王建，董黎敏，劉天航，史津平，郭津津，楊妙妙

(天津理工大學(xué)復(fù)雜系統(tǒng)控制理論及應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津300384)

雙螺桿泵螺桿成型銑刀廓形求解及驗(yàn)證

王建，董黎敏，劉天航，史津平，郭津津，楊妙妙

(天津理工大學(xué)復(fù)雜系統(tǒng)控制理論及應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津300384)

根據(jù)雙螺桿泵螺桿螺旋面端面截形型線(xiàn)方程，利用成形銑削原理和坐標(biāo)變換理論，從成形銑刀與螺桿工件的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系出發(fā)，建立基本的銑刀刀刃廓形方程。利用Matlab軟件對(duì)設(shè)計(jì)刀具過(guò)程中的三角超越方程等非線(xiàn)性方程進(jìn)行求解，得到銑刀回轉(zhuǎn)面軸截形，然后以銑刀回轉(zhuǎn)面軸截形為已知條件，反求螺桿螺旋面端截形，驗(yàn)證銑刀廓形求解方法的正確性。

成型銑刀;螺桿;廓形;反求

0　前言

雙螺桿泵螺桿成型銑刀屬于復(fù)雜刀具，其設(shè)計(jì)過(guò)程異常復(fù)雜，其中銑刀廓形的求解是最為關(guān)鍵的一步。目前，關(guān)于加工螺桿的成形銑刀研究較多，對(duì)成形銑刀所加工的螺桿轉(zhuǎn)子研究較少。本文應(yīng)用Matlab軟件對(duì)求解銑刀廓形以及反求工件端面截形過(guò)程中的復(fù)雜數(shù)學(xué)關(guān)系式進(jìn)行求解［1］，并給出了計(jì)算實(shí)例。

1　工件坐標(biāo)系與刀具坐標(biāo)系的建立

可轉(zhuǎn)位成形銑刀加工螺桿時(shí)，螺桿與銑刀的相對(duì)位置如圖1和圖2所示，在工件上建立坐標(biāo)系o1－x1y1z1，單位矢量為(i1，j1，k1)，在刀具上建立坐標(biāo)系o2－x2y2z2，單位矢量為(i2，j2，k2)。工件與刀具之間安裝中心的距離為a，安裝角為ψ。

圖1　工件坐標(biāo)系與刀具坐標(biāo)系相對(duì)位置Fig.1 Relative position of cutter and workpiece coordinate system

圖2　刀具加工工件螺旋面Fig.2 Helicoid surface of workpiece being cutted

工件坐標(biāo)系與刀具坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換式為

單位矢量間的轉(zhuǎn)換式為

2　刀具回轉(zhuǎn)面與工件螺旋面的接觸條件式推導(dǎo)

空間中任意一點(diǎn)M相對(duì)于工件坐標(biāo)系原點(diǎn)的徑矢r為

M點(diǎn)相對(duì)于刀具坐標(biāo)系原點(diǎn)的徑矢R為

M點(diǎn)相對(duì)于刀具坐標(biāo)系原點(diǎn)的徑矢R與相對(duì)于工件坐標(biāo)系原點(diǎn)的徑矢r之間的關(guān)系為

設(shè)工件角速度為ω1，螺旋參數(shù)為p，刀具的角速度為ω2，M點(diǎn)隨工件螺旋面運(yùn)動(dòng)時(shí)的線(xiàn)速度v1為

M點(diǎn)隨刀具回轉(zhuǎn)面運(yùn)動(dòng)時(shí)的線(xiàn)速度v2為

則M點(diǎn)處的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度v12為

在工件螺旋面和刀具回轉(zhuǎn)面的接觸點(diǎn)處，其公共法線(xiàn)矢量n與相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度v12垂直，所以接觸條件式為

即刀具回轉(zhuǎn)面和工件螺旋面的接觸線(xiàn)應(yīng)滿(mǎn)足的基本條件式

3　已知工件螺旋面端截形求刀具回轉(zhuǎn)面軸截形

3.1已知工件螺旋面端截形型線(xiàn)方程推導(dǎo)工件螺旋面與刀具回轉(zhuǎn)面接觸條件式

若工件螺旋面端截形型線(xiàn)方程已知，根據(jù)工件螺旋面方程式可求得其上任意一點(diǎn)的法線(xiàn)n，從刀具坐標(biāo)系的原點(diǎn)o2向螺旋面上的點(diǎn)作徑矢R，如果R和螺旋面上該點(diǎn)的法線(xiàn)n以及刀具的軸線(xiàn)k共面，則這一點(diǎn)就是螺旋面上的接觸點(diǎn)［3］，所以工件螺旋面上的接觸線(xiàn)條件式成為

