王 斌，邱忠才，韓旭東，姜曉鋒，高仕斌

（西南交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院，四川 成都 610031）

0 引言

我國高速鐵路動車組變流器均采用正弦脈寬調(diào)制（SPWM）技術(shù)，使得低次諧波含量大幅降低，但在開關(guān)頻率偶數(shù)倍附近產(chǎn)生了不可忽略的高次諧波。高次諧波電流在牽引網(wǎng)傳輸過程中，得到了不同程度的畸變和放大。當(dāng)牽引網(wǎng)參數(shù)和機(jī)車參數(shù)在某一頻率下匹配時，即認(rèn)為牽引網(wǎng)發(fā)生了諧波諧振，會引起避雷器、絕緣子、并聯(lián)補(bǔ)償裝置的爆炸等[1-4]。牽引網(wǎng)中的諧波諧振分為并聯(lián)諧振和串聯(lián)諧振，2種諧振的特性并不相同，并聯(lián)諧振產(chǎn)生節(jié)點(diǎn)過電壓，串聯(lián)諧振使回路中產(chǎn)生較大的諧波過電流，造成較大的線路電壓損耗，并對周遭的環(huán)境產(chǎn)生較大的電磁干擾。從這個角度而言有必要針對牽引網(wǎng)串聯(lián)諧振展開分析，從而對牽引網(wǎng)出現(xiàn)的諧波諧振危害，根據(jù)不同特性應(yīng)具體分析，采取不同的抑制措施。

頻譜分析法是當(dāng)前唯一能準(zhǔn)確識別諧振存在和確定串并聯(lián)諧振頻率的通用方法[5]，該方法是利用系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)阻抗矩陣的頻率掃描進(jìn)行分析，從而使每個節(jié)點(diǎn)都含有系統(tǒng)所有的諧振信息，因此不能有效分析串聯(lián)諧振。文獻(xiàn)[6-7]提出了模態(tài)分析法和S域分析法：模態(tài)分析是通過分析節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的特征根及特征向量的依頻性質(zhì)，得到相關(guān)的諧振信息；S域分析是將頻域轉(zhuǎn)化為復(fù)頻域，通過建立節(jié)點(diǎn)電壓輸出與節(jié)點(diǎn)電流注入的傳遞函數(shù)進(jìn)行分析，傳遞函數(shù)的極點(diǎn)即確定為并聯(lián)諧振頻率，其零點(diǎn)即可確定串聯(lián)諧振頻率。這些方法在分析節(jié)點(diǎn)過電壓即并聯(lián)諧振問題上已有統(tǒng)一的結(jié)論，但對串聯(lián)諧振的分析仍然沒有定論[8]。文獻(xiàn)[9-10]提出使用支路法分析串聯(lián)諧振，實(shí)際上非線性激勵源仍是諧波電流源，依然屬于并聯(lián)諧振范疇，而非串聯(lián)諧振。文獻(xiàn)[11]通過增加虛擬支路模擬諧波電壓源，通過增加回路阻抗矩陣維數(shù)得到了與頻譜分析法較一致的結(jié)論。若以頻譜法作為串聯(lián)諧振分析的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，文獻(xiàn)[11]提出的虛擬支路法將成為分析串聯(lián)諧振又一有效的手段，但該方法對于復(fù)雜系統(tǒng)或多導(dǎo)體傳輸線路的阻抗矩陣建模難度較大，且維數(shù)較高。本文將諧波電壓源及非線性負(fù)荷等效諧波阻抗轉(zhuǎn)換為諧波電流源與導(dǎo)納并聯(lián)形式，利用由節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣得到的關(guān)聯(lián)矩陣代替回路阻抗矩陣進(jìn)行串聯(lián)諧振分析，將虛擬支路法進(jìn)行改進(jìn)，使之成為分析串聯(lián)諧振的有效手段。

1 串聯(lián)諧振分析方法比較

圖1為簡單的電路系統(tǒng)，其諧振分析電路可等效為圖2。圖2中，ZP為該電路系統(tǒng)等效阻抗；XT1為變壓器阻抗；XT2為諧波源阻抗；XC為系統(tǒng)電容阻抗；Xsource為系統(tǒng)電源阻抗。

