吳月波，徐 晨，董 蓉

(南通大學(xué) 電子信息學(xué)院，江蘇 南通226019)

隨著圖像檢測(cè)技術(shù)的發(fā)展，視覺檢測(cè)的應(yīng)用研究在各個(gè)領(lǐng)域受到了廣泛關(guān)注。視覺檢測(cè)原理是以圖像為信息載體并從中提取幾何參數(shù)。在視覺檢測(cè)領(lǐng)域中，被測(cè)圖像邊緣的定位精度往往直接影響到整個(gè)檢測(cè)的精度。因此，對(duì)圖像邊緣的精確定位具有很大的實(shí)際意義。傳統(tǒng)的邊緣檢測(cè)算法是利用一階和二階微分算子考察圖像的每個(gè)像素在某個(gè)區(qū)域內(nèi)的灰度變化，如Canny 算子［1］、Sobel 算子［2］、LOG 算子［3］以及Laplacian 算子［4］等，這些算子［5］大都為整像素級(jí)，形式簡(jiǎn)單，邊緣檢測(cè)的速度快，但容易受到噪聲的影響，定位精度較差。隨著對(duì)邊緣檢測(cè)精度要求的不斷提高，傳統(tǒng)的邊緣檢測(cè)算法已經(jīng)很難滿足實(shí)際需求。因此，定位精度更高的亞像素邊緣檢測(cè)越來(lái)越受到人們的關(guān)注。從20 世紀(jì)70 年代以來(lái)，就有很多學(xué)者提出了一些有效的亞像素邊緣定位算法［6］。目前常用的亞像素邊緣定位算法可以歸納為三類:矩法［7－8］、插值法［9］和擬合法［10］。基于矩的亞像素邊緣檢測(cè)算法形式較為復(fù)雜，計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)，但圖像的平移不影響邊緣的檢測(cè);基于插值的亞像素邊緣檢測(cè)算法計(jì)算時(shí)間較短，具有良好的抗噪性能，但定位精度較低;基于擬合的亞像素邊緣算法對(duì)噪聲有較好的抑制，邊緣的定位精度較高，因此，基于擬合的亞像素的邊緣檢測(cè)算法得到了許多人的青睞。

本文提出了一種基于灰度梯度和反正切函數(shù)擬合的的亞像素邊緣檢測(cè)算法，它需要提取輸入圖像的灰度梯度方向，建立灰度梯度直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)軸正方向由提取的梯度方向來(lái)確定，x 軸表示所選擇的像素在梯度方向上的坐標(biāo)，y 軸表示所選擇的像素的灰度值，最后利用最小二乘法，采用反正函數(shù)擬合提取的圖像邊緣的灰度梯度，實(shí)現(xiàn)亞像素邊緣檢測(cè)。本文算法是一種定位精度更高、檢測(cè)速度更快的亞像素邊緣檢測(cè)算法。

1 本文算法原理及實(shí)現(xiàn)

1.1 算法的原理

本文所提算法是結(jié)合Canny 算子和反正切函數(shù)擬合圖像邊緣的灰度梯度實(shí)現(xiàn)邊緣的精確定位，其算法具體原理如下。

1)Canny 算子［1］是通過(guò)求信號(hào)函數(shù)的極大值來(lái)得到圖像邊緣像素的邊緣檢測(cè)算子。利用Canny 算子獲得圖像邊緣像素的具體步驟如下，見圖1。

圖1 Canny 算子邊緣檢測(cè)

步驟1:將原始輸入圖像與高斯濾波器進(jìn)行卷積，以達(dá)到平滑圖像、去除噪聲的目的。

步驟2:用2×2 一階偏導(dǎo)的有限差分來(lái)計(jì)算濾波后圖像邊緣中的每個(gè)像素的梯度幅值及其方向。

使用2×2 有限差分模板作為x 方向和y 方向偏導(dǎo)數(shù)的兩個(gè)陣列f'x(x，y)和f'y(x，y)的一階近似來(lái)計(jì)算已平滑圖像g(x，y)的梯度

由式(1)和式(2)得到一個(gè)2×2 正方形有限差分模板，如表1 所示。

表1 2×2 有限差分模板

在表1 中的2×2 正方形內(nèi)求出有限差分的平均值，用直角坐標(biāo)到極坐標(biāo)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式計(jì)算得

