田雪虹（廣東海洋大學(xué)寸金學(xué)院，廣東湛江524094）

工業(yè)機(jī)器人的魯棒有限時(shí)間穩(wěn)定性跟蹤控制*

田雪虹
（廣東海洋大學(xué)寸金學(xué)院，廣東湛江524094）

考慮工業(yè)機(jī)器人系統(tǒng)存在的參數(shù)未知、負(fù)載突變及外界干擾等各種不確定性，提出了一種有限時(shí)間穩(wěn)定性的軌跡跟蹤控制方法。該方法利用時(shí)延實(shí)時(shí)在線估計(jì)系統(tǒng)的各種不確定性和實(shí)際動(dòng)力學(xué)特性，其估計(jì)誤差由變結(jié)構(gòu)項(xiàng)進(jìn)行補(bǔ)償，因而具有較強(qiáng)的魯棒性和抗干擾性能，并且不需要機(jī)器人系統(tǒng)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)模型知識(shí)。理論分析證明了機(jī)器人的閉環(huán)系統(tǒng)是有限時(shí)間穩(wěn)定的，收斂速度快，跟蹤精度高。通過對(duì)2自由度工業(yè)機(jī)器人的數(shù)值仿真說明了該算法的有效性。

工業(yè)機(jī)器人；時(shí)延估計(jì)；有限時(shí)間穩(wěn)定；跟蹤控制

0　引言

隨著我國對(duì)產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整和升級(jí)的迫切要求，工業(yè)機(jī)器人作為一種高度自動(dòng)化的智能裝備，在汽車制造業(yè)、機(jī)械加工業(yè)、電子制造業(yè)、食品加工業(yè)等各行各業(yè)獲得廣泛的應(yīng)用，工業(yè)機(jī)器人必將逐步取代人工作業(yè)，這一趨勢使得人們對(duì)工業(yè)機(jī)器人的性能要求越來越高，如智能化、模塊化、高速、高精度等。由于工業(yè)機(jī)器人是一個(gè)高度復(fù)雜的、強(qiáng)非線性的多輸入多輸出系統(tǒng)，使得傳統(tǒng)的獨(dú)立伺服PID控制方法很難滿足對(duì)高速高精度的性能要求，因此，研究先進(jìn)的非線性控制技術(shù)如自適應(yīng)控制、有限時(shí)間控制等方法具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。

有限時(shí)間穩(wěn)定[1-2]是指系統(tǒng)的狀態(tài)在有限的時(shí)間內(nèi)到達(dá)平衡點(diǎn)，與漸近收斂的傳統(tǒng)方法相比，瞬時(shí)特性更好，跟蹤精度更高。因而，有限時(shí)間穩(wěn)定性控制方法得到許多學(xué)者的廣泛關(guān)注，并取得了一系統(tǒng)的研究成果，如文獻(xiàn)[3-6]等。目前實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間控制的常見方法有終端滑模控制方法，齊次理論方法，有限時(shí)間Lyapunov函數(shù)法等，其中終端滑?？刂品椒ㄈ菀桩a(chǎn)生奇異[7]并且其不連續(xù)項(xiàng)會(huì)造成“抖振”，為此，文獻(xiàn)[6]為避免奇異問題，提出了一種全局的非奇異終端滑?？刂品椒ā闇p少非奇異終端滑?？刂频摹岸墩瘛眴栴}，文獻(xiàn)[8]提出了一種連續(xù)的終端滑?？刂破鳎⒊晒?yīng)用于機(jī)器人系統(tǒng)的跟蹤控制。文獻(xiàn)[9]利用有限時(shí)間穩(wěn)定性定理論，提出了一種基于PD和重力補(bǔ)償策略的有限時(shí)間控制方法，保證了機(jī)器人系統(tǒng)跟蹤誤差的有限時(shí)間收斂。為獲得更好的跟蹤性能，文獻(xiàn)[10]提出了基于非線性PD的全局有限時(shí)間穩(wěn)定的控制器。接著文獻(xiàn)[11]提出了基于修正機(jī)器人逆動(dòng)力學(xué)的有限時(shí)間控制方法，從而保證了閉環(huán)系統(tǒng)的全局有限時(shí)間穩(wěn)定。但以上這些方法都需要已知機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型，難以實(shí)際應(yīng)用，而文獻(xiàn)[12]將時(shí)延估計(jì)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型，卻無需機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型知識(shí)，但飽和函數(shù)的應(yīng)用犧牲了跟蹤精度。實(shí)際上，采用模糊小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)也可以逼近機(jī)器人的未知?jiǎng)恿W(xué)部分[13]，但大量的模糊規(guī)則使得算法的復(fù)雜性增加。而時(shí)延估計(jì)方法[14]通過在線實(shí)時(shí)估計(jì)各種不確定性，并加以補(bǔ)償，從而對(duì)參數(shù)變化和外界干擾均能表現(xiàn)出較強(qiáng)的魯棒性，并且算法比較簡單，不需要被控對(duì)象的動(dòng)力學(xué)知識(shí)。因而時(shí)延估計(jì)方法在許多機(jī)電系統(tǒng)領(lǐng)域獲得廣泛應(yīng)用，如工業(yè)機(jī)器人[12，15-18]、DC伺服電機(jī)[19]等。