圖1 簡單電路系統(tǒng)Fig.1 Simple circuit system

圖2 等效諧振電路Fig.2 Equivalent resonant circuit

由圖2可見，從諧波源看進(jìn)去的系統(tǒng)阻抗為：

則串聯(lián)諧振頻率為：

并聯(lián)諧振頻率為：

可見，串聯(lián)諧振主要與串聯(lián)支路有關(guān)，而并聯(lián)諧振是由相互并聯(lián)的支路引起的。

利用頻譜法對圖1所示的電路進(jìn)行分析，可得系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)阻抗分布如圖3所示。圖中，3.84 p.u.、16.51 p.u.等為并聯(lián)諧振頻率相對工頻的標(biāo)幺值。按照節(jié)點(diǎn)驅(qū)動點(diǎn)阻抗最大為并聯(lián)諧振、最小為串聯(lián)諧振的判據(jù)，由圖3可見，該電路系統(tǒng)有3個并聯(lián)諧振頻率和6個串聯(lián)諧振頻率。分別利用模態(tài)阻抗回路法[8]、支路法[9-10]、虛擬支路法[11]對同一電路進(jìn)行諧振分析，得到該電路的阻抗分布如圖4所示。為便于和支路法比較，圖4中虛擬支路法和模態(tài)回路法得到的阻抗值均乘以了10。

圖3 頻譜法分析結(jié)果Fig.3 Results of resonance analysis by spectrum method

圖4 不同方法的諧振分析結(jié)果Fig.4 Results of resonance analysis by different methods

由圖4可見，支路法和模態(tài)回路法得到了相同的串聯(lián)諧振頻率，且與頻譜法得到的并聯(lián)諧振頻率相等，則可知其并非為串聯(lián)諧振，只有虛擬支路法得到了與圖3完全一致的分析結(jié)果。

虛擬支路法即假設(shè)在電路系統(tǒng)每一節(jié)點(diǎn)和參考節(jié)點(diǎn)之間增加一條連接支路，當(dāng)分析到該支路短接情況下的回路阻抗矩陣時，則將該支路的阻抗置為0，使其短路，而分析其他支路短接時，又將其置為無窮大，從而依次生成每一節(jié)點(diǎn)對參考節(jié)點(diǎn)短接時的節(jié)點(diǎn)阻抗，用模態(tài)分析其特征值，最后所得結(jié)果即可反映所有的串聯(lián)諧振點(diǎn)位置和諧振頻率[11]。然而，由于高速鐵路牽引供電系統(tǒng)的多導(dǎo)體分布特性和電路拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的動態(tài)變化性，利用虛擬支路法對其進(jìn)行諧波諧振分析仍然存在以下問題：對多導(dǎo)體分布參數(shù)的建模復(fù)雜且難以選取合理的獨(dú)立回路；回路的選取多種多樣，無法確定哪些回路對串聯(lián)諧振的影響程度；實(shí)際中的諧波電壓源并不是理想的，需要增加導(dǎo)納支路。

2 改進(jìn)虛擬支路法

串聯(lián)諧振可認(rèn)為是由諧波電壓源激勵產(chǎn)生的，即在極小的線路阻抗中產(chǎn)生較大的諧波電流。按非線性負(fù)荷的性質(zhì)，可將諧波電壓源等效為如圖5所示的戴維南等效電路，且根據(jù)諧波電壓源所在支路的形式不同[8，11-12]，可分別得到并聯(lián)支路和串聯(lián)支路的等效電路，如圖5（a）和 5（b）所示。圖中，k=1，2，…，n。

圖5 諧波電壓源等效電路模型Fig.5 Equivalent circuit model of harmonic voltage source

考慮到非理想情況下非線性負(fù)荷的阻抗特性和諧波電壓激勵特性，若Ze趨近于0，則可認(rèn)為該非線性負(fù)荷為理想諧波電壓源；若Ze趨于∞，則可認(rèn)為其為理想諧波電流源。實(shí)際中的諧波源并非理想的，故可將諧波電壓源等效為Ze和Norton電路的組合，其中yr為極大數(shù)值（導(dǎo)納極?。?，用于模擬電壓源內(nèi)阻抗，可選取為純電阻，如106S等。經(jīng)筆者分析發(fā)現(xiàn)，當(dāng)yr大于105S后，該電阻不會對諧振分析產(chǎn)生影響，該值越大，則分析精度越高，從而可按照導(dǎo)納極小的原則，將諧波電壓源等效為Ze和Norton電路的組合，即對電路系統(tǒng)增加導(dǎo)納支路。需要注意的是，Ze和Norton電路并不是簡單的并聯(lián)關(guān)系，Ze支路是對原諧波源阻抗的一種等效，而Norton電路是進(jìn)行串聯(lián)諧振分析所施加的激勵源，Norton電路需分別與系統(tǒng)中的所有節(jié)點(diǎn)連接，如對系統(tǒng)中的節(jié)點(diǎn)i，Norton電路需分別與系統(tǒng)中的n個節(jié)點(diǎn)進(jìn)行遍歷，故圖5中k=1，2，…，n。其物理意義與頻譜法一樣，不同的是該Norton電路是對節(jié)點(diǎn)進(jìn)行短路處理，而頻譜法是開路，這也是分析串聯(lián)諧振與并聯(lián)諧振的區(qū)別所在。

