盛冬平，朱如鵬，靳廣虎，陸鳳霞，鮑和云

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雙排行星齒輪系統(tǒng)的靜態(tài)均載特性行為

盛冬平，朱如鵬，靳廣虎，陸鳳霞，鮑和云

(南京航空航天大學機電學院，江蘇南京，210016)

建立雙排行星齒輪傳動系統(tǒng)的計算模型，并針對其進行靜態(tài)均載特性行為的理論研究。模型中考慮各級行星齒輪的偏心誤差，靜態(tài)傳遞誤差，時變嚙合剛度等參數(shù)，并利用傅里葉級數(shù)法求解系統(tǒng)載荷平衡方程。定性地研究行星輪的偏心誤差，齒圈的支撐剛度，行星輪的支撐剛度以及一級行星架的扭轉(zhuǎn)剛度等參數(shù)對系統(tǒng)靜態(tài)均載特性行為的影響，并據(jù)此得到一些理論分析結(jié)果。該研究延伸和擴展了對雙排行星輪系均載特性行為的認識，并為進一步進行動力學均載行為的理論和實驗研究形成一定的基礎(chǔ)，同時也為雙排行星輪系的設(shè)計提供一定的 參考。

雙排行星齒輪系；靜態(tài)均載；支撐剛度；偏心誤差；扭轉(zhuǎn)剛度

行星齒輪傳動系統(tǒng)具有空間緊湊、高功率密度以及低噪聲等特性，使得其在實際應用中比平行軸傳動系統(tǒng)具有更廣泛的應用前景。行星輪系包含多個行星輪以用來傳遞和分解作用在輪系中的某一構(gòu)件上(太陽輪、內(nèi)齒圈或行星輪)的輸入扭矩，這極大地降低了單對齒輪嚙合對之間的嚙合力，同時也有效地減少了空間的占用。然而，由于系統(tǒng)存在制造誤差、安裝誤差以及磨損等因素，導致作用在每個行星輪上的載荷分布不一致。有關(guān)于行星齒輪傳動的均載特性的問題，國內(nèi)外眾多學者已經(jīng)進行了大量的理論和實驗研究，也提出了很多新的模型和方法，有些已經(jīng)得到論證，并應用于工程。Seager[1]提出利用一個簡化的模型來證明浮動的太陽輪對具有3~6個行星輪傳動系統(tǒng)均載性能的重要性。Kahraman[2]構(gòu)建了一個行星齒輪系的動力學模型，該模型可以用來設(shè)定具有任意個數(shù)的行星輪，以及任意可能的相應的齒輪尺寸和公差帶，和固定或者浮動的太陽輪，同時針對其提到的相關(guān)變量進行了有限的參數(shù)化研究。Kahraman[3]利用數(shù)學模型和實驗，再次研究了行星齒輪系統(tǒng)的均載特性，并且借助一個含有4個行星輪的實驗來驗證其數(shù)學模型。Bodas等[4]利用建立行星輪系的有限元模型來研究各種誤差對均載特性行為的影響，最后，他們根據(jù)各種誤差對均載特性的不同影響將其分為3個不同類別。Ligata等[5]在Kahraman[3]研究基礎(chǔ)上進行了進一步的研究，但只是在他們的理論研究中增加了行星輪的個數(shù)以及扭矩等參數(shù)，且實驗結(jié)果和理論分析獲得了一致。Ligata等[6]和Singh[7]提出了一個簡化的模型用來預測行星輪的均載特性。其他的一些理論研究包括Gu等[8]和Montestruc[9]都證實了之前的研究。最新的研究由 Boguski等[10]完成，他們提出一個新的方法來測量行星齒輪系中行星輪的均載和太陽輪的徑向運動軌跡。一些國內(nèi)外學者還針對行星輪彈性支撐軸進行了理論和實驗研究，認為彈性支撐軸可以改善行星輪系的均載性能。Hicks[11]提出一個新的方法來使行星輪獲得更低的支承剛度，即當行星架是懸臂梁結(jié)構(gòu)時，行星輪的支承可以利用雙懸臂梁銷軸和套筒聯(lián)接的結(jié)構(gòu)來降低支承剛度。Fox等[12]進一步擴展了Hicks[11]的方法，他們在銷軸上加工了凹槽來進一步降低行星輪的支承剛度，然而這種設(shè)計的代價是提高了銷軸的彎曲應力。后來Fox等[13]在論文中討論了他們的設(shè)計，并用實驗研究來證明他們的“彈性銷”設(shè)計極大地改善了均載性能，尤其是當行星輪個數(shù)越多時效果越好。Montestruc[14]論證了這種設(shè)計，并且定量地分析了其優(yōu)點。國內(nèi)學者從事行星齒輪的均載特性的研究相對較晚，方宗德等[15]利用Fourier級數(shù)方法求解了2K?H型行星減速系統(tǒng)的運動微分方程，并計算了齒輪偏心誤差對齒輪載荷均勻性的影響。肖鐵英等[16]建立了NGW型行星齒輪結(jié)構(gòu)的計算模型，并提出了當量嚙合誤差和等效嚙合剛度的概念。袁茹等[17]定量地描述了不同支承剛度下功率在各行星輪間分配不均衡程度和嚙合動載荷波動程度。陸俊華等[18]建立了2K?H型行星傳動系統(tǒng)的計算模型，從靜力學角度分析了系統(tǒng)的均載機理。葉福明等[19]建立了非等模數(shù)非等壓力角NGW型行星齒輪系的靜態(tài)均載特性的計算模型，得到一些理論研究結(jié)果。盡管國內(nèi)外眾多學者已經(jīng)進行了大量的關(guān)于行星輪系均載特性的研究，然而到目前為止，幾乎都是針對單排行星齒輪系，尚沒有涉及雙排行星輪系的建模和均載特性研究。為此，本文作者提出一個不考慮動態(tài)效應的關(guān)于雙排行星輪系的計算模型，系統(tǒng)并定性地分析了包括行星輪偏心誤差，支承剛度，內(nèi)齒圈的支撐剛度以及一級行星架的扭轉(zhuǎn)剛度等參數(shù)對系統(tǒng)靜態(tài)均載特性的影響，并由此得出一些理論結(jié)果。