本文考慮工業(yè)機(jī)器人系統(tǒng)的各種不確定性，利用時(shí)延估計(jì)的魯棒性特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了一種魯棒有限時(shí)間穩(wěn)定的控制策略以提高機(jī)器人的跟蹤精度。

1　有限時(shí)間穩(wěn)定

首先介紹判別有限時(shí)間穩(wěn)定性的有限時(shí)間Ly?apunov穩(wěn)定性理論及相關(guān)概念。

定義1：有限時(shí)間控制：考慮非線性系統(tǒng)

其中f:Rn×m→Rn是連續(xù)的。如果存在一個(gè)連續(xù)反饋控制律u=?(x)，其中?(0)=0，使得閉環(huán)系統(tǒng)的原點(diǎn)x=0是（局部）有限時(shí)間穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，則閉環(huán)系統(tǒng)=f(x,?(x))是有限時(shí)間穩(wěn)定的，此反饋控制律u=?(x)被稱為有限時(shí)間穩(wěn)定性控制器。

引理1[1]：針對(duì)非線性系統(tǒng)（1），如果存在一個(gè)定義在原點(diǎn)鄰域U?Rn上的函數(shù)V（x），并且V（x）是C1光滑的，且存在實(shí)數(shù)0<μ<1和c>0，使得下列條件成立：

（1）V（x）在U上是正定的；

則系統(tǒng)（1）是局部有時(shí)間穩(wěn)定的。與初始狀態(tài)x（0）=x0有關(guān)的停息時(shí)間為：

式（2）中x0為原點(diǎn)某一開鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)。如果U=Rn并且V（x）是正則的，則系統(tǒng)（1）是全局有限時(shí)間穩(wěn)定的。

引理2[8]：對(duì)于任意給定的實(shí)數(shù)ai，i=1，…，n，若0<μ1<1，0<μ2<2，則以下不等式成立：

2　機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型

對(duì)于一個(gè)多輸入多輸出的n自由度關(guān)節(jié)機(jī)器人，其動(dòng)力學(xué)方程可表示為

實(shí)際上，六自由度工業(yè)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程是相當(dāng)復(fù)雜的，由于各不確定性的存在，是很難甚至不可能獲得機(jī)器人精確的動(dòng)力學(xué)模型的。基于此，本文引入一個(gè)正定的常數(shù)矩陣，并令：

則機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程（5）可簡化為

3　有限時(shí)間控制器設(shè)計(jì)及分析

工業(yè)機(jī)器人軌跡跟蹤有限時(shí)間控制的目的就是使機(jī)器人的關(guān)節(jié)變量q能有效地跟蹤期望的關(guān)節(jié)量qd，并且使跟蹤誤差e在有限時(shí)間內(nèi)收斂至零，其中e(t),(t)∈Rn分別定義為e=q-qd,=-。

3.1有限時(shí)間控制

首先定義如下的Sig(·)α向量：

其中x=[x1,…,xn]T∈Rn，0<α<1，sgn(·)是標(biāo)準(zhǔn)的符號(hào)函數(shù).

