鄭丹玲，穆 攀，田 凱，袁建國

(重慶郵電大學(xué)光通信與網(wǎng)絡(luò)重點實驗室，重慶400065)

1 引言

低密度奇偶校驗(Low Density Parity Check，LDPC)碼因逼近Shannon限的優(yōu)秀性能、低的譯碼復(fù)雜度，近些年來成為了編碼領(lǐng)域的研究熱點，特別是準循環(huán)LDPC(Quasi－cyclic LDPC，QC－LDPC)碼。QC－LDPC碼的奇偶校驗矩陣H由循環(huán)置換矩陣或零矩陣構(gòu)成[1]，同隨機構(gòu)造的LDPC碼相比，QC－LDPC碼有以下優(yōu)點:首先，QC－LDPC碼的編碼可以通過簡單的、呈線性復(fù)雜度的移位寄存器來實現(xiàn);其次，QC－LDPC碼可以由基礎(chǔ)矩陣表示，同H矩陣相比，基礎(chǔ)矩陣具有更小的尺寸，并且基礎(chǔ)矩陣利用循環(huán)置換矩陣可以很容易地擴展為H矩陣。所以，QC－LDPC碼具有編譯碼復(fù)雜度更低、硬件實現(xiàn)更簡單、存儲空間更少等優(yōu)點，如何構(gòu)造性能優(yōu)異的QC－LDPC碼一直以來都是人們研究的重點[2－3]。研究中發(fā)現(xiàn)，當 Tanner圖中含有長度較小的環(huán)時，該碼的糾錯性能就會下降，環(huán)的數(shù)量和大小的分布同碼的重量分布一樣對LDPC碼的性能有著重要影響。目前，已經(jīng)有許多消除小環(huán)的LDPC碼的構(gòu)造方法被提出，這些方法主要分為代數(shù)構(gòu)造[4－5]和隨機構(gòu)造[6－7]兩類。

本文結(jié)合這兩類方法，借助于遺傳算法(Genetic Algorithm，GA)提出了一種新的消除短環(huán)的碼字構(gòu)造方法，簡稱GA－QC－LDPC碼。該方法先使用遺傳算法消除基礎(chǔ)矩陣的四環(huán)得到六環(huán)的矩陣，再在此矩陣基礎(chǔ)上，消除六環(huán)得到八環(huán)，此種方法多次利用，即可得到符合要求環(huán)長的基礎(chǔ)矩陣。然后通過使用循環(huán)置換矩陣對基礎(chǔ)矩陣擴展，得到具有準循環(huán)結(jié)構(gòu)特性的LDPC碼，準循環(huán)特性決定了它比隨機構(gòu)造方法使用的存儲空間更小、編譯碼復(fù)雜度更低。仿真進一步顯示，GA－QC－LDPC比基于歐式幾何構(gòu)造方法、Gallager隨機構(gòu)造方法和Mackay隨機構(gòu)造方法構(gòu)造的LDPC碼在糾錯性能上更加優(yōu)異。

2 采用遺傳算法構(gòu)造QC－LDPC碼的方法

構(gòu)造LDPC碼的校驗矩陣最大問題是要防止出現(xiàn)短環(huán)，在Tanner圖中如果出現(xiàn)短環(huán)，其迭代譯碼時的信息在交換過程中就會變?yōu)橄嚓P(guān)的，阻止譯碼收斂或者收斂變慢，造成譯碼性能的急劇下降。此外，由文獻[8－9]看出，Tanner圖的最小環(huán)還與碼的最小距離有關(guān)，girth越大，最小距離也隨之增大，要增加碼間的最小距離可以反映到增加girth上來。所以，構(gòu)造性能良好的LDPC碼，可以集中反映到構(gòu)造大girth的LDPC碼上來。給定一個基礎(chǔ)矩陣，我們可以用下面定理檢測短環(huán)是否存在。

定理1(短環(huán)存在定理):對于一個m×n的基礎(chǔ)矩陣，存在短環(huán)的充分必要條件是

式中，s2k和s2k－1為基礎(chǔ)矩陣中的短環(huán)上兩個相鄰位置元素，P為循環(huán)置換矩陣的階數(shù)[1]。一般情況下，基礎(chǔ)矩陣的階數(shù)都比較小，因此，檢測矩陣中所有的元素相對容易。

遺傳算法作為一種優(yōu)化搜索算法，從初始種群的產(chǎn)生開始，然后對個體進行選擇復(fù)制、交叉和變異遺傳操作以產(chǎn)生新的個體，選擇可以將適應(yīng)性好的個體復(fù)制到下一代作為種群迭代的父代，交叉操作將選中的兩個個體的某段基因進行互換來產(chǎn)生新的個體，變異改變個體的某個基因產(chǎn)生新的個體。遺傳算法可使種群朝著最優(yōu)的方向發(fā)展。本文運用遺傳算法可以不斷增大Tanner圖中的girth，具體方法是利用遺傳算法消除基礎(chǔ)矩陣中的四環(huán)得到girth=6的矩陣，在此基礎(chǔ)上，消除六環(huán)得到girth=8的矩陣。總之，多次運用遺傳算法可分步提高girth，如圖1所示。