1 雙排行星齒輪系統(tǒng)的建模

1.1 物理模型

雙排行星齒輪系統(tǒng)由兩排獨立的行星輪系組成，并由第1級行星架1和第2級太陽輪2的輸入軸聯(lián)接在一起，兩排行星輪系的連接部件(后文稱為中間部件)具有一定的扭轉(zhuǎn)剛度c1s2，以用來傳遞動力，如圖1所示。第1級的太陽輪1可徑向浮動，行星輪1i和2i由安裝在行星架上的銷軸和軸承來支承，其支承剛度分別為p1和p2。在一些典型的減速器結(jié)構(gòu)中，內(nèi)齒圈1和2為由長薄壁圓筒支撐，具有一定的支撐剛度r1和r2，以獲得更好的均載特性。原動機的扭轉(zhuǎn)D作用在1級太陽輪1上，外部負載L作用在2級行星架2的輸出軸上。

圖1 雙排行星齒輪系統(tǒng)動力傳動原理圖

考慮到第1級和第2級行星輪系間的共同特性，故可利用第1級行星齒輪系統(tǒng)為例來說明雙排行星齒輪系統(tǒng)的自由度，如圖2所示。內(nèi)齒圈存在彈性支撐，故認為具有2個平動自由度r1和r1，徑向浮動的太陽輪具有3個自由度，包括轉(zhuǎn)動自由度s1、水平方向位移自由度s1和垂直方向位移自由度s1。行星輪也具有3個自由度，包括繞安裝銷軸的轉(zhuǎn)動自由度pi、沿著行星輪和太陽輪中心連線方向的位移自由度pi和與之垂直的位移自由度pi。行星架由于安裝軸承對其在徑向位移的限制，使得其只有一轉(zhuǎn)動自由度c1。另外，盡管第2級行星輪系的太陽不具備徑向浮動能力，但是同樣具有3個自由度，即s2，s2和s2?；谝陨戏治觯诘?級行星輪系有個行星輪和第2級行星輪系具有個行星輪的雙排行星齒輪系統(tǒng)中，共存在12+3(+)個廣義坐標，如下式所示。

