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（武漢科技大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，武漢　430065）

面向計(jì)算思維能力培養(yǎng)的離散數(shù)學(xué)教學(xué)研究

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（武漢科技大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，武漢430065）

0　引言

二十一世紀(jì)已經(jīng)邁入了信息時(shí)代，信息資源呈爆炸式增長(zhǎng)，社會(huì)競(jìng)爭(zhēng)更加激烈。如何培養(yǎng)具有創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力的應(yīng)用型人才以適應(yīng)新時(shí)代的發(fā)展和需求，已成為當(dāng)前高校教育中面臨的亟待解決的首要問題。

作為三大科學(xué)思維方式之一的計(jì)算思維，是實(shí)現(xiàn)開拓創(chuàng)新的創(chuàng)新思維的重要組成部分。計(jì)算思維對(duì)于不同學(xué)科的大學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)均具有舉足輕重的重要作用，是創(chuàng)新教育的基礎(chǔ)內(nèi)容。高等教育工作者應(yīng)該將基于計(jì)算機(jī)科學(xué)的問題求解思路和方法貫穿于整個(gè)教學(xué)過程中，逐步培養(yǎng)大學(xué)生應(yīng)用計(jì)算手段進(jìn)行相關(guān)的學(xué)科研究和解決實(shí)際應(yīng)用問題的能力，為創(chuàng)新教育奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

離散數(shù)學(xué)主要研究離散量的結(jié)構(gòu)和相互關(guān)系，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分，它特別在計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。作為計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)的核心基礎(chǔ)課程，離散數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)專業(yè)許多重要專業(yè)課程（如數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、操作系統(tǒng)、算法設(shè)計(jì)與分析等）的必不可少的先行課程。離散數(shù)學(xué)的發(fā)展和計(jì)算機(jī)科學(xué)緊密相關(guān)，計(jì)算思維已融入了離散數(shù)學(xué)的整個(gè)知識(shí)體系。離散數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)，是要培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維、邏輯推理和縝密概括等能力，讓學(xué)生逐步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的視角、用數(shù)學(xué)的觀念來分析并解決實(shí)際應(yīng)用問題，這正是培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算思維能力的體現(xiàn)。

1　計(jì)算思維

2006年，美國(guó)卡內(nèi)基梅隆大學(xué)計(jì)算機(jī)系周以真教授首次在權(quán)威雜志Communications of The ACM上提出計(jì)算思維的概念。計(jì)算思維是指人們從計(jì)算機(jī)科學(xué)的角度去分析求解問題、設(shè)計(jì)系統(tǒng)并理解人類行為等一系列思維活動(dòng)［1］，是一種新的科學(xué)思維方式，其本質(zhì)是抽象和自動(dòng)化［2］。周教授認(rèn)為，計(jì)算思維應(yīng)該和閱讀、寫作、算術(shù)一樣，成為信息時(shí)代中我們每個(gè)人必須掌握的的基本技能，而不僅僅限于計(jì)算機(jī)科學(xué)家。

人們的計(jì)算思維活動(dòng)常常是無意識(shí)的，要培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算思維能力的關(guān)鍵是要將無意識(shí)的計(jì)算思維變成主動(dòng)的計(jì)算思維，讓學(xué)生學(xué)會(huì)有意識(shí)地用計(jì)算思維去解決各自專業(yè)領(lǐng)域的問題［3］。一個(gè)具備計(jì)算思維能力的人主要表現(xiàn)如下：能夠分辨哪些問題是可計(jì)算的，能夠了解用來解決計(jì)算問題的各種計(jì)算工具或技術(shù)，并熟悉這些工具或技術(shù)的優(yōu)勢(shì)、缺陷和適用范圍，能夠靈活使用分而治之等計(jì)算策略，具備選擇在合適的場(chǎng)合嘗試新計(jì)算工具的能力等［4］。

2　基于計(jì)算思維的教學(xué)案例設(shè)計(jì)

離散數(shù)學(xué)是一門研究離散量的結(jié)構(gòu)及其相互關(guān)系的課程。而計(jì)算機(jī)本身的結(jié)構(gòu)以及它所處理的對(duì)象都是離散型的，甚至許多連續(xù)型問題在被計(jì)算機(jī)處理前需要轉(zhuǎn)化為離散型形式。所以，計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)本質(zhì)上是一門離散數(shù)學(xué)技術(shù)。

計(jì)算機(jī)相關(guān)專業(yè)的學(xué)生學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)課程，首先要了解熟悉描述離散量的各種結(jié)構(gòu)以及在這些描述結(jié)構(gòu)下的性質(zhì)特征等。更重要的是，教師在講授這門課程時(shí)，要逐步培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用離散結(jié)構(gòu)建立實(shí)際應(yīng)用問題的抽象模型并在此基礎(chǔ)上分析問題和解決問題的能力，這種能力也正是計(jì)算機(jī)相關(guān)專業(yè)的學(xué)生具備計(jì)算思維能力的重要表現(xiàn)。而離散數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)就在于此。