式(3)中M(x，y)表示每個(gè)像素的梯度幅值，式(4)中θ(x，y)表示每個(gè)像素的梯度方向。

步驟3:為得到圖像的邊緣，要保留邊緣局部梯度幅值較大的點(diǎn)，并且對(duì)非極大值進(jìn)行抑制，最后生成細(xì)化的圖像邊緣。

步驟4:用兩個(gè)閾值h1和h2(令h1≈0.5h2)分別作用于非極大值抑制處理的圖像后，得到圖像1 和圖像2，圖像1 去除了大部分噪聲，但卻丟失了有用的邊緣信息，而圖像2 則保留了更多的邊緣信息，在圖像2 的基礎(chǔ)上，補(bǔ)充圖像1 中丟失的邊緣信息，然后連接邊緣，這樣就得到了輸入圖像的初步邊緣。

2)由于光學(xué)器件的卷積和光的衍射作用，在物空間劇變的圖像邊緣的灰度值經(jīng)過(guò)光學(xué)器件成像后變成了漸變的形式，也就是階躍邊緣變成了漸變的邊緣，如圖2 所示。

圖2 理想邊緣和實(shí)際邊緣模型

反正切函數(shù)是數(shù)學(xué)中一類與常見三角函數(shù)類似的函數(shù)，它是一個(gè)連續(xù)、光滑、單調(diào)的反三角函數(shù)，函數(shù)圖像如圖3 所示，由于反正切函數(shù)的圖像和邊緣模型極其相似，因此，可利用反正切函數(shù)作為邊緣模型［11］擬合圖像邊緣實(shí)際的灰度分布情況。

圖3 反正切函數(shù)圖像

反正切函數(shù)的邊緣模型為式中:a1表示將反正切函數(shù)趨于的最大值與最小值擴(kuò)大至原來(lái)的a1倍;a2和a3表示反正切函數(shù)曲線彎曲的程度，a2和a3的值越大，曲線彎曲的程度越大;a4表示反正切函數(shù)在y軸的偏移量。用最小二乘法進(jìn)行擬合，求出a1，a2，a3和a4，進(jìn)而得到邊緣的亞像素位置。

求圖像邊緣的亞像素位置的具體步驟如下:

對(duì)式(5)求一階導(dǎo)數(shù)得

將式(6)對(duì)x 求導(dǎo)并令其導(dǎo)數(shù)為0 得

1.2 算法的實(shí)現(xiàn)

在算法原理的基礎(chǔ)上，算法的實(shí)現(xiàn)步驟如下。

步驟1:通過(guò)Canny 算子對(duì)輸入圖像進(jìn)行處理，粗略提取該圖像的邊緣。

步驟2:對(duì)粗略得到的圖像邊緣逐點(diǎn)的提取圖像邊緣像素的梯度方向，提取的梯度方向被量化成8 種情況，如圖4 所示。當(dāng)提取的梯度方向如圖4 陰影部分所示時(shí)，那么此時(shí)的梯度方向?qū)?huì)量化在第5 種情況中?；谶@個(gè)考慮，建立直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)軸的正方向就可以由邊緣像素點(diǎn)的八鄰域梯度方向確定，并且這個(gè)邊緣像素點(diǎn)必須為Canny 算子提取的原始像素點(diǎn)，然后在原始邊緣像素點(diǎn)的周圍選擇一定數(shù)量的像素點(diǎn)，將Canny 算子提取的原始邊緣像素的橫坐標(biāo)設(shè)為0，那么在其周圍提取的像素點(diǎn)的坐標(biāo)也做相應(yīng)的改變，加入到邊緣檢測(cè)窗口中，如圖5 所示。

圖4 八鄰域梯度方向

圖5 邊緣檢測(cè)窗口

步驟3:邊緣檢測(cè)窗口中的藍(lán)色方塊表示由Canny 算子提取的邊緣像素。坐標(biāo)系的x 軸表示在梯度方向上的像素的坐標(biāo)，坐標(biāo)系的y 軸表示所選擇的像素的灰度值。

步驟4:建立了灰度梯度直角坐標(biāo)系之后，使用反正切函數(shù)擬合邊緣檢測(cè)窗口中像素的灰度值，并通過(guò)最小二乘法處理計(jì)算出圖像邊緣的亞像素位置R=。例如，邊緣檢測(cè)窗口如圖3 所示，可以通過(guò)圖6 所示的函數(shù)擬合計(jì)算出參數(shù)a2和a3的值，進(jìn)而計(jì)算出R=0.131 6。

圖6 函數(shù)擬合圖

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

2.1 邊緣檢測(cè)結(jié)果分析

為了驗(yàn)證本文算法的穩(wěn)定性和精確性，采用Microsoft Visual Studio 2008 平臺(tái)，分別用小波變換法、基于Zernike 矩法和本文所提算法，編程實(shí)現(xiàn)對(duì)兩幅不同圖像的邊緣檢測(cè)。第一幅為圖像處理常用的Lena 圖，第二幅為airplane 圖。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖7、圖8 所示。