式中：i=1，2，…，N；j=1，2，…，M。

1.2 幾何關(guān)系

1.2.1 行星輪在嚙合線上的等效偏心誤差

為了便于研究，本文進行簡化處理，假定所有齒輪為標準的漸開線直齒齒輪，不考慮變位系數(shù)的影響，忽略軸承的支承間隙和齒輪嚙合副的齒側(cè)間隙，同時認為行星架的安裝和制造誤差均包含在行星輪的偏心誤差中[19]。圖3顯示了行星輪系中各齒輪的偏心誤差在太陽輪和行星輪的嚙合線(外嚙合)以及行星輪和內(nèi)齒圈的偏心誤差在嚙合線(內(nèi)嚙合)上的等效誤差的幾何關(guān)系。由圖3(a)可以得到太陽輪和行星輪分別在外嚙合線上的等效偏心誤差并可以表示為

式中：=1，2，…，；和分別為太陽輪和行星輪在外嚙合線上的等效偏心誤差；為太陽輪相對行星架的轉(zhuǎn)動頻率且等于；為行星輪相對行星架的轉(zhuǎn)動頻率且等于；為太陽輪的轉(zhuǎn)動頻率；p和s分別為行星輪和太陽輪的齒數(shù)；和分別為太陽輪和行星輪偏心誤差的初始相位角；為齒輪壓力角。

(a) 太陽輪和行星輪的偏心誤差在外嚙合線上等效誤差；(b) 行星輪和內(nèi)齒圈的偏心誤差在內(nèi)嚙合線上等效誤差

另外根據(jù)圖3(b)所描述的幾何關(guān)系，可以得到行星輪和內(nèi)齒圈的偏心誤差在內(nèi)嚙合線上的等效誤差和分別為

1.2.2 齒輪的平動在嚙合線上的等效位移

由于太陽輪、行星輪和內(nèi)齒圈存在平動位移，而此位移在一定程度上影響了嚙合副間的彈性嚙合力，故有必要將其分別投影到內(nèi)外嚙合線上獲得其在嚙合線上的等效位移，從而用于彈性嚙合力的計算。同樣地，取單排行星輪系為例來分析它們之間的幾何關(guān)系，根據(jù)圖4可以得到各齒輪在各自坐標系中的平動位移在相應嚙合線上的等效位移如下：

(a) 太陽輪的平動在外嚙合線上的等效位移；(b) 行星輪的平動在內(nèi)外嚙合線上的等效位移；(c) 行星輪的平動在內(nèi)外嚙合線上的等效位移

1.3 彈性嚙合力

取單排行星輪系為例來計算輪系中內(nèi)外各嚙合副間的彈性嚙合力，可由如下公式得到：

式中：=1，2，…，；spi和rpi分別為太陽輪和行星輪以及行星輪和內(nèi)齒圈之間的彈性嚙合力。spi()和rpi()分別為內(nèi)外嚙合線上的時變嚙合剛度，可以用傅里葉級數(shù)來表示，為簡化計算，此處只取一次基頻諧波項。spi和rpi分別為內(nèi)外嚙合線上的相對位移，如下式所示：

式中：=1，2，…，；s1和pi分別為太陽輪和行星輪的基圓半徑；spi()和rpi()分別為在外嚙合和內(nèi)嚙合線上的時變綜合誤差；和為嚙合副間的靜態(tài)傳遞誤差[20?21]的幅值；和分別為靜態(tài)傳遞誤差的初始相位；為內(nèi)外嚙合副的嚙合齒頻，并可以證明其等于。

1.4 系統(tǒng)載荷平衡方程

根據(jù)如上分析且在不考慮動態(tài)效應的情況下，可以推導出雙排行星齒輪系統(tǒng)的靜態(tài)載荷平衡方程，如下式所示：

式中：=1，2，…，；=1，2，…，；和分別為第1級和第2級行星輪系的行星輪的支承剛度；r1和r2分別為第1級和第2級輪系內(nèi)齒圈的支撐剛度；為中間部件的扭轉(zhuǎn)剛度；s2為第2級輪系中太陽輪的支承剛度；c1和c2分別為第1級和第2級的行星架的等效半徑；s1和s2分別為第1級和第2級的太陽輪的基圓半徑；和分別為第1級和第2級中第個和第個行星輪的基圓半徑；和分別為第1級行星輪系中第個行星輪在內(nèi)外嚙合線上的彈性嚙合力；和分別為第2級行星輪系中第個行星輪在內(nèi)外嚙合線上的彈性嚙合力；D和L分別為系統(tǒng)的輸入扭矩和負載扭矩，可通過系統(tǒng)的輸入功率和輸入轉(zhuǎn)速求得。