若令x1=e(t),x2==(t)，則具有不確定性的工業(yè)機(jī)器人系統(tǒng)（7）可表達(dá)為：

本文采用Backstepping技術(shù)，結(jié)合有限時(shí)間Lyapunov函數(shù)構(gòu)造法來設(shè)計(jì)控制器，以實(shí)現(xiàn)機(jī)器人閉環(huán)系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定。

第一步：引入輔助控制量φ(x1)∈Rn，且φ(0)=0，并定義如下誤差變量：

則式（9）可表示為：

第二步：定義Lyapunov函數(shù)：

沿系統(tǒng)（9）的軌跡對(duì)V2求導(dǎo)并將式（11）代入得：

則沿系統(tǒng)（9）的軌跡有：

為實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)跟蹤誤差的有限時(shí)間收斂，特設(shè)計(jì)如下輔助控制量以使式（13）滿足引理1的條件（2）：

其中L1=diag(l11，l12，…，l1n)，l1i>0，i= 1，…，n。Sig(·)α的定義見式（8），并代入上式（13）可得：

如果z=0，則有：

即系統(tǒng)是原點(diǎn)有限時(shí)間穩(wěn)定的，其中l(wèi)1min=min{l1i}，=2μl1min，μ=(1+α)/2，則1/2<μ<1。為此，需要進(jìn)行下一步設(shè)計(jì)。

第三步：定義Lyapunov函數(shù)：

其中L2=diag（l21，l22，…，l2n），l2i>0，i= 1，…，n。將上式（19）代入式（18），由引理2可得：

其中l(wèi)2min=min{l2i}，=2μl2min，因此，根據(jù)引理1可知，機(jī)器人閉環(huán)系統(tǒng)是有限時(shí)間穩(wěn)定的。但是控制器（19）是無法實(shí)際應(yīng)用的，因?yàn)楹瘮?shù)是未知的，為此，下面通過時(shí)延來估計(jì)并通過引入變結(jié)構(gòu)項(xiàng)提高對(duì)時(shí)延估計(jì)誤差的魯棒性。

3.2時(shí)延估計(jì)

并通過變結(jié)構(gòu)項(xiàng)來提高系統(tǒng)對(duì)估計(jì)誤差的魯棒性。

定理1：針對(duì)存在各種不確定性的機(jī)器人非線性系統(tǒng)（7），若設(shè)計(jì)如下控制器：

則該控制器作用下的機(jī)器人閉環(huán)系統(tǒng)是全局有限時(shí)間穩(wěn)定的，其中L3=diag(l31，l32，…，l3n)，l3i>0，i=1，...，n。

顯然，該控制器根據(jù)式（19）可實(shí)時(shí)估計(jì)出含有各種不確定性和實(shí)際動(dòng)力學(xué)特性的實(shí)際應(yīng)用時(shí)，t-L時(shí)刻的關(guān)節(jié)加速度可利用差分法計(jì)算得出，即：

下面證明閉環(huán)系統(tǒng)的全局有限時(shí)間穩(wěn)定性。

證明：將控制律（23）代入（18）可得：

式中w為時(shí)延估計(jì)誤差，即：

如果選擇k3i≥ε，則有

證明完畢，并且系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間為

說明1：為避免變結(jié)構(gòu)項(xiàng)K3sgn(z)產(chǎn)生的高頻“抖振”影響控制性能，本文采用飽和函數(shù)法加以消除，但這不會(huì)影響系統(tǒng)的有限時(shí)間收斂特性。

其中δ為較小的正常數(shù)。

說明2：由于φ(x1)=-L1Sig(x1)α，當(dāng)x1i=0且≠0時(shí)，(x1)無窮大，從而產(chǎn)生奇異，為此本文引入閾值λ>0來避免奇異，即：