圖1 遺傳算法提高girth示意圖Fig.1 Diagram of improving girth based on Genetic Algorithm

2.1 消除四環(huán)得到girth為6的基礎(chǔ)矩陣方法

本小節(jié)運用遺傳算法消四環(huán)得到girth為六環(huán)的基礎(chǔ)矩陣，將基礎(chǔ)矩陣進行擴展可得到H矩陣。

(1)候選個體初始化

隨機產(chǎn)生N個個體，每個個體為一個m×n的候選個體矩陣，表示為si，組成初始種群。

(2)適應(yīng)度函數(shù)

基礎(chǔ)矩陣si中的girth盡可能地大，且矩陣si中環(huán)長為girth的環(huán)盡可能地少。根據(jù)定理1，計算候選個體矩陣中四環(huán)的數(shù)目，環(huán)數(shù)越少的個體適應(yīng)性越好。如果種群中個體不存在四環(huán)，則結(jié)束迭代;否則，繼續(xù)下一步操作。

對于某一個候選個體s，即m×n的矩陣，其四環(huán)搜索算法如下:

步驟1:在矩陣s中的第i1(i1=1，2，…，m)行，對于第 j1(j1=1，2，…，n)列，如果 s(i1，j1)≠0，則跳至步驟2;否則，繼續(xù)步驟1，直到j(luò)1＞n時跳到第i1＞m時結(jié)束;

步驟2:對于第 j2(j2＞ j1)列，如果 s(i1，j1)≠0，則跳至跳至步驟3;否則，繼續(xù)步驟2，直到j(luò)2＞n時跳至步驟1;

步驟3:對于第i2(i2＞ i1)行，如果 s(i2，j2)≠0且s(i2，j1)≠0，則跳至步驟4;否則，繼續(xù)步驟3，直到i2＞m時跳至步驟2;

步驟4:如果滿足 s(i2，j2)－ s(i2，j1)+s(i1，j2)－s(i1，j1)=0(模 P)，則四環(huán)個數(shù) girth4_num=girth4_num+1;否則跳至步驟3。

(3)選擇

選出一個含girth=4最少的個體矩陣直接遺傳至下一代，并復(fù)制該個體一次。將girth=4含環(huán)數(shù)最多的個體直接淘汰，保持種群規(guī)模不變。

(4)交叉

對其余個體，隨機選取一對個體sa和sb，進行單點交叉，產(chǎn)生兩個新的個體sx和sy。本小節(jié)中的交叉方式主要分為行向量單點交叉和列向量單點交叉兩種。

1)行向量單點交叉

將基礎(chǔ)矩陣sa和sb表示為

式中，ra(i)和rb(i)是長度為n的行向量。

矩陣sa和sb的行向量表示形式為

矩陣A和B單點交叉后產(chǎn)生的新個體為

式中，X、Y即為矩陣sx、sy的行向量表示形式。

2)列向量單點交叉

將基礎(chǔ)矩陣sa和sb表示為

式中，ca(i)和cb(i)是長度為m的列向量。矩陣sa和sb列向量單點交叉后產(chǎn)生的新個體為

行向量交叉會產(chǎn)生重量為0或1的列向量，導(dǎo)致誤碼率的增加。因此，本文采用列向量單點交叉方式，交叉概率設(shè)為0.9。

(5)變異

對種群中的所有候選個體，隨機變異矩陣中某一四環(huán)上的任意元素，即將該元素變?yōu)殡S機生成的某個數(shù)，變異概率設(shè)為0.1。

2.2 消除六環(huán)得到girth為8的基礎(chǔ)矩陣方法

將2.1節(jié)最終產(chǎn)生的種群作為本節(jié)中候選的初始種群。消除六環(huán)的方法與消除四環(huán)的方法基本相同，不同點在于:一是交叉操作可能會產(chǎn)生新的四環(huán)，所以交叉操作被禁止;二是變異操作更改為:對所有候選個體，隨機刪除矩陣中某一六環(huán)上的元素，即將非零元素變?yōu)椤?”。為了減小低重量碼字對性能的影響，選擇重量較大列的非零元素進行刪除操作。

消除八環(huán)得到girth為10的基礎(chǔ)矩陣的方法同以上方法。

2.3 復(fù)雜度分析

本文提出的基于girth選擇遺傳算法構(gòu)造LDPC碼方法的復(fù)雜度主要集中在適應(yīng)度評價函數(shù)上，即搜索短環(huán)的過程中。本節(jié)主要介紹其時間復(fù)雜度，即搜索短環(huán)消耗的時間。