2 雙排行星輪系的靜態(tài)均載特性的參數(shù)研究

為了從實際應用的角度來分析支承剛度和扭轉(zhuǎn)剛度等系統(tǒng)參數(shù)對雙排行星輪系的靜態(tài)均載特性的影響，本文從一個真實的齒輪傳動系統(tǒng)中提取出相關(guān)參數(shù)，如表1所示。另外由于輸入和輸出扭矩的波動取決于原動機和負載，很難消除和測量，因此本文忽略了它們的波動量。方程(6)的解可以通過傅里葉級數(shù)法[15]求得，該方法是將系統(tǒng)平衡方程的剛度矩陣、阻尼矩陣和解向量進行定?；?，并略去二階小量，最后利用利用線性疊加原理獲得系統(tǒng)的解向量。

表1 雙排行星齒輪系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)參數(shù)

將方程(6)的解向量代入式(4)，可以得到各級輪系中行星輪在外嚙合副間的嚙合力和，結(jié)合兩級行星輪系的輸入扭矩1和2，可以得到各級輪系中單個行星輪的均載系數(shù)和為

式中：=1，2，…，；=1，2，…，。

最后可以通過下式分別得到第1級和第2級行星齒輪系統(tǒng)的靜態(tài)均載系數(shù)[18?19]和：

式中：=1，2，…，；=1，2，…，。

2.1 行星輪的偏心誤差對系統(tǒng)均載特性的影響

圖5顯示了當系統(tǒng)在一組確定的參數(shù)下，且相對阻尼比=0.03和輸入轉(zhuǎn)速=3 000 r/min，第1級和第2級行星輪的偏心誤差在0~80 μm范圍內(nèi)單獨變化時分別對第1級和第2級行星輪系均載系數(shù)的影響。從圖5(a)可以看出：當?shù)?級行星輪的偏心誤差逐漸增加時，第1級輪系的均載系數(shù)近似線性地增加了近3%，而第2級輪系的均載系數(shù)幾乎保持不變，說明第1級行星輪偏心誤差對第2級輪系均載的影響可以忽略不計。另外，從圖5(b)可以看出：隨著第2級行星輪偏心誤差的增長，第1級輪系的均載系數(shù)近似線性增長了3%，而第2級輪系的均載系數(shù)則非線性地增長了35%，這表明兩級輪系之間由于第2級行星輪的偏心誤差相關(guān)的耦合項產(chǎn)生了一定的耦合作用。比較圖5(a)和5(b)可以看出：在雙排行星輪系的傳動系統(tǒng)中，第2級行星輪的偏心誤差對系統(tǒng)的均載特性影響較大。同時可以判斷出，與第1級行星輪偏心誤差對其自身均載的影響相比，均載系數(shù)對第2級行星輪的偏心誤差具有更高的靈敏度。

(a) 第1級行星輪偏心誤差單獨變化時第1級和第2級輪系的均載系數(shù)；(b) 第2級行星輪偏心誤差單獨變化時第1級和第2級輪系的均載系數(shù)