說明3：由于較小的α，可獲得較快的誤差收斂速度，但會(huì)增加系統(tǒng)的控制輸入量，為避免輸入飽和，建議選擇0.7<α<0.9。

4　仿真

該部分通過對(duì)2自由度的工業(yè)機(jī)器人的數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)以說明本文方法的有效性和可行性，其動(dòng)力學(xué)模型如下：

其中

機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型的參數(shù)r1=1m，r2=0.8m，J1=5 kg·m，J2=5 kg·m，m1=0.5 kg，m2=1.5 kg。機(jī)器人期望的跟蹤軌跡為qd=[sin(2πt)，sin(2πt)]T，系統(tǒng)的初始條件為q(0)=[0.5，0.5]T，(0)=[0,0]T?？刂破鞯南嚓P(guān)參數(shù)設(shè)置如下:=diag(1,1)，K1=diag(10，10)，K2=diag(10，10)，K3=diag(10，10)，α=0.7，時(shí)延時(shí)間L=0.001 s，外界干擾設(shè)為τd=0.1+0.2q+0.5，在t=2~4 s時(shí)，出現(xiàn)突變干擾，設(shè)為τd2=2。

為說明本文算法的優(yōu)點(diǎn)，與文獻(xiàn)[11]提出的全局有限時(shí)間逆動(dòng)力學(xué)方法(簡記為FIDC)進(jìn)行比較，其控制律為：

其中控制參數(shù)設(shè)置為：Kp=diag(50，50)，Kd= diag(50，50)，α1=0.5，α2=2α1/(α1+1)=2/3，并且該控制律（33)中均假設(shè)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型完全已知。數(shù)值仿真結(jié)果見圖1和圖2，由圖1可以看出，F(xiàn)IDC的收斂速度明顯慢于本文方法，RFTC的跟蹤誤差小于FIDC方法。由于FIDC方法的動(dòng)力學(xué)模型是完全已知的，因此說明本文方法具有較強(qiáng)的魯棒性。控制輸入量如圖2所示，RFTC方法的控制量略有“抖振”，是由變結(jié)構(gòu)項(xiàng)引起的，實(shí)際應(yīng)用時(shí)用飽和函數(shù)代替。

圖1　跟蹤誤差

圖2　控制輸入量

總之，本文采用時(shí)延估計(jì)機(jī)器人的各類不確定性和動(dòng)力學(xué)特性，使得算法結(jié)構(gòu)更簡單，更容易實(shí)現(xiàn)；并且有限時(shí)間穩(wěn)定提高了系統(tǒng)的跟蹤精度，改善了動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性，非常適用于工業(yè)機(jī)器人高速高精度的軌跡跟蹤控制。

5　結(jié)論

采用Backstepping方法設(shè)計(jì)了工業(yè)機(jī)器人有限時(shí)間穩(wěn)定的控制器，一方面提高了響應(yīng)速度，另一面確保了跟蹤精度，變結(jié)構(gòu)項(xiàng)的引入確保了系統(tǒng)具有較強(qiáng)的魯棒性和抗干擾性能。采用時(shí)延在線估計(jì)機(jī)器人的各種不確定性和實(shí)際動(dòng)力學(xué)特性，因而不需要機(jī)器人精確的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)知識(shí)。理論分析及仿真結(jié)果表明了本文方法的有效性和可行性。

［1］Bhat SP，Bernstein DS.Finite-time stability ofhomoge?neous systems［C］.Proceedings of the American Con?trolConference，1997：2513-2514.

［2］Haimo V T.Finite Time Controllers［J］.SIAM Journal on Controland Optimization，1986，24（4）：760-770.

［3］Bhat SP，Bernstein DS.Finite-time stability of continu?ous autonomous systems［J］.SIAM Journal on Control and Optimization，2000，38（3）：751-766.

［4］Hong Y，Wang J，Cheng D.Adaptive finite-time con?trol of nonlinear systems with parametric uncertainty［J］.Automatic Control，IEEE Transactions on，2006，51（5）：858-862.

［5］Tang Y.Terminal sliding mode control for rigid robots［J］.Automatica，1998，34（1）：51-56.