計(jì)算思維的本質(zhì)是抽象和自動(dòng)化。下面，分別從知識(shí)體系和課堂教學(xué)兩個(gè)角度來介紹離散數(shù)學(xué)和計(jì)算思維的融合。

2.1融合計(jì)算思維的知識(shí)體系

離散數(shù)學(xué)主要包含數(shù)理邏輯、集合論、圖論和代數(shù)結(jié)構(gòu)，這四個(gè)部分分別提供了離散量的幾種抽象描述形式及相應(yīng)的研究方法，形成了一個(gè)有機(jī)的知識(shí)體系。同時(shí)，上述幾個(gè)部分的內(nèi)容相對(duì)獨(dú)立，各自成體系，很容易讓學(xué)生留下知識(shí)很零亂的印象。因此，教師在講授離散數(shù)學(xué)這門課程時(shí)，一定要從知識(shí)體系角度給學(xué)生介紹各個(gè)章節(jié)、各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，在學(xué)生腦海里建立起離散數(shù)學(xué)的整體知識(shí)體系。

以數(shù)理邏輯部分為例，表1給出了這一部分所涉及的知識(shí)點(diǎn)以及各知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)。

如表1所示，數(shù)理邏輯部分的知識(shí)可分成三大塊：符號(hào)化、公式和邏輯推理。命題符號(hào)化需要對(duì)真實(shí)世界中的命題進(jìn)行抽象，提取命題中主要關(guān)注的要素而忽略其他成分，將之用某種符號(hào)表示，并通過恰當(dāng)?shù)穆?lián)結(jié)詞將多個(gè)符號(hào)連接起來。一個(gè)命題可抽象成不同的形式描述（比如：一個(gè)命題可以用符號(hào)表示，也可以用謂詞形式描述），但往往只有一種形式是最適合的，描述形式的選取取決于抽象的目標(biāo)。數(shù)理邏輯的符號(hào)化部分正好體現(xiàn)了計(jì)算思維的抽象理念。而公式和邏輯推理部分則主要體現(xiàn)了計(jì)算思維的自動(dòng)化思想。等價(jià)公式變換和邏輯推理都有自身的規(guī)律和要求，整個(gè)過程可以用程序來自動(dòng)化完成。這個(gè)自動(dòng)化要保證對(duì)各種定律或推導(dǎo)規(guī)則的正確應(yīng)用和整個(gè)過程的邏輯嚴(yán)密性。

2.2結(jié)合計(jì)算思維的課程教學(xué)

在課堂教學(xué)中，教師要將計(jì)算思維的抽象和自動(dòng)化這兩個(gè)本質(zhì)思想貫穿于整個(gè)教學(xué)過程，讓學(xué)生不僅學(xué)會(huì)從抽象或自動(dòng)化的角度去認(rèn)識(shí)理解離散數(shù)學(xué)的各知識(shí)點(diǎn)，還要學(xué)會(huì)用抽象或自動(dòng)化的方法去分析和解決問題。

以偏序關(guān)系中的哈斯圖為例，闡述離散數(shù)學(xué)的具體知識(shí)點(diǎn)和計(jì)算思維之間的內(nèi)在聯(lián)系。

教師在講解哈斯圖時(shí)，除了要結(jié)合關(guān)系圖分析清楚它們之間的聯(lián)系和區(qū)別，還要從計(jì)算思維的角度來分析和闡明由關(guān)系圖生成哈斯圖的抽象和自動(dòng)化生成過程。

哈斯圖的提出主要是為了體現(xiàn)偏序關(guān)系中各個(gè)元素之間“序”的關(guān)系，而這些元素之間的“序”很難在普通關(guān)系圖中被直觀反映出來。哈斯圖可以看作是對(duì)普通關(guān)系圖的抽象，只關(guān)注或保留關(guān)系圖中能反映元素之間偏序關(guān)系的要素，摒棄和元素次序無關(guān)的因素（比如：關(guān)系圖中每個(gè)結(jié)點(diǎn)上的環(huán)，去掉多余的邊等），這正好體現(xiàn)并符合了計(jì)算思維的抽象特性。

而由關(guān)系圖建立哈斯圖的過程可以實(shí)現(xiàn)自動(dòng)化，其過程可以描述如下:

表1　離散數(shù)學(xué)中數(shù)理邏輯部分的知識(shí)點(diǎn)及其關(guān)聯(lián)