2.2 內(nèi)齒圈的支撐剛度對系統(tǒng)均載特性的影響

根據(jù)現(xiàn)有關(guān)于2K?H型行星輪系的均載特性方面的文獻來看，幾乎所有的計算模型都將內(nèi)齒圈完全固定，不考慮其支撐變形所帶來的影響。然而在一些實際應用中，內(nèi)齒圈由長薄壁圓柱體支撐，帶有一定的彈性，這種設(shè)計被認為對系統(tǒng)的均載性能有一定的改進作用，盡管這種作用到目前為止還沒有在理論和實驗中證實過。為了在理論上驗證這種彈性支撐齒圈的設(shè)計對改善均載性能的具體影響，本文通過一個實際算例來說明其作用。圖6顯示了系統(tǒng)在輸入轉(zhuǎn)速= 3 000 r/min和相對阻尼比=0.03的情況下，系統(tǒng)均載系數(shù)隨著各級齒圈支撐剛度單獨變化時的曲線。從 圖6(a)可以看出：當?shù)?級齒圈的支撐剛度從100 MN/m到1 000 MN/m逐漸增加時，第1級輪系的均載系數(shù)增加了2%左右，而第2級輪系的均載系數(shù)幾乎沒有變化。另外，從圖6(b)可以看出：隨著第2級齒圈的支撐剛度的增長，第1級輪系的均載系數(shù)同樣幾乎沒有變化，而第2級輪系的均載系數(shù)則大幅增長了15%左右。以上實例分析從理論上證明了彈性支撐齒圈的設(shè)計的確可以優(yōu)化行星輪系的均載性能。另外通過比較圖5和圖6，可以發(fā)現(xiàn)一個共同點，即第2級輪系的參數(shù)(包括行星輪的偏心誤差和齒圈的支撐剛度)跟第一級輪系的參數(shù)相比，其對均載系能的影響更大，靈敏度也更高。經(jīng)過初步研究，這可能是由于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)所導致，如第1級和第2級行星輪的個數(shù)的不同，以及各級相對應的行星輪、太陽輪，內(nèi)齒圈的齒數(shù)和模數(shù)的不同均可能導致該現(xiàn)象，最終結(jié)論還需要通過更多的計算實例來進行對比分析得到。

(a) 第1級內(nèi)齒圈支撐剛度單獨變化時第1級和第2級輪系的均載系數(shù)；(b) 第2級內(nèi)齒圈支撐剛度單獨變化時第1級和第2級輪系的均載系數(shù)

2.3 行星輪支承剛度對系統(tǒng)均載特性的影響

圖7顯示了系統(tǒng)在輸入轉(zhuǎn)速為3 000 r/min以及低阻尼=0.03工況下運行時，當?shù)?級和第2級行星輪的支承剛度從100 MN/m到500 MN/m之間單獨變化時系統(tǒng)各級輪系的均載系數(shù)的變化曲線。從圖7(a)可知：隨著第1級行星輪支撐剛度的增加，第1級輪系的均載系數(shù)近似線性地增加20%，而第2級輪系的均載系數(shù)幾乎沒有變化。但是從圖7(b)可以看出：隨著第2級行星輪的支承剛度的增長，第2級輪系的均載系數(shù)則呈現(xiàn)非線性的增長15%，且第1級輪系的均載系數(shù)也隨之增長8%，這說明兩級行星輪系之間由于第2級行星輪的支承剛度的影響而存在一定的耦合作用。從圖7(a)和7(b)可以看出：各級行星輪的支承剛度對其所歸屬的行星輪系的均載性能都有著顯著的影響。另外，盡管在一些具體參數(shù)未知的情況下，文中2.1和2.3節(jié)的計算和分析結(jié)果跟現(xiàn)有的關(guān)于單對行星輪系的均載特性的理論和實驗研究具有較好的一致性[17, 22?25]，同時這也證明了雙排行星齒輪傳動系統(tǒng)模型的正確性。需要注意的是，雖然從2.2節(jié)和2.3節(jié)的分析可知，降低內(nèi)齒圈和行星輪的支承剛度有利于系統(tǒng)均載性能，然而過度提高均載性能將影響結(jié)構(gòu)本身強度和壽命，這需要在設(shè)計的過程中綜合考慮行星輪系的各項指標，國外已經(jīng)有多個針對行星輪支承結(jié)構(gòu)的文獻來討論如何改進設(shè)計來降低銷軸的支承剛度以獲得更優(yōu)的均載性能[11?14]。

(a) 第1級行星輪支承剛度單獨變化時第1級和第2級輪系的均載系數(shù)；(b) 第2級行星輪支承剛度單獨變化時第1級和第2級輪系的均載系數(shù)

