及荷載；(b) 橫截面

任取上述薄壁箱梁微板d×d如圖2所示,為壁厚，為沿梁周邊的橫向坐標(biāo)，σ為縱向正應(yīng)力，為板面內(nèi)剪切剪力流。

圖2 薄壁單元中剪力流

根據(jù)力沿軸方向平衡條件可得微分關(guān)系式[13]：

對于微元薄板，若忽略面外的拉伸(或壓縮)則轉(zhuǎn)化為彈性力學(xué)中的平面應(yīng)力問題，因而可得其位移與應(yīng)變關(guān)系如下[16?17]：

式中：為縱向位移；為橫向位移。

對圖1所示的關(guān)于軸對稱的薄壁箱梁截面，在彎曲荷載作用下，通常忽略截面沿周邊的擠壓變形，即認(rèn)為ε=0；而在初等梁理論下，忽略各板的面內(nèi)剪切變形，即認(rèn)為=0，按此假設(shè)將會影響求解精度，因而需考慮薄壁箱梁各板面內(nèi)剪切變形的影響。按上述假設(shè)下，薄壁箱梁的彎曲正應(yīng)力σ計算公式如下[18?19]：

將式(5)代入式(1)結(jié)合彎矩與剪力的關(guān)系以及薄壁箱梁的彎曲理論[3,13]可得圖1所示截面彎曲剪力流的一般計算公式為

式中：0()為相應(yīng)開口截面剪力流。若將圖1截面的開口選在頂板中心0點(diǎn)處時，式(6)等號右邊第2項(xiàng)為0，因而其剪力流計算式如下(逆時針為正)：

現(xiàn)以頂板為例進(jìn)行分析，其彎曲剪力流為

式中：y為箱梁截面水平形心軸至頂板中面的距離。仍忽略頂板沿周線的位移()，由式(4)可得：

式中：為剪切彈性模量。對式(9)積分整理后可得：

式中：0()為頂板中心(坐標(biāo)起始點(diǎn))的縱向位移，式(10)為考慮頂板面內(nèi)剪切變形后箱梁頂板縱向位移沿橫向的表達(dá)式。由式(10)可得，箱梁頂板與腹板交界處1點(diǎn)的縱向位移為

若令

并采用坐標(biāo)表示頂板任一點(diǎn)橫向位置，則式(10)可轉(zhuǎn)換為

同樣，對底板積分起點(diǎn)取截面左右對稱中心點(diǎn)2處，對懸臂板積分起點(diǎn)取懸臂邊緣3點(diǎn)處，可得底板和懸臂板的縱向位移分別為

此時薄壁箱梁截面的各翼板的縱向位移可用1()和4()表示。

從圖3可以看出：腹板剪力流分布為二次函數(shù)，若設(shè)5點(diǎn)處剪力流為5()，則腹板任意一點(diǎn)剪力流為

式中：為腹板中線與軸的夾角。由式(15)及式(4)可得：

式(17)可表示箱梁截面腹板任意一點(diǎn)縱向位移函數(shù)。由式(17)可求得1()和4()表示如下：

若令

；

此時箱梁截面的各板元縱向位移可表示為

若求得5點(diǎn)處的縱向位移則可求得薄壁箱梁考慮各板面內(nèi)剪切效應(yīng)時的彎曲位移函數(shù)。

在材料力學(xué)中計算梁的彎曲內(nèi)力時，通常將梁簡化為截面中性軸處的一條線，因而腹板上也必然存在縱向位移為零的中性點(diǎn)[18]。對薄壁箱梁在不考慮各板面內(nèi)剪切效應(yīng)時，形心軸與中性軸重合，若考慮了剪切效應(yīng)時，會導(dǎo)致中性軸與形心軸發(fā)生偏離。

當(dāng)箱梁發(fā)生豎向撓曲時，由胡克定律和式(2)可知，截面上一點(diǎn)的正應(yīng)力(,,)可表示為

對于不受軸力的受彎梁而言，箱梁橫截面上應(yīng)力總和應(yīng)為零[15]，即：

結(jié)合式(20)~(22)可得：

式中：

稱式(24)為剪力滯翹曲位移函數(shù)。分析式(23)，由截面對稱性可知，大括號內(nèi)第2項(xiàng)和第3項(xiàng)為0，若令第4項(xiàng)積分后的結(jié)果為×(z)，其中

式中：A，A和A分別為箱梁頂板、兩側(cè)懸臂板、底板的截面積，則由式(23)和(25)可得：

式中：為截面面積，=?。從式(26)可知：5()為形心軸處相對于實(shí)際中性軸(縱向位移為零處)的縱向位移，具體可參見圖4。

(a) 橫截面；(b) 側(cè)立面(縱向位移分布)