假設(shè)一個種群中有N個候選個體矩陣，每一個候選個體為m×n的矩陣，所有的候選個體矩陣在初始化時所有元素都為非零值。搜索四環(huán)的復(fù)雜度如式(7)所示:

在六環(huán)檢測過程中，候選個體矩陣中元素已經(jīng)不全是非零值。隨著種群迭代次數(shù)的增加，非零元素會相應(yīng)減少，故假設(shè)迭代一次后候選個體矩陣的行重和列重分別為ρ和γ，搜索六環(huán)的復(fù)雜度如式(8)所示:

由式(8)可得，搜索六環(huán)的復(fù)雜度與種群大小N、候選個體矩陣的行數(shù)m和列數(shù)n、行重ρ和列重γ有關(guān)。一般情況下，基礎(chǔ)矩陣都是非常小的矩陣，所以搜索短環(huán)相對容易。

3 仿真及性能分析

本文所進行的仿真都采用二進制相移鍵控(Binary Phase Shift Keying，BPSK)調(diào)制方式、置信傳播(Belief－Propagation，BP)譯碼算法，在加性高斯白噪聲(Additive White Gaussian Noise，AWGN)信道下進行性能仿真。首先，對(530，265)GA－QC－LDPC碼在不同譯碼迭代次數(shù)(Iteration分別為1、5、10、20和50)下的糾錯性能進行對比分析，仿真性能曲線如圖2所示。由圖2可知凈編碼增益(Net Code Gain，NCG)隨著迭代次數(shù)的增大而提高，但當?shù)螖?shù)增加到一定值時，NCG的變化非常小?？紤]到增加迭代次數(shù)會增加譯碼的時間，因此，本文選擇最大譯碼迭代次數(shù)為20次。

圖2 不同迭代次數(shù)下GA－QC－LDPC碼性能對比Fig.2 Performance comparison of GA －QC －LDPC codes with different iterations

圖3 是關(guān)于 GA－QC－LDPC(610，305)碼在girth分別為4、6、8和10下的誤碼率(Bit Error Rate，BER)和誤幀率(Frame Error Rate，F(xiàn)ER)性能比較。從圖中可以看出，girth分別為4、6、8和10時，在Eb/N0=3 dB的情況下，所對應(yīng)的BER分別約為2.0×10－3、9.8 ×10－4、6.6 ×10－5和5.4 ×10－6，印證了隨著girth不斷增加，碼的糾錯性能越來越好。

圖3 不同girth的GA－QC－LDPC碼仿真性能對比Fig.3 Performance comparison of GA －QC －LDPC codes with different girth

最后將GA－QC－LDPC碼與基于歐式幾何構(gòu)造方法[10]、Gallager隨機構(gòu)造方法[11]和 Mackay 隨機構(gòu)造方法[12]進行比較，如圖4所示。從圖4中我們可以看出，在BER為10－6時，GA－QC－LDPC碼同其他構(gòu)造方法相比有不同程度的性能提升，與基于歐式幾何、Gallager和Mackay隨機構(gòu)造方法相比，凈編碼增益分別提升了0.15 dB、0.5 dB和0.2 dB。

圖4 GA－QC－LDPC碼與其他LDPC碼的糾錯性能比較Fig.4 Performance comparison between GA －QC －LDPC code and other LDPC codes

通過上述仿真可知，本文提出的算法具有優(yōu)于隨機構(gòu)造方法的性能。此外，由于GA－QC－LDPC碼具有準循環(huán)性，因此其編碼復(fù)雜度要低于隨機構(gòu)造方法。

4 結(jié)束語

本文研究了基于Gallager和Mackay的隨機構(gòu)造方法，發(fā)現(xiàn)隨機構(gòu)造方法構(gòu)造的校驗矩陣不具有確定的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，導(dǎo)致編譯碼復(fù)雜度高、存儲困難、硬件難以實現(xiàn)等缺陷，為此，提出了一種使用遺傳算法構(gòu)造QC－LDPC碼的方法，通過分步、多次使用遺傳算法設(shè)計出大girth、具有準循環(huán)特性的LDPC碼，克服了隨機碼因無數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)造成的不足。仿真結(jié)果在驗證了QC－LDPC碼的性能隨著girth的增加而提升的同時，也表明本文構(gòu)造出的GA－QCLDPC碼具有比RS和兩種典型隨機方法構(gòu)造的LDPC碼更好的糾錯性能。

在今后的研究工作中，可以在本文提出的算法基礎(chǔ)上，考慮其他的方式來替代遺傳算法中的變異操作。因為本文中是通過將環(huán)上的元素置零以此來實現(xiàn)消除短環(huán)的目的，這種方法會減小校驗矩陣的行重和列重，導(dǎo)致出現(xiàn)低重量的碼字，降低LDPC碼的糾錯性能。

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