設(shè)銑刀所加工的螺桿螺旋面端截形的型線(xiàn)方程式為

式中，t為齒曲線(xiàn)參數(shù)。

由式(14)可以得到螺旋曲面的方程為

式中，τ為角度參數(shù)，表示母線(xiàn)繞z軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度。

由微分幾何知識(shí)可知，曲面上任意一點(diǎn)M (x，y，z)的法線(xiàn)矢量可以表示為

式中，nx、ny、nz分別是曲面法線(xiàn)矢量的各軸分量。

聯(lián)立式(4)式(7)式(13)式(17)得到在已知工件螺旋面端截形條件下工件螺旋面與刀具回轉(zhuǎn)面之間的接觸條件式為

3.2銑刀回轉(zhuǎn)面軸截形求解計(jì)算實(shí)例

將齒形參數(shù)t離散化為ti得一系列離散點(diǎn)(xi，yi)，將(xi，yi)代入螺旋曲面方程求得螺旋面離散點(diǎn)坐標(biāo)(x1i，y1i)，再將(x1i，y1i)與各點(diǎn)處一階導(dǎo)數(shù)代入到接觸方程式，選取適當(dāng)?shù)牡踔担肕atlab軟件采用牛頓迭代法對(duì)接觸線(xiàn)方程進(jìn)行迭代運(yùn)算，求得工件端面上各點(diǎn)成為接觸點(diǎn)時(shí)需要轉(zhuǎn)過(guò)的角度τ;然后將坐標(biāo)值(xi，yi，zi)與此點(diǎn)處的旋轉(zhuǎn)角τ代入螺旋面方程式，可以得到螺旋面上接觸點(diǎn)的坐標(biāo)(x1，y1，z1)，再將(x1，y1，z1)代入到坐標(biāo)系變換式，得到接觸點(diǎn)在刀具坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)(x2，y2，z2);最后由刀具回轉(zhuǎn)面軸截形方程式(21)求得刀具回轉(zhuǎn)面的軸截形。

銑刀所加工的螺桿轉(zhuǎn)子參數(shù)如下:導(dǎo)程T為150 mm，轉(zhuǎn)子的齒頂圓直徑為400 mm，分度圓直徑為305 mm。中心距A=(0.7～1.5)D0，此處取A=D0(D0是工件的名義外直徑)。安裝角ψ選擇范圍比較大，一般可按ψ=90°－β選擇安裝角(β是工件外圓螺旋角)。工件螺旋面端截形如圖3所示，所求得的銑刀回轉(zhuǎn)面軸截形如圖4所示。

圖3　工件螺旋面端截形Fig.3 Cross section profile ofworkpiece helicoid

圖4　銑刀回轉(zhuǎn)面軸截形Fig.4 Axial section of cutter revolution surface

4　由刀具回轉(zhuǎn)面軸截形反求工件螺旋面端截形

4.1已知刀具回轉(zhuǎn)面軸截形推導(dǎo)工件螺旋面與刀具回轉(zhuǎn)面接觸條件式

以求解出的刀具回轉(zhuǎn)面軸截形為已知條件反求工件螺旋面端截形，根據(jù)刀具回轉(zhuǎn)面的方程式可以求得其上任一點(diǎn)的法線(xiàn)n，由工件坐標(biāo)系的原點(diǎn)o1向刀具回轉(zhuǎn)面上的點(diǎn)作徑矢r，如果這一點(diǎn)繞工件軸線(xiàn)作螺旋運(yùn)動(dòng)時(shí)的線(xiàn)速度矢量和回轉(zhuǎn)面在該點(diǎn)的法線(xiàn)垂直，則這一點(diǎn)就是回轉(zhuǎn)面上的接觸點(diǎn)，所以刀具回轉(zhuǎn)面上的接觸線(xiàn)條件式成為