圖7 Lena 圖邊緣檢測(cè)結(jié)果

對(duì)圖像邊緣檢測(cè)的評(píng)價(jià)可以分為主觀和客觀兩種評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)［12］。主觀評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是以檢測(cè)到的圖像邊緣的視覺效果為根本出發(fā)點(diǎn)，并以此來(lái)評(píng)價(jià)圖像邊緣檢測(cè);客觀評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是以檢測(cè)到的圖像邊緣的連續(xù)性、有效性等為統(tǒng)一的評(píng)價(jià)指標(biāo)，從上面兩組圖中各種算法對(duì)兩幅圖像的邊緣檢測(cè)結(jié)果，通過(guò)主觀評(píng)價(jià)，可以明顯看出基于小波的亞像素邊緣檢測(cè)算法抗噪性能一般，并且檢測(cè)到的邊緣較少，會(huì)出現(xiàn)漏檢邊緣的現(xiàn)象;

圖8 airplane 圖邊緣檢測(cè)結(jié)果

基于Zernike 矩的亞像素邊緣檢測(cè)算法檢測(cè)的邊緣比較完整，而且邊緣連接性較好，但容易受到冗余信息的干擾;而本文所提算法能夠更完整、有效地檢測(cè)圖像的邊緣，具有更高的抗噪性能，并且可以克服冗余信息的干擾，得到更加平滑完整的圖像邊緣。

客觀評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)通過(guò)統(tǒng)計(jì)連接圖像的邊緣點(diǎn)數(shù)、4－連通成分?jǐn)?shù)和8－連通成分?jǐn)?shù)及連通成分比率這些指標(biāo)對(duì)檢測(cè)到的不同圖像邊緣進(jìn)行客觀的比較。結(jié)果如表2、表3 所示。

表2 Lena 圖檢測(cè)結(jié)果

表3 airplane 圖檢測(cè)結(jié)果

表2、表3 中A 表示檢測(cè)邊緣的點(diǎn)數(shù)，B 與C 分別表示檢測(cè)邊緣圖中的4－連通區(qū)域數(shù)和8－連通區(qū)域數(shù)。B/A 和C/A分別是4－連通區(qū)域數(shù)和8－連通區(qū)域數(shù)在邊緣總點(diǎn)數(shù)中所占的比例，這個(gè)比例越小，說(shuō)明檢測(cè)圖像邊緣的連續(xù)性越好。

通過(guò)表中的數(shù)據(jù)可以得出，本文所提算法和其余兩種算法相比，B/A 和C/A 這兩項(xiàng)指標(biāo)最小，說(shuō)明本文算法提取的圖像邊緣有最好的效果和連續(xù)性。

2.2 運(yùn)算時(shí)間結(jié)果分析

利用Microsoft Visual Studio 2008 平臺(tái)，統(tǒng)計(jì)本文算法、基于小波的亞像素邊緣檢測(cè)算法及基于Zernike 矩的亞像素邊緣檢測(cè)算法的各個(gè)時(shí)間點(diǎn)檢測(cè)到的邊緣像素，如圖9 所示。然后，計(jì)算出這3 種邊緣檢測(cè)算法的平均運(yùn)算時(shí)間，如表4 所示。結(jié)果表明，通過(guò)與小波變換法及Zernike 矩法各個(gè)時(shí)間點(diǎn)檢測(cè)的邊緣像素和運(yùn)算時(shí)間進(jìn)行比較，可以明顯地得出，本文算法檢測(cè)速度更快。

圖9 各種算法的邊緣檢測(cè)運(yùn)算速度

表4 各種算法邊緣檢測(cè)運(yùn)算時(shí)間對(duì)比

3 結(jié)束

本文提出了一種基于灰度梯度和反正切函數(shù)擬合的亞像素邊緣檢測(cè)算法。該算法第一步是用傳統(tǒng)的邊緣檢測(cè)算子Canny 算子粗略地提取圖像邊緣的灰度梯度，第二步是創(chuàng)建灰度梯度直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)系的x 軸表示所選擇的像素在梯度方向上的像素的坐標(biāo)，坐標(biāo)系的y 軸表示所選擇的像素的灰度值，最后使用反正切函數(shù)擬合Canny 算子提取的圖像邊緣的灰度梯度，并通過(guò)最小二乘法計(jì)算出圖像邊緣的亞像素位置。通過(guò)與基于小波變換法和基于Zernike 矩法的圖像邊緣檢測(cè)算法對(duì)比，驗(yàn)證了本文算法定位精度更高，運(yùn)算速度更快，可有效克服冗余信息的干擾，并且漏檢率低，可以準(zhǔn)確檢測(cè)到更加完整平滑的圖像邊緣。

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