2.4 中間部件的扭轉(zhuǎn)剛度對系統(tǒng)均載特性的影響

中間部件的扭轉(zhuǎn)剛度對兩級行星輪系的靜態(tài)均載特性有著重要意義。如圖8所示，系統(tǒng)在輸入轉(zhuǎn)速= 3 000 r/min，相對阻尼比=0.03的工況下，隨著扭轉(zhuǎn)剛度從20 MN?m/rad增長到80 MN?m/rad，第1級行星輪系的均載系數(shù)以緩慢的速度并單調(diào)地降低了1%左右，而第2級行星輪系的均載系數(shù)則單調(diào)地增長了8%。可以明顯地看出中間部件的扭轉(zhuǎn)剛度對第1級行星輪系的均載系數(shù)影響較弱，而對第2級行星輪系的均載系數(shù)影響較大。另外，由于兩級行星輪系的均載系數(shù)的特性曲線具有不同的單調(diào)性(第1級輪系單調(diào)減小，第2級輪系單調(diào)增大)，這意味著必有一平衡點存在，且通過多個算例證明該平衡點是普遍存在的，并不僅僅限于某一特殊的參數(shù)條件，這意味著在實際的雙排行星齒輪系統(tǒng)的設(shè)計中，當考慮扭轉(zhuǎn)剛度對各級輪系的均載特性的影響時，對該平衡點的分析和控制顯得尤其重要。

1—第1級行星輪系；2—第2級行星輪系

3 結(jié)論

1) 建立了雙排行星輪系傳動系統(tǒng)的靜力學均載計算模型，模型中考慮了時變嚙合剛度、行星輪支承剛度、中間部件的扭轉(zhuǎn)剛度和靜態(tài)傳遞誤差等參數(shù)，并針對該模型進行了靜態(tài)均載特性的參數(shù)研究。

2) 第1級和第2級輪系中的行星輪偏心誤差對系統(tǒng)的靜態(tài)均載特性有較大影響，且兩級行星輪系之間通過該參數(shù)存在一定的彈性耦合。

3) 從理論上證明了兩級輪系中內(nèi)齒圈的彈性支撐設(shè)計能夠改善系統(tǒng)的均載性能，且通過降低第2級內(nèi)齒圈的支撐剛度對改善靜態(tài)均載性能的貢獻更大。

4) 行星輪的支承剛度對系統(tǒng)靜態(tài)均載特性有顯著的影響，且第2級行星輪的支承剛度對其均載的影響更明顯，其變化對均載系數(shù)也更敏感，同時兩級輪系之間通過該參數(shù)存在較弱的耦合效應。

5) 中間部件的扭轉(zhuǎn)剛度對第1級輪系的靜態(tài)均載特性影響較小，而對第2級輪系的均載影響則較大。第1級和第2級輪系的靜態(tài)均載特性曲線上的平衡點對雙排行星齒輪的設(shè)計具有指導意義。

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Static load sharing behavior of double-row planetary gear train

SHENG Dongping, ZHU Rupeng, JIN Guanghu, LU Fengxia, BAO Heyun

(College of Mechanical and Electrical Engineering, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China)

A new model for analyzing the static load sharing characteristics of double-row planetary gear set was proposed, and planet’s eccentricity error, static transmission error, and time-varying meshing stiffness were taken into consideration. The equilibrium equations were determined by the method of Fourier series, and the behavior of static load sharing characteristics affected by the system parameters including gear eccentricity error, ring gear’s supporting stiffness, planet’s bearing stiffness and torsional stiffness of first stage carrier were investigated quantitatively. Theoretical analysis extends our current understanding of behavior of static load sharing characteristics, forms the basis of further theoretical and experimental research, and provides guidelines for the designing of the double-row planetary gear transmission system.

double-row planetary gear; static load sharing; supporting stiffness; eccentricity error; torsional stiffness

10.11817/j.issn.1672-7207.2015.10.012

TH132

A

1672?7207(2015)10?3637?09

2015?02?22；

2015?05?17

國家自然科學基金資助項目(51375226)；高等學校博士學科點專項科研基金資助項目(20113218110017)；江蘇省高校優(yōu)秀學科建設(shè)工程資助項目(PAPD)；江蘇省研究生創(chuàng)新基金資助項目(CXZZ11_0199)；中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金資助項目(NZ2013303，NZ2014201)(Project (51375226) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project (20113218110017) supported by the Doctoral Program Foundation of Institutions of Higher Education of China; Project (PAPD) supported by the Priority Academic Program Development of Jiangsu Higher Education Institutions, China; Project (CXZZ11_0199) supported by the Funding of Jiangsu Innovation Program for Graduate Education, China; Projects (NZ2013303, NZ2014201) supported by the Fundamental Research Funds for the Central)

朱如鵬，博士，教授，從事齒輪傳動系統(tǒng)的動力學研究；E-mail：rpzhu@nuaa.edu.cn

(編輯 陳愛華)