與銑刀固連的坐標(biāo)系o2－x2y2z2如圖5所示。

圖5　刀具回轉(zhuǎn)面坐標(biāo)系Fig.5 Coordinate system of cutter revolution surface

當(dāng)截形以未知曲線(xiàn)上的離散點(diǎn)表示時(shí)可以用曲線(xiàn)的一般形式來(lái)表示［2］

式中，si為弧長(zhǎng)，i=1，2，…，n。由弧長(zhǎng)微分可得

式中，αi為曲線(xiàn)上點(diǎn)的切線(xiàn)與x軸的夾角。

用盤(pán)形刀具加工時(shí)，刀具回轉(zhuǎn)面母線(xiàn)是平面x2y2z2上的一條曲線(xiàn)，按式(21)可以表示為

式中，φ為刀具回轉(zhuǎn)面母線(xiàn)弧長(zhǎng)參變數(shù)。刀具回轉(zhuǎn)面方程式可以表示為

式中，φ為半徑R與o2x2z2平面的夾角。

通過(guò)工件坐標(biāo)系與刀具坐標(biāo)系的相互轉(zhuǎn)換，可以得到刀具回轉(zhuǎn)面在工件坐標(biāo)系o1－x1y1z1中的方程式為

則刀具回轉(zhuǎn)面上任意一點(diǎn)各軸的法線(xiàn)矢量為

聯(lián)立式(3)式(7)式(20)式(26)得到在已知刀具回轉(zhuǎn)面軸截形條件下刀具回轉(zhuǎn)面與工件螺旋面之間的接觸條件式:

4.2工件螺旋面端截形的求解計(jì)算實(shí)例

通過(guò)接觸線(xiàn)方程可以得知，要想求φ則需先求出α，即銑刀廓形各離散點(diǎn)的傾斜角。本文利用Matlab軟件采用累積三次參數(shù)樣條法來(lái)計(jì)算各離散點(diǎn)處傾斜角α，然后將α代入接觸條件式，采用割線(xiàn)法求出φ。再將銑刀回轉(zhuǎn)面軸截形離散點(diǎn)坐標(biāo)及相應(yīng)的代入工件螺旋面的方程式求出銑刀回轉(zhuǎn)面軸截形對(duì)應(yīng)的工件螺旋面端截形坐標(biāo)，最后繪出工件螺旋面端截形，如圖6所示。

圖6　反求的工件螺旋面端截形Fig.6 Reversing cross section profile of workpiece helicoid

5　結(jié)論

本文以右旋螺旋曲面為例，利用齒輪嚙合原理的相關(guān)知識(shí)，根據(jù)已知的螺桿螺旋面端截形型線(xiàn)方程，采用牛頓迭代法求解刀具回轉(zhuǎn)面與工件螺旋面的接觸線(xiàn)方程，最后求解出刀具回轉(zhuǎn)面軸截形。以求解出的刀具回轉(zhuǎn)面軸截形為已知條件，采用累積三次參數(shù)樣條法和割線(xiàn)法求解工件螺旋面與刀具回轉(zhuǎn)面的接觸線(xiàn)方程，最后反求出工件螺旋面端截形，驗(yàn)證銑刀廓形求解方法的正確性，對(duì)可轉(zhuǎn)位成形銑刀的實(shí)際設(shè)計(jì)具有指導(dǎo)意義。

［1］王小明，羅芝華，楊志，等．基于Matlab的雙螺桿壓縮機(jī)轉(zhuǎn)子盤(pán)銑刀數(shù)字化設(shè)計(jì)方法［J］．機(jī)床與液壓，2012，40(15):84－86，114．

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［5］王正林，龔純，何倩．精通MATLAB科學(xué)計(jì)算［M］．北京:電子工業(yè)出版社，2009．

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［10］朱建新，李有法．?dāng)?shù)值計(jì)算方法［M］．北京:高等教育出版社，2012．

Solution and verification on profile of formed m illing cutter of tw in-screw pump's screw

WANG Jian，DONG Li-min，lIU Tian-hang，SHIJin-ping，GUO Jin-jin，YANG Miao-miao
(Tianjin Key Laboratory for Control Theory＆Applications in Complicated Systems，Tianjin University of Technology，Tianjin 300384，China)

According to lines equation of transverse profile of twin-screw pump's screw helicoids，from the relative kinematic relation between formedmilling cutter and screw，the basic profile equation of formedmilling cutter was established bymoldingmilling principles and coordinate transformation theory．Using Matlab software to solve nonlinear equation，such as trigonometric functions in the process of designing the milling cutter，the axial section profile of themilling cutter revolution surface was obtained，and itwas taken as known condition，used for reversing transverse profile of screw helicoids．So the validity of this solution method was verified．

formed milling cutter;screw;profile;converse solving

TG714

A

1001－196X(2015)02－0056－04

2014－06－20;

2014－08－19

天津市科技計(jì)劃項(xiàng)目(11ZCKFGX03700)

王建(1988－)，男，天津理工大學(xué)碩士研究生，研究方向:機(jī)械設(shè)計(jì)及理論等。