由上述等效電路，對于并聯(lián)型等效電路，可修改系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣為：

對于串聯(lián)型等效電路的系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣可修改為：

其中，上標(biāo)（k）表示將Norton電路依次連接在節(jié)點(diǎn)k（k=1，2，…，n），每次均進(jìn)行獨(dú)立的計算，且當(dāng)進(jìn)行yr（k）的時候其他 yr（·）均為 0。

此時，需要關(guān)注的是支路的電流響應(yīng)，而不是節(jié)點(diǎn)諧波電壓響應(yīng)。虛擬支路法為回路電流響應(yīng)，實(shí)質(zhì)上串聯(lián)支路電流也等于唯一經(jīng)過其的回路電流。在提取支路電流方法中，S域分析法和支路法均可達(dá)到這個目的，為計算方便，本文用支路法建立串聯(lián)支路電流與注入電流之間的對應(yīng)關(guān)系。

其中，cm為支路 m 的關(guān)聯(lián)行向量，元素值 cm，i=1、cm，j=-1、cm，else=0。

由矩陣Y的元素可獲知節(jié)點(diǎn)之間的連接關(guān)系和耦合程度，假設(shè)有r條獨(dú)立的串聯(lián)支路，按照初始節(jié)點(diǎn)從小到大的順序，對支路進(jìn)行編號，則有：

支路的導(dǎo)納矩陣為：

此時支路電流向量為：

其中，支路電流向量 J=[J1，J2，…，Jr]T；C 為系統(tǒng)的電容矩陣。

結(jié)合式（7）和式（9），則有：

此時，可通過控制諧波電壓接入向量Uf=[uf1，uf2，…，ufN]T，實(shí)現(xiàn)對不同節(jié)點(diǎn)、諧波電壓大小、相位的選擇，并改變頻率值進(jìn)行掃描，以確定J中各元素隨頻率的變化規(guī)律，在極大值點(diǎn)時即可認(rèn)為發(fā)生了串聯(lián)諧振。

由上可見，該方法對于系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的建立相當(dāng)于其他方法而言并沒有增加難度，故考慮在n個節(jié)點(diǎn)中逐一添加諧波電壓源，便可對系統(tǒng)進(jìn)行對串聯(lián)諧振分析，分析計算流程如圖6所示。

圖6 所提方法流程圖Fig.6 Flowchart of proposed method

利用該方法，對圖1所示的電路系統(tǒng)進(jìn)行分析，可得到如圖7所示的4.93 p.u.、7.56 p.u.等6個串聯(lián)諧振頻率，“IN#節(jié)點(diǎn)1，OUT#支路2”表示Norton支路連接到節(jié)點(diǎn)1，從而得到支路2的電流響應(yīng)，其他類似。該結(jié)果與利用頻譜法分析得到的圖3所示的結(jié)論一致。

圖7 所提方法的串聯(lián)諧振分析結(jié)果Fig.7 Results of series resonance analysis by proposed method

由圖7可見，相鄰2條支路均含有相同的諧振頻率，但與其他節(jié)點(diǎn)的激勵無交叉，如針對節(jié)點(diǎn)1激勵可以激發(fā)支路1和支路2頻率為4.93 p.u.和22.84 p.u.的串聯(lián)諧振。這就很好地解釋了為何分析串聯(lián)諧振需要串入電壓源，而不是電流源。頻譜法只是從節(jié)點(diǎn)注入較大電流而節(jié)點(diǎn)電壓相應(yīng)最?。ㄅc并聯(lián)諧振相反）對串聯(lián)諧振進(jìn)行界定，并不能從物理上解釋串聯(lián)諧振帶來的問題，而改進(jìn)虛擬支路法更加滿足物理意義，符合實(shí)際。與虛擬支路法修改回路阻抗矩陣一樣，改進(jìn)虛擬支路法需要對節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣進(jìn)行修改，文獻(xiàn)[11]的回路阻抗矩陣維數(shù)為2 n維，而改進(jìn)虛擬支路法為n維，且節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣易于建模，更適用于復(fù)雜系統(tǒng)分析。