（1）刪除關(guān)系圖G中所有結(jié)點(diǎn)上的環(huán)；

（2）在圖G中，找出所有入度為0的結(jié)點(diǎn)并構(gòu)成集合A=｛a|點(diǎn)a的入度為0｝；

（3）從集合A中任取一個(gè)元素a，在哈斯圖中畫出該結(jié)點(diǎn)a；

（4）逐個(gè)分析關(guān)系圖中結(jié)點(diǎn)a的每條邊，如果邊的兩個(gè)端點(diǎn)之間不存在其他長(zhǎng)度大于等于2的有向通路，則在哈斯圖中保留該邊，否則，在哈斯圖中丟棄該邊；

（5）刪除集合A中的元素a，在關(guān)系圖中刪除結(jié)點(diǎn)a和與之相關(guān)的所有邊，并判斷關(guān)系圖中是否存在新的入度為0的結(jié)點(diǎn)，若有，則將之加入集合A；

（6）若集合A非空，轉(zhuǎn)步驟（3）；否則，結(jié)束。

相應(yīng)的流程圖如圖1所示。

相應(yīng)地，哈斯圖的解讀也要結(jié)合計(jì)算思維的抽象思想。哈斯圖中，兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間如果存在連線，則它們之間一定存在偏序關(guān)系，但是，不同于關(guān)系圖的是，如果哈斯圖中兩個(gè)結(jié)點(diǎn)間沒有直接相連的連線，則不能斷定它們之間一定不存在偏序關(guān)系。將偏序關(guān)系的關(guān)系圖抽象成哈斯圖后，任意兩個(gè)結(jié)點(diǎn)間的偏序關(guān)系是通過它們之間是否存在自下而上的通路來判斷的，如果存在，則兩個(gè)結(jié)點(diǎn)存在偏序關(guān)系，否則，就不存在偏序關(guān)系。因此，哈斯圖的解讀可以總結(jié)如下所述：若兩結(jié)點(diǎn)之間存在自下而上的通路，則該兩結(jié)點(diǎn)間存在偏序關(guān)系；若兩結(jié)點(diǎn)之間不存在自下而上的通路，則兩結(jié)點(diǎn)間不存在偏序關(guān)系。

3　結(jié)語

本文分析了計(jì)算思維和離散數(shù)學(xué)之間的內(nèi)在聯(lián)系，并以實(shí)例的形式論述如何將計(jì)算思維的抽象和自動(dòng)化兩個(gè)核心思想貫穿于離散數(shù)學(xué)的整個(gè)教學(xué)過程中，將計(jì)算思維的理念和離散數(shù)學(xué)的各部分知識(shí)點(diǎn)有機(jī)地結(jié)合起來。

圖1　由偏序關(guān)系的關(guān)系圖建立哈斯圖的流程圖

［1］J.M.Wing.Computational Thinking［J］.Communications of the ACM，2006，49（3）:33-35.

［2］J.M.Wing.Computational Thinking and Thinking about Computing［J］.Philosophical Transactions of the Royal Society，2008（366）: 3717-3725.

［3］Computational Thinking:a Problem Solving Tool for Every Classroom.http://csta.acm.org/Resources/sub/ResourceFiles/CompThinking. pdf

［4］J.M.Wing.Computational Thinking:What and Why？http://www.cs.cmu.edu/～CompThink/resources/TheLinkWing.pdf

Computational Thinking；Discrete Mathematics；Teaching Method；Abstraction

Research on Teaching of Discrete Mathematics that Computational Thinking Oriented

DENG Li
（School of Computer Science and Technology，Wuhan University of Science and Technology，Wuhan 430065）

1007-1423（2015）36-0043-04

10.3969/j.issn.1007-1423.2015.36.010

鄧?yán)颍?972-），女，湖北鐘祥人，博士，研究方向?yàn)樵朴?jì)算、并行計(jì)算

2015-11-17

2015-12-10

計(jì)算思維的教育理念已受到國(guó)內(nèi)外教育界人士的廣泛關(guān)注，也相應(yīng)地對(duì)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)的人才培養(yǎng)提出新的要求。通過分析計(jì)算思維和離散數(shù)學(xué)之間的內(nèi)在聯(lián)系，以案例的形式論述如何將計(jì)算思維的抽象和自動(dòng)化兩個(gè)核心思想貫穿于離散數(shù)學(xué)的整個(gè)教學(xué)過程中，將計(jì)算思維的理念和離散數(shù)學(xué)的各部分知識(shí)點(diǎn)有機(jī)地結(jié)合起來。

計(jì)算思維；離散數(shù)學(xué)；教學(xué)方法；抽象

Computational thinking has been viewed as a new and important educational idea by more and more educators around the world，which brings up new demands for the training of talents majored in computer science and technology.Analyses the relationship between computational thinking and discrete mathematics.Uses several cases，the methods are then presented to explain how to bring abstraction and automation concept of computational thinking throughout the teaching process and how to integrate computational thinking and discrete mathematics.