圖4 翹曲位移函數(shù)及縱向位移簡圖

Fig. 4 Sketch map of warping displacement function and longitudinal displacement

由式(20)，(24)和(26)可得修正后薄壁箱梁剪力滯翹曲位移函數(shù)：

至此，便推導(dǎo)完成了薄壁箱梁考慮各板面內(nèi)剪切變形后彎曲縱向位移函數(shù)。

2 能量變分法求解

由于涉及未知參數(shù)較多，對于各板考慮面內(nèi)剪切變形位移函數(shù)的求解將十分困難。為了簡化分析，可根據(jù)鐵木辛柯深梁理論的假設(shè)，針對本文研究的薄壁箱梁即假設(shè)腹板有一均勻的剪切變形，亦即箱梁全截面有一轉(zhuǎn)角()，忽略()項(xiàng)對腹板剪切的影響。按上述假設(shè)則式(20)的位移函數(shù)中()將為0，若令()=()?()時，則箱梁截面的縱向位移可表示為

(,,)=?(z)+ω(,)() (28)

薄壁箱梁正應(yīng)變能e為

各翼板剪切變形剪應(yīng)變能π為

腹板剪切變形引起全截面的應(yīng)變能π為

式中：A為翼板面積；為不均勻剪切修正系數(shù)。

外荷載勢能π為[12]

總勢能為：

根據(jù)最小勢能原理的駐值條件，可知δ0，對式(33)進(jìn)行變分并整理簡化后可得：

由上述基本方程式(34)~(36)消去和后，可得關(guān)于的微分方程為

在考慮腹板剪切變形能量后，并不影響翼板剪力滯翹曲位移函數(shù)的微分形式。

通過式(37)和(38)可得邊界條件為

當(dāng)通過式(39)解出()后，由式(34)和(35)即可積分計算()和()。()表達(dá)式為

式中：*()為求解()時與荷載有關(guān)的特解。

根據(jù)實(shí)際邊界條件及荷載形式，求得()和()后，代入式(21)便可求得相應(yīng)正應(yīng)力(,,)。

通過求出的考慮各板面內(nèi)剪切變形后的正應(yīng)力(,,)，代入式(1)后，兩邊關(guān)于積分后可得：

式中：q()為積分起點(diǎn)處的剪力流，其可根據(jù)薄壁箱梁彎曲理論計算剪力流時的變形協(xié)調(diào)條件來求得。從而可求得薄壁箱梁考慮各板面內(nèi)剪切變形后的剪 力流。

3 數(shù)值算例

3.1 簡支梁正應(yīng)力

有機(jī)玻璃制作的簡支箱梁模型的橫截面如圖5所示[4]，在跨中截面梁頂腹板位置作用對稱集中荷載，總值為=272.2 N。計算跨度=800 mm，材料彈性模量為3 000 MPa，泊松比為0.385。

單位：mm

按照本文建立的薄壁箱梁彎曲縱向位移函數(shù)求得跨中截面應(yīng)力連同文獻(xiàn)[4]提供的實(shí)測值和空間有限元計算值列于表1中，以便比較。

表1 簡支箱梁模型跨中截面應(yīng)力

通過表中計算值與有限元和實(shí)測值的對比可知：本文計算值與有限元及實(shí)測值吻合良好，少數(shù)值的偏差是應(yīng)力集中引起，說明本文推導(dǎo)的位移函數(shù)合理。

3.2 簡支梁撓度及剪應(yīng)力

從前面的理論分析可知：當(dāng)考慮各板的面內(nèi)剪切變形后，薄壁箱梁的撓度和彎曲剪力流將會改變，為了說明此情況，仍以3.1節(jié)中的算例模型為例分析。

運(yùn)用ANSYS中的shell63單元建立空間有限元模型[20?21]，共劃分為1 158個節(jié)點(diǎn)和1 520單元，跨中集中荷載施加于腹板與頂板交界點(diǎn)，約束兩端底板豎向位移及一端的縱向、橫向位移。分別計算考慮和不考慮薄壁箱梁各板面內(nèi)剪切變形的撓度和截面的彎曲剪應(yīng)力，并將結(jié)果與ANSYS計算值對比。