3 高速鐵路牽引網(wǎng)串聯(lián)諧振分析

對于采用SPWM技術(shù)的高速動車組而言，其交流側(cè)網(wǎng)壓是由調(diào)制波和直流側(cè)電壓決定的。由于變流器支撐電容可以較快地達(dá)到穩(wěn)定，故變流器交流側(cè)即為恒定的諧波電壓SABUd[13]，其中Ud為動車組直流側(cè)電壓，SAB為三電平調(diào)制波。高速動車組的等效電路如圖8所示，圖中Zx為車載牽引變壓器泄漏阻抗?？梢?，在牽引供電系統(tǒng)中有諧波電壓源存在，滿足串聯(lián)諧振的激發(fā)條件。

圖8 牽引供電系統(tǒng)等效電路圖Fig.8 Equivalent circuit of traction power-supply system

為驗(yàn)證改進(jìn)虛擬支路法的實(shí)用性，本文將該方法應(yīng)用于某實(shí)際高速鐵路牽引網(wǎng)的串聯(lián)諧振分析。該高速線路主要采用CRH2B型動車組，牽引網(wǎng)為長度為30 km的AT網(wǎng)線路，外部供電系統(tǒng)等效為戴維南等效電路，輸入電壓Us=55 kV（接觸線與鋼軌之間為27.5 kV，正饋線與鋼軌之間為 -27.5 kV），牽引變壓器漏抗Zx=0.1+j 0.37 Ω，系統(tǒng)等效阻抗ZS=10+j18.5 Ω，AT 漏抗 zg=1+j 4.5 Ω，濾波器參數(shù)選擇 Lf=400 mH、Cf=2 μF。 牽引供電系統(tǒng)等效電路見圖9。

圖9 某實(shí)際牽引供電系統(tǒng)等效電路圖Fig.9 Equivalent circuit of an actual traction power-supply system

利用文獻(xiàn)[14]的牽引網(wǎng)鏈?zhǔn)降刃Ｐ?，建立分段牽引網(wǎng)等效模型。選擇文獻(xiàn)[9]中AT牽引網(wǎng)的電容Ctra與阻抗Ztra矩陣參數(shù)，可求取鏈?zhǔn)侥Ｐ蛥?shù)如式（11）和式（12）所示。

選取如圖9所示的支路①—⑤，按照第2節(jié)的分析方法，可得到如圖10所示的串聯(lián)諧振分析結(jié)果，圖中縱軸為標(biāo)幺值。

圖10 所提方法的串聯(lián)諧振分析結(jié)果Fig.10 Results of series resonance analysis by proposed method

由圖10可見，機(jī)車位置的變化對串聯(lián)諧振影響較小，這是由于高速動車組的功率因數(shù)接近為1，可等效為純電阻，因此對諧振影響較小。圖10中出現(xiàn)了17.6次串聯(lián)諧振，接觸線和系統(tǒng)側(cè)等支路的響應(yīng)較大。圖11為該高速鐵路牽引網(wǎng)AT吸上線電流及其頻譜，可見AT吸上線支路的18次諧波電流得到了嚴(yán)重的諧振放大，該次諧振頻率與本文利用改進(jìn)虛擬支路法計算所得的17.6次諧振頻率較為接近，從而說明了該改進(jìn)方法的準(zhǔn)確性。

圖11 某高速鐵路牽引網(wǎng)實(shí)測電流及其頻譜Fig.11 Measured current waveform and corresponding spectrum of high-speed railway traction network

4 結(jié)論

a.本文在對比幾種電路串聯(lián)諧振分析方法的基礎(chǔ)上，提出改進(jìn)虛擬支路法，將非理想諧波電壓源等效為等效阻抗和Norton支路，利用由節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣得到的關(guān)聯(lián)矩陣代替回路阻抗矩陣進(jìn)行串聯(lián)諧振分析。

b.利用改進(jìn)虛擬支路法對一個簡單電路系統(tǒng)的分析可見，該方法較文獻(xiàn)[11]提出的虛擬支路法降低了電路阻抗矩陣的建模難度和矩陣維數(shù)，且把對復(fù)雜多導(dǎo)體電路的回路建模轉(zhuǎn)變?yōu)楣?jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣建模。

c.通過對高速鐵路牽引網(wǎng)串聯(lián)諧振的分析，驗(yàn)證了改進(jìn)虛擬支路法的準(zhǔn)確性和適用性，從而可利用該方法分析諧波諧振問題，也可作為諧波治理和諧振抑制的校驗(yàn)方法。