［6］Feng Y，Yu X，Man Z.Non-singular terminal sliding mode control of rigid manipulators［J］.Automatica，2002，38（12）：2159-2167.

［7］Wu Y，Yu X，Man Z.Terminal slidingmode control de? sign for uncertain dynamic systems［J］.Systems&Con?trol Letters，1998，34（5）：281-287.

［8］Yu S，Yu X，Shirinzadeh B，et al.Continuous fi?nite-time control for robotic manipulators with terminal sliding mode［J］.Automatica，2005，41（11）：1957-1964.

［9］Hong Y，Xu Y，Huang J.Finite-time control for robot manipulators［J］.Systems&Control Letters，2002，46（4）：243-253.

［10］Su Y.Global continuous finite-time tracking of robotma?nipulators［J］.International Journal of Robust and NonlinearControl，2009，19（17）：1871-1885.

［11］Su Y，Zheng C.Global finite-time inverse tracking con?trol of robotmanipulators［J］.Robotics and Comput?er-Integrated Manufacturing，2011，27（3）：550-557.

［12］Maolin J，Jinoh L，Pyung Hun C，etal.Practical Non?singular Terminal Sliding-Mode Controlof RobotManip?ulators for High-Accuracy Tracking Control［J］. IEEE Transactions on Industrial Electronics，2009，56（9）：3593-3601.

［13］Chuan-Kai L.Nonsingular Terminal Sliding Mode Con?trol of Robot Manipulators Using Fuzzy Wavelet Net?works［J］.Fuzzy Systems，IEEE Transactions on，2006，14（6）：849-859.

［14］Youcef-Toumi K，Wu S T.Input/Output Linearization Using Time Delay Control［J］.JournalofDynamic Sys?tems，Measurement，and Control，1992，114（1）：10-19.

［15］Hsia TC，Gao L S.Robotmanipulator control using de?centralized linear time-invariant time-delayed joint con?trollers［C］.Proceedings of the Roboticsand Automa?tion，IEEE International Conference on，1990：2070-2075 vol.2073.

［16］Han D，Chang P-h.Robust tracking of robotmanipula?tor with nonlinear friction using time delay control with gradient estimator［J］.Journal of Mechanical Science and Technology，2010，24（8）：1743-1752.

［17］劉海濤，張鐵.基于時(shí)延估計(jì)和魯棒h_∞控制的工業(yè)機(jī)器人跟蹤控制［J］.華南理工大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，40（01）：77-81.

［18］劉海濤，張鐵.基于時(shí)延估計(jì)的機(jī)器人有限時(shí)間跟蹤控制［J］.機(jī)床與液壓，2012，40（23）：12-16.

［19］Park JH，Kim Y M.Time-Delay Sliding Mode Control for a Servo［J］.Journal of Dynamic Systems，Mea?surement，and Control，1999，121（1）：143-148.

(編輯：阮毅)

Robust Finite-Time Stability Tracking Control for IndustrialRobots

TIAN Xue-hong
（Cunjin College，GuangdongOcean University，Zhanjiang524088，China）

Consider various uncertainties of complex industrial robots，such as parameters uncertainties，load mutation and external disturbances，this paper presents a trajectory tracking controlmethod based on finite-time stability theorem.In thismethod，the various uncertainties and actual dynamics are online obtained by the time-delay estimation，the estimation error is compensated by variable structure terms，which has strong robustness.Thus，the proposed method doesn’t require knowledge of the complex dynamicmode of the robot system.The finite-time stability of robot loop system is proved by finite-time stability theorem，fast convergence and high-accuracy are provided.Simulationson a2-DOF industrial robotdemonstrate theeffectivenessof thisalgorithm.

industrial robot；time-delayed estimation；finite-time stability；tracking control

TP24

A

1009－9492(2015)04－0001－05

10.3969/j.issn.1009-9492.2015.04.001

*湛江市科技計(jì)劃項(xiàng)目（編號(hào)：2012C3106006）

2014－10－11

田雪虹，女，1980年生，山東菏澤人，大學(xué)本科。研究領(lǐng)域：機(jī)器人技術(shù)及其工程應(yīng)用。