為方便表示，現(xiàn)定義相對位置參數(shù)和如下。

對于頂板：1；對于懸臂板：3+1；

對于底板：2；對于腹板：/；縱向位置：。

3.2.1 撓度對比分析

考慮和不考慮薄壁箱梁各板面內(nèi)剪切變形時跨中最大撓度分別為0.235 mm和0.192 mm，而ANSYS計算值為0.249 mm，考慮面內(nèi)剪切效應(yīng)后撓度計算值與ANSYS接近，較不考剪切效應(yīng)時精度可提高22%，全部撓度結(jié)果對比如圖6所示。

1—不考慮剪切效應(yīng)；2—考慮剪切效應(yīng)；3—ANSYS計算

3.2.2 剪應(yīng)力對比

為了減小應(yīng)力集中影響，取0.45處截面上、下翼板及腹板剪應(yīng)力進(jìn)行對比；為研究順橋向變化趨勢，取底板=0.8處各點(diǎn)剪應(yīng)力進(jìn)行對比，結(jié)果如圖7所示。

(a) 上翼板；(b) 下翼板；(c) 腹板；(d) 底板χ為0.8處

從圖7可知：考慮各板面內(nèi)剪切效應(yīng)時的剪應(yīng)力計算值與ANSYS分析值吻合良好；各板彎曲剪應(yīng)力值與以往文獻(xiàn)不考慮剪切效應(yīng)時[1,3]求得的值有較大差異，上、下翼板剪應(yīng)力有大幅減小，且不再為直線形，腹板最大彎曲剪應(yīng)力有大幅增加，此問題在薄壁箱梁設(shè)計時，應(yīng)予以重視；對比底板=0.8處沿梁縱向變化趨勢可知，在跨中集中荷載附近剪應(yīng)力與傳統(tǒng)方法求解值相差較大(支點(diǎn)處的約束導(dǎo)致ANSYS計算值出現(xiàn)差異)，說明薄壁箱梁各板的剪切效應(yīng)不僅引起正應(yīng)力的改變，也使剪應(yīng)力有較大變化。

4 結(jié)論

1) 從薄壁箱梁微元板的分析出發(fā)，結(jié)合彈性力學(xué)平面應(yīng)力問題的假設(shè)，推導(dǎo)了考慮薄壁箱梁各板面內(nèi)剪切效應(yīng)時的彎曲位移函數(shù)，并引入鐵木辛柯深梁理論的假設(shè)對考慮各板面內(nèi)剪切效應(yīng)的位移函數(shù)進(jìn)行簡化，結(jié)合能量變分原理對其進(jìn)行求解。

2) 按照建立的考慮薄壁箱梁各板剪切效應(yīng)的位移函數(shù)求得的正應(yīng)力值與實(shí)測值和有限元值吻合良好?？紤]剪切效應(yīng)時剪應(yīng)力及撓度與ANSYS結(jié)果吻合較好；與不考慮剪切效應(yīng)時的計算值相比，薄壁箱梁上(下)翼板處剪應(yīng)力值有大幅度減小，而撓度和腹板剪應(yīng)力有大幅度增加，最大增量可達(dá)21%，因而薄壁箱梁設(shè)計時應(yīng)予以重視。

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Longitudinal displacement function and shear flow of thin-walled box girders in bending

LI Liyuan, ZHOU Maoding, ZHANG Yuanhai

(School of Civil Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China)

On the basis of the bending theory of thin-walled box girders, and in combination with the hypothesis for solving plane stress problems in elasticity theory, bending longitudinal displacement function considering each plate in-plane shear effect of thin-walled box girders was derived. At the same time, the shear lag warping displacement function was derived theoretically. The displacement mode considering in-plane shear effect of all plates was simplified and solved by using the principle of energy variation and Timoshenko hypothesis of deep beam theory, and the numerical example was given. The results show that the calculated stresses at mid-span cross section of a simply supported box girder by using the displacement mode with shear effect are in a good agreement with the measured values and the finite element analysis results. There are large differences between the calculated shear stresses which considering all plates’ shear effect and the traditional calculation results. Compared with previous methods, the shear stress and deflection calculated in this research are more accurate; what’s more, the shear stress of webs and deflection of the box girder increases, the biggest growth reaches 21%.

thin-walled box girder; in-plane shear effect; energy variation method; deflection; shear flow

10.11817/j.issn.1672-7207.2015.10.049

U448.213

A

1672?7207(2015)10?3928?08

2015?02?11；

2015?04?25

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51268029，51068018，51468032)(Projects (51268029, 51068018, 51468032) supported by the National Natural Science Foundation of China)

張元海，博士，教授，博士生導(dǎo)師，從事薄壁箱梁與特殊橋梁設(shè)計理論研究；E-mail：zyh17012@163.com

(編輯